初中数学人教版八年级上册14.2 乘法公式综合与测试学案及答案

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14.2 乘法公式
教学目标
（1）经历探索平方差公式，完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力． 
（2）会推导平方差公式，完全平方公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算． 
（3）了解平方差公式，完全平方公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．

重难点分析 
教学重点：公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用．
教学难点：用公式的结构特征判断题目能否使用公式．理解公式的结构特征，并灵活应用公式
　　 
知识点一：平方差公式（重点）
（1） 平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a-b）=a2-b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
【例题】下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A． （2a+b）（2b﹣a） B．（﹣2x﹣1）（﹣2x﹣1）
C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m﹣n）（﹣m+n）
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：（﹣m﹣n）（﹣m+n）=（﹣m）2﹣n2=m2﹣n2，
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．　
【变式1】已知是方程的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（　　）
A．25 B．45 C．﹣25 D．﹣45
【分析】把x与y的值代入方程组求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：把代入方程组得：，
①﹣②得：a﹣b=9，
①+②得：a+b=5，
则（a+b）（a﹣b）=45，
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式，以及二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
【变式2】已知a2﹣4b2=12，且a﹣2b=﹣3，则a+2b=　 　．
【分析】根据平方差公式得到a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）=12，再将a﹣2b=﹣3代入计算即可求解．
【解答】解：∵a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）=12，a﹣2b=﹣3，
∴﹣3（a+2b）=12，
a+2b=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】考查了平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．

知识点二：完全平方公式（重点）
（1） 完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b²
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
【例题】已知实数a、b满足a+b=2，ab=，则a﹣b=（　　）
A．1 B．﹣ C．±1 D．±
【分析】利用完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵a+b=2，ab=，
∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=，
∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=1，
∴a﹣b=±1，
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．
【变式1】将9.52变形正确的是（　　）
A．9.52=92+0.52 B．9.52=（10+0.5）（10﹣0.5）
C．9.52=102﹣2×10×0.5+0.52 D．9.52=92+9×0.5+0.52
【分析】根据完全平方公式进行计算，判断即可．
【解答】解：9.52=（10﹣0.5）2=102﹣2×10×0.5+0.52，
故选：C．
【点评】本题考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b²可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
【变式2】我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式乘方（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算（a+b）64的展开式中第三项的系数为（　　）

A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）64的展开式中第三项的系数；
【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
∴（a+b）64第三项系数为1+2+3+…+63=2016，
故选：A．
【点评】此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．

知识点三：添括号法则（难点）
（1） 去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
（2）去括号规律：①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a-（b-c）=a-b+c，括号前是“-”号，去括号时连同它前面的“-”号一起去掉，括号内各项都要变号．
说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值．
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．
添括号与去括号可互相检验．
【例题】下列变形中，不正确的是（　　）
A．a﹣b﹣（ c﹣d ）=a﹣b﹣c﹣d B．a﹣（b﹣c+d ）=a﹣b+c﹣d
C．a+b﹣（﹣c﹣d ）=a+b+c+d D．a+（b+c﹣d ）=a+b+c﹣d
【分析】如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．据此逐一判断即可得．
【解答】解：A、a﹣b﹣（ c﹣d ）=a﹣b﹣c+d，此选项错误；
B、a﹣（b﹣c+d ）=a﹣b+c﹣d，此选项正确；
C、a+b﹣（﹣c﹣d ）=a+b+c+d，此选项正确；
D、a+（b+c﹣d ）=a+b+c﹣d，此选项正确；
故选：A．
【点评】本题主要考查去括号、添括号，解题的关键是掌握如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
　
【变式1】已知a﹣b=﹣3，c+d=2，则（b+c）﹣（a﹣d）的值为（　　）
A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1
【分析】先把括号去掉，重新组合后再添括号．
【解答】解：因为（b+c）﹣（a﹣d）=b+c﹣a+d=（b﹣a）+（c+d）=﹣（a﹣b）+（c+d）…（1），
所以把a﹣b=﹣3、c+d=2代入（1）
得：
原式=﹣（﹣3）+2=5．
故选：B．
【点评】（1）括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去括号；
（2）添括号后，括号前是“+”，括号里的各项都不改变符号；添括号后，括号前是“﹣”，括号里的各项都改变符号．运用这一法则添括号．　
【变式2】在横线内填上恰当的项：ax﹣bx﹣ay+by=（ax﹣bx）﹣（　 　）．
【分析】根据添括号的方法进行解答．
【解答】解：ax﹣bx﹣ay+by=（ax﹣bx）﹣（ ay﹣by）．
故答案是：ay﹣by．
【点评】本题考查了去括号与添括号，添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号．

