2021学年7.3.4 正切函数的性质与图修导学案

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这是一份2021学年7.3.4 正切函数的性质与图修导学案，共6页。学案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程，教师小结等内容，欢迎下载使用。

【教学目标】
1．能画出y＝tan x的图像，借助图像理解正切函数在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的性质．
2．掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期，会用函数的图像与性质解决综合问题．
【教学重难点】
掌握正切函数的性质，会求正切函数的定义域、值域及周期．
【教学过程】
一、问题导入
你能由正切线得出正切函数y=tanx具有哪些性质吗？
二、新知探究
1．正切函数的定义域、值域问题
【例1】（1）函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)的定义域是________．
（2）函数y＝tan(sin x)的值域为________．
（3）求函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))的值域．
[思路探究]（1）列出使各部分有意义的条件，注意正切函数自身的定义域．
（2）利用正弦函数的有界性及正切函数图像求值域．
（3）换元转化为二次函数在给定区间上求值域问题．
答案：（1）eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))
（2）[－tan 1，tan 1]
（3）函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))时的值域为[2－2eq \r(3)，6]
解析：（1）要使函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)有意义，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x＋1≥0，,1－tan x>0，))即－1≤tan x<1．
在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上满足上述不等式的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4))).
又因为y＝tan x的周期为π，所以所求x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋kπ≤x<\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))
（2）因为－1≤sin x≤1，且[－1,1]⊆eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
所以y＝tan x在[－1,1]上是增函数，
因此tan(－1)≤tan x≤tan 1，
即函数y＝tan(sin x)的值域为[－tan 1，tan 1]．
（3）解：令t＝tan x，
∵x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))，∴t＝tan x∈[－eq \r(3)，eq \r(3))，
∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，抛物线开口向下，对称轴为t＝1，
∴t＝1时，取最大值6，
t＝－eq \r(3)时，取最小值2－2eq \r(3)，
∴函数y＝－tan2 x＋2tan x＋5，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,3)))时的值域为[2－2eq \r(3)，6]．
【教师小结】
（一）求正切函数定义域的方法及求值域的注意点：
（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z；
（2）求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
（二）解正切不等式的两种方法：
（1）图像法：先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合；
（2）三角函数线法：先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．
2．正切函数的奇偶性、周期性
【例2】（1）函数y＝4taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,6)))的周期为________．
（2）判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝eq \f(tan2x－tan x,tan x－1)；
②f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))).
[思路探究]（1）可用定义法求，也可用公式法求，也可作出函数图像来求．
（2）可按定义法的步骤判断．
[提示]（1）eq \f(π,3) [由于ω＝3，故函数的周期为T＝eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,3).]
（2）①由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z，,tan x≠1，))
得f(x)的定义域为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，
不关于原点对称，
所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．
②函数定义域为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ－\f(π,4)且x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，
关于原点对称，
又f(－x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x－\f(π,4)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－x＋\f(π,4)))
＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))
＝－f(x)，
所以函数是奇函数．
【教师小结】
（一）函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法：
（1）定义法．
（2）公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).
（3）观察法(或图像法)：观察函数的图像，看自变量间隔多少，函数值重复出现．
（二）判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．
3．正切函数的单调性
[探究问题]
正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？
[提示]不是．函数的单调性是相对于定义域内的某个区间而言的．正切函数的图像被直线x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)隔开，所以它的单调区间只在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x1＝eq \f(π,4)，x2＝eq \f(5,4)π，x1正切函数的定义域能写成eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，(k∈Z)吗？为什么？
[提示]不能．因为正切函数的定义域是，它表示x是不等于eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)的全体实数，而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)只表示k取某个整数时的一个区间，而不是所有区间的并集．
【例3】（1）求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调区间；
（2）比较tan 1，tan 2，tan 3的大小．
[思路探究]（1）可先令y＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，从而把eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)整体代入eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z这个区间内解出x便可．
（2）可先把角化归到同一单调区间内，即利用tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，最后利用y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的单调性判断大小关系．
[解]（1）y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，
由kπ－eq \f(π,2)得2kπ－eq \f(π,2)∴函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)，无增区间．
（2）∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，
又∵eq \f(π,2)<2<π，∴－eq \f(π,2)<2－π<0，
∵eq \f(π,2)<3<π，∴－eq \f(π,2)<3－π<0，
显然－eq \f(π,2)<2－π<3－π<1且y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是增函数，
∴tan(2－π)即tan 2【教师小结】求y＝Atanωx＋φ的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，由kπ－ eq \f(π,2)<ωx＋φ三、课堂总结
1．对函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)周期的两点说明：
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).
(2)当ω>0时，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k具有周期性，最小正周期是eq \f(π,ω).
2．“三点两线法”作正切曲线的简图
(1)“三点”分别为(kπ，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)，1))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,4)，－1))，其中k∈Z；两线为直线x＝kπ＋eq \f(π,2)和直线x＝kπ－eq \f(π,2)，其中k∈Z(两线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交)．
(2)作简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线，然后描出三个点，用光滑的曲线连接得到一条曲线，最后平行移动至各个周期内即可．
3．解答正切函数图像与性质问题应注意的两点
(1)对称性：正切函数图像的对称中心是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的.
四、课堂检测
1．函数y＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)≤x≤\f(π,4)且x≠0))的值域是( )
A．[－1,1] B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－∞，1]D．[－1，＋∞)
B [根据函数的单调性可得．]
2．直线y＝3与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是( )
A．π B．eq \f(2π,ω)
C．eq \f(π,ω) D．eq \f(π,2ω)
C [直线y＝3与函数y＝tan ωx的图像的相邻交点间的距离为y＝tan ωx的周期，故距离为eq \f(π,ω).]
3．函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的定义域是________，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝________.
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))) eq \r(3) [由题意知x＋eq \f(π,6)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
即x≠eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)．
故定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))，
且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,6)))＝eq \r(3).]
4．函数y＝－tan x的单调递减区间是________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z) [因为y＝tan x与y＝－tan x的单调性相反，所以y＝－tan x的单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))(k∈Z)．]
5．求下列函数的定义域：
（1）y＝eq \f(1,1＋tan x)；
（2）y＝lg(eq \r(3)－tan x)．
[解] （1）要使函数y＝eq \f(1,1＋tan x)有意义，需使eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋tan x≠0，,x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，))
所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈R且x≠kπ－\f(π,4)，x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).
（2）要使函数有意义，则eq \r(3)－tan x>0，所以tan x又因为tan x＝eq \r(3)时，x＝eq \f(π,3)＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图像(图略)，
得kπ－eq \f(π,2)