高中数学人教版新课标A选修1-1第三章 导数及其应用3.2导数的计算课时训练

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

[A组　学业达标]

1．函数y＝的导数是(　　)

A.

B.

C.

D.

解析：y′＝′

＝

＝.

答案：C

2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为(　　)

A．y＝2x＋1　　　　　　　 B．y＝2x－1

C．y＝－2x－3  D．y＝－2x＋2

解析：∵y′＝

＝，

∴k＝y′|x＝－1＝＝2，

∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.

答案：A

3．已知函数f(x)＝ax4＋bx2＋c，若f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)

A．－1  B．－2

C．2  D．0

解析：法一：由f(x)＝ax4＋bx2＋c，得f′(x)＝4ax3＋2bx.

因为f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2，即2a＋b＝1.

则f′(－1)＝－4a－2b＝－2(2a＋b)＝－2.

法二：因为f(x)是偶函数，所以f′(x)是奇函数．

所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.

答案：B

4．函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)在x＝0处的导数值为(　　)

A．－6  B．0

C．6  D．1

解析：∵f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)]′，

∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)＝－6.

答案：A

5．若函数f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，则f′(－1)的值为(　　)

A．0  B．－1

C．1  D．2

解析：∵f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，

∴f′(x)＝f′(－1)x－2，

∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2，

∴f′(－1)＝－1.

答案：B

6．若函数f(x)＝在x＝c处的导数值与函数值互为相反数，则c＝________.

解析：∵f(x)＝，

∴f(c)＝.

又f′(x)＝＝，

∴f′(c)＝.

由题意，知f(c)＋f′(c)＝0，

∴＋＝0，

∴2c－1＝0，解得c＝.

答案：

7．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________．

解析：设P(x0，y0)，

则y′|x＝x0＝ln x0＋1＝2，

∴x0＝e，则y0＝e，

则P点坐标为(e，e)．

答案：(e，e)

8．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．

解析：∵f(x)＝ax－ln x，

∴f(1)＝a，即切点是(1，a)．

∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1，

∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x－1)，

令x＝0，得y＝1，即l在y轴上的截距为1.

答案：1

9．求下列函数的导数．

(1)f(x)＝e－x(sin x＋cos x)；

(2)y＝；

(3)f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x>0)．

解析：(1)f′(x)＝′

＝

＝＝－2e－xsin x.

(2)y′＝′

＝

＝.

(3)法一：y′＝[x(x＋1)(x＋2)]′

＝x′(x＋1)(x＋2)＋x(x＋1)′(x＋2)＋x(x＋1)(x＋2)′

＝(x＋1)(x＋2)＋x(x＋2)＋x(x＋1)

＝3x2＋6x＋2.

法二：因为y＝x(x＋1)(x＋2)＝(x2＋x)(x＋2)＝x3＋3x2＋2x，所以y′＝(x3＋3x2＋2x)′＝3x2＋6x＋2.

10．求过曲线y＝sin x在x＝处的点且与此处切线垂直的直线方程．

解析：由于y′＝(sin x)′＝cos x，

则y′|x＝＝cos ＝，从而与切线垂直的直线的斜率为－，依点斜式得符合题意的直线方程为y－＝－，即x＋y－－π＝0.

[B组　能力提升]

11．曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则的值为(　　)

A．－  B．－

C.   D.

解析：y′＝ex＋xex，则y′|x＝1＝2e.

∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，∴－＝－，

∴＝.

答案：D

12．若直线y＝x＋b与曲线y＝－x＋ln x相切，则实数b的值为(　　)

A．－2  B．－1

C．－  D．1

解析：设切点为(x0，y0)．由y＝－x＋ln x，得y′＝－＋，所以－＋＝，所以x0＝1，y0＝－，代入直线y＝x＋b，得－＝＋b，解得b＝－1，故选B.

答案：B

13．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为________．

解析：y′＝

＝，把x＝代入得导数值为，即为所求切线的斜率．

答案：

14．已知曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.

解析：法一：∵y＝x＋ln x，

∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.

∴曲线y＝x＋ln x在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，

即y＝2x－1.

∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，

∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．

由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.

由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.

法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.

设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)．

∵y′＝2ax＋(a＋2)，

∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．

由

解得

答案：8

15．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．

解析：因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.

令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a,3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3，令x＝2得f′(2)＝12＋4a＋b，

又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.

则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.

又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.

16．已知曲线y＝f(x)＝－1(a>0)在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值．

解析：由已知，得f′(x)＝，切线斜率k＝f′(1)＝，所以切线l的方程为y－＝(x－1)，即2x－ay－a－1＝0.令y＝0，得x＝；令x＝0，得y＝－.

所以l与两坐标轴所围成的三角形的面积S＝××

＝＋≥×2＋＝1，当且仅当a＝，即a＝1时取等号，所以Smin＝1.

故l与两坐标轴所围成的三角形的面积的最小值为1.