拓展点一：乘法公式的应用
【例题】利用乘法公式计算：98²
【分析】利用完全平方公式可得982=（100﹣2）2再展开计算即可．
【解答】解：原式=（100﹣2）2=1002﹣2×100×2+4=10000﹣400+4=9604．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，关键是掌握完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b²
【变式1】利用平方差公式计算：30.1×29.9．
【分析】首先将原式变形为：（30+0.1）（30﹣0.1），然后利用平方差公式求解即可求得答案．
【解答】解：原式=（30+0.1）（30﹣0.1）
=302﹣0.12
=899.99．
【点评】本题考查了平方差公式的应用．注意将30.1×29.9变形为（30+0.1）（30﹣0.1）是解此题的关键．
【变式2】写出计算结果：（x﹣1）（x+1）=　 　　
（x﹣1）（x2+x+1）=　 　
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=　 　
根据以上等式进行猜想，可得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）=　 　．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则，得出一般规律．
【解答】解：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；　
（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；
猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）=xn+1﹣1；
故答案为：x2﹣1，x3﹣1，x4﹣1，xn+1﹣1
【点评】本题考查了平方差公式及其规律．关键是利用多项式乘以单项式的法则计算，得出规律．

拓展点二：完全平方公式的变形应用
【例题】已知x+y=10，xy=5，求x2+y2的值．
【分析】将x+y两边平方，利用完全平方公式展开，将xy的值代入计算即可求出x2+y2的值．
【解答】解：将x+y=10两边平方得：（x+y）2=x2+2xy+y2=100，
将xy=5代入得：x2+y2=90．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
【变式1】已知x2﹣3x+1=0，求（1）；（2）．
【分析】（1）由等式x2﹣3x+1=0，可知x≠0，将等式两边同时除以x，整理即可得出x+=3；
（2）先将等式x+=3的两边分别平方和立方，整理得出x2+=7，x3+=18，再将（x2+）与（x3+）相乘，根据多项式的乘法法则展开，整理后即可得出的值．
【解答】解：（1）∵x2﹣3x+1=0，
∴x≠0，
方程两边同时除以x，
得x﹣3+=0，
∴x+=3；
（2）∵x+=3，
∴（x+）2=9，（x+）3=27，
即x2+2+=9，x3+3x++=27，
∴x2+=7，x3+=18，
∴（x2+）（x3+）=7×18，
∴+x+=126，
∴=123
【点评】本题主要考查了完全平方公式，多项式的乘法及代数式求值，根据已知条件得出x≠0，进而将等式两边同时除以x，得出x+=3是解题的关键．
　
【变式2】已知x+=4，求x﹣的值．
【分析】把已知条件两边平方求出x2+的值，再根据完全平方公式整理成（x﹣）2的形式并代入数据计算，然后进行开方运算．
【解答】解：∵，
∴，
∴x2+=14，
∵（x﹣）2=x2+﹣2=12，
∴x﹣=．
【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，利用好乘积二倍项不含字母是常数是解题的关键．

拓展点三：数形结合问题
【例题】如图1所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形（其面积=（上底+下底）×高）．

（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2，请直接用含a、b的式子表示S1和S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
【分析】（1）利用正方形的面积公式和梯形的面积公式即可求解；
（2）根据（1）所得的两个式子相等即可得到．
【解答】解：（1）∵大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
∴S1=a2﹣b²
S2=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；
（2）根据题意得：
（a+b）（a﹣b）=a2﹣b²
【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键，是一道基础题．
【变式1】已知一个长方体的长为2a，宽也是2a，高为h．
（1）用a、h的代数式表示该长方体的体积与表面积．
（2）当a=3，h=时，求相应长方体的体积与表面积．
（3）在（2）的基础上，把长增加x，宽减少x，其中0＜x＜6，问长方体的体积是否发生变化，并说明理由．
【分析】（1）、（3）根据长方体的体积与面积公式进行计算即可；
（2）把a=3，h=代入（1）的关系式进行计算．
【解答】解 （1）长方体体积=2a•2a•h=4a2h，
长方体表面积=2×2a•2a+4×2a•h=8a2+8ah；
（2）当a=3，h=时，长方体体积=4×32×=18．
当a=3，h=时，长方体表面积=8×32+8×3×=84；
（3）当长增加x，宽减少x时，
长方体体积=（6+x）（6﹣x）=18﹣x2＜18，
故长方体体积减小了．
【点评】本题考查了代数式求值，列代数式和平方差公式．熟记长方体的体积与面积公式是解题的关键．
【变式2】如图所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．

（1）请用字母a和b表示出图中阴影部分的面积；
（2）将阴影部分还能拼成一个长方形，如图乙这个长方形的长和宽分别是多少？表示出阴影部分的面积；
（3）比较（1）和（2）的结果，可以验证平方差公式吗？请给予解答．
【分析】（1）求出大正方形及小正方形的面积，作差即可得出阴影部分的面积；
（2）图乙所示的长方形的长和宽分别为（a+b）、（a﹣b），由此可计算出面积．
（3）根据阴影部分的面积相等可得出平方差公式．
【解答】解：（1）大正方形的面积为a2，小正方形的面积为b2，
故图甲阴影部分的面积值为a2﹣b²
（2）长方形的长和宽分别为（a+b）、（a﹣b），
故重拼的长方形的面积为（a+b）（a﹣b）．
（3）比较（1）和（2）的结果，都表示同一阴影的面积，它们相等，
即a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式，这也是平方差公式的几何意义．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，注意几次分割后边的变化情况是关键，属于基础题．

拓展点四：乘法公式的实际应用
【例题】已知一块“十字型”纸板如图，请画出一个面积和这块纸板面积相等的长方形，并指出此长方形的长和宽．

【分析】把上方与下方部分的长方形剪下然后移到左边与右边即可得解．
【解答】解：如图所示，长方形ABCD的面积与“十字型”的面积相等，
长方形的长为a+b+b=a+2b，
宽为a﹣b﹣b=a﹣2b．

【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，比较简单，此类题目根据面积相等求解是解题的关键．
【变式1】原有长方形绿地一块，现进行如下改造，将长减少2m，将宽增加2m，改造后得到一块正方形绿地，它的面积是原绿地面积的2倍，求改造后正方形绿地的面积．
【分析】设改造后正方形绿地的边长为xm，根据题意，可得改造前的长方形的边长，由改造后的面积是原绿地面积的2倍，可得关系式，解可得答案．
【解答】解：设改造后正方形绿地的边长为xm；
则改造前的长是（x+2），宽是（x﹣2）；
根据题意有：2（x+2）（x﹣2）=x2，
即2（x2﹣4）=x2，
解可得x2=8；
答：改造后正方形绿地的面积为8m²
【点评】本题考查了平方差公式的实际运用，注意变量的实际意义，单位必须带．　
【变式2】如图：边长为a，b的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中剪去小正方形，剩下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明可以验证哪一个乘法公式的几何意义．

【分析】根据图形得出第一个图形的阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），即可得出答案．
【解答】解：∵第一个图形的阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的阴影部分的面积是（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
即可以验证平方差公式的几何意义．
【点评】本题考查了平方差公式的应用，主要考查学生的观察能力和理解能力．

易错点一：平方差公式中没有找准与
【例题】已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．
【分析】先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论．
【解答】解：∵x2﹣y2=12，
∴（x+y）（x﹣y）=12，
∵x+y=3①，
∴x﹣y=4②，
①+②得，2x=7，
∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．
【点评】此题主要考查了平方差公式，二元一次方程的解法，求出x﹣y=4是解本题的关键．
【变式1】计算：（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）
【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值．
【解答】解：（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）
=x2﹣4x+4﹣（x2﹣9）
=x2﹣4x+4﹣x2+9
=﹣4x+13
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
【变式2】运用乘法公式计算：（a﹣b﹣3）（a﹣b+3）．
【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式计算即可求出值．
【解答】解：原式=（a﹣b）2﹣32=a2﹣2ab+b2﹣9．
【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
　

易错点二：完全平方公式中某些系数漏掉平方
【例题】如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=　 　．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2=a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，
∴﹣2（k﹣1）ab=±2×a×3b，
∴k﹣1=3或k﹣1=﹣3，
解得k=4或k=﹣2
即k=4或﹣2
故答案为：4或﹣2
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
　
【变式1】一个二次三项式的完全平方式是4x4+4x3+ax2﹣6x+b，求这个二次三项式．
【分析】令4x4+4x3+ax2﹣6x+b=（2x2+mx+n）2，把（2x2+mx+n）2展开后根据次数相等的项的系数相等，得出m，n的值即可．
【解答】解：令4x4+4x3+ax2﹣6x+b=（2x2+mx+n）2，则
4x4+4x3+ax2﹣6x+b=4x4+4mx3+（m2+4n）x2+2mnx+n2，
∴4m=4，2mn=﹣6，
解得m=1，n=﹣3，
∴这个二次三项式是2x2+x﹣3
【点评】本题主要考查了完全平方公式的运用，难度适中，解题的关键是根据次数相等的项系数相等列出方程，解出m，n的值．
　
【变式2】如果36x2+（m+1）xy+25y2是一个完全平方式，求m的值．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵36x2+（m+1）xy+25y2=（6x）2+（m+1）xy+（5y）2，
∴（m+1）xy=±2•6x•5y，
∴m+1=±60，
∴m=59或﹣61
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

易错点三：运用完全平方公式时丢掉中间乘积或系数“2倍”
【例题】运用乘法公式计算（a﹣2）2的结果是（　　）
A．a2﹣4a+4 B．a2﹣2a+4 C．a2﹣4 D．a2﹣4a﹣4
【分析】原式利用完全平方公式化简得到结果．
【解答】解：原式=a2﹣4a+4，
故选：A．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式1】若n满足（n﹣1）2+（2﹣n）2=1，则（n﹣1）（2﹣n）=（　　）
A．﹣1 B．0 C． D．1
【分析】根据完全平方公式展开解答即可．
【解答】解：因为（n﹣1）2+（2﹣n）2=n2﹣2n+1+n2﹣4n+4=2n2﹣6n+5=1，
所以2n2﹣6n+4=0，
即2（n2﹣3n+2）=0，
所以n2﹣3n+2=（n﹣1）（2﹣n）=0，
故选：B．
【点评】此题考查完全平方公式，关键是根据根据完全平方公式展开解答．
【变式2】若a+b=，a﹣b=，则ab=　 　．
【分析】两式相加求出a的值，进而求出b的值，即可求出ab的值．
【解答】解：将a+b=，a﹣b=两式相加得：2a=+，即a=，
将a=5代入a﹣b=中，得：﹣b=，即b=，
则ab==1
故答案为：1
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．