人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.3 集合的基本运算第1课时课时练习

1.1.3　集合的基本运算

第1课时　交集与并集

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(多选题)若集合A={x|-2<x<1},B={x|0<x<2},则集合A∩B等于(　　)

A.(0,1) B.{x|-2<x<1}

C.(-2,1) D.{x|0<x<1}

答案AD

解析在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,

由数轴可知,A∩B={x|0<x<1}=(0,1).

2.(2021重庆高一期末)已知集合A={x|x2-2x-3=0},B={1,x},若A∩B={3},则A∪B=(　　)

A.{1,3} B.{-1,3}

C.{-1,1,3} D.{-3,-1,3}

答案C

解析由题可知,A={x|x2-2x-3=0}={x|x=3或x=-1}.因为A∩B={3},所以B={1,3},所以A∪B={-1,1,3}.故选C.

3.设集合A={0},B={2,m},且A∪B={-1,0,2},则实数m等于(　　)

A.-1 B.1 C.0 D.2

答案A

解析由于A∪B={-1,0,2},则-1∈A或-1∈B.

因为A={0},所以-1∉A.所以必有-1∈B.

又B={2,m},则m=-1.

4.(2020全国1,文1)已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5},则A∩B=(　　)

A.{-4,1} B.{1,5}

C.{3,5} D.{1,3}

答案D

解析由不等式x2-3x-4<0,解得-1<x<4,故A∩B={1,3}.

5.M,P是两个非空集合,规定M-P={x|x∈M,且x∉P},根据这一规定M-(M-P)等于(　　)

A.M B.P

C.M∪P D.M∩P

答案D

解析当M∩P≠⌀时,由图可知M-P为图中阴影部分,则M-(M-P)显然为M∩P;

当M∩P=⌀时,M-P=M,此时M-(M-P)=M-M=⌀=M∩P.

6.已知集合A={x|x≥5},集合B={x|x≤m},且A∩B={x|5≤x≤6},则实数m等于　　　　　. 

答案6

解析在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,

由于A∩B={x|5≤x≤6},则m=6.

7.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=　　　　　. 

答案-4

8.设S={(x,y)|x<0,且y<0},T={(x,y)|x>0,且y>0},则S∩T=　　　　,S∪T=　　　　　　. 

答案⌀　{(x,y)|xy>0}

解析集合S是平面直角坐标系中第三象限内的所有点构成的集合,集合T是平面直角坐标系中第一象限内的所有点构成的集合,则S∩T=⌀,S∪T={(x,y)|x>0,且y>0或x<0,且y<0}={(x,y)|xy>0}.

9.已知集合A=,集合B={m|3>2m-1},求A∩B,A∪B.

解解不等式组得-2<x<3,

则A={x|-2<x<3},

解不等式3>2m-1,得m<2,则B={m|m<2},

在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示,

则A∩B={x|-2<x<2},A∪B={x|x<3}.

10.(2021安徽合肥高一期末)已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|m<x<1-m}.

(1)当m=-1时,求A∪B;

(2)若A∩B=A,求实数m的取值范围.

解(1)当m=-1时,B={x|-1<x<2},

∴A∪B={x|-1<x<3}.

(2)∵A∩B=A,∴A⊆B,

∴且m<1-m,

解得m≤-2,

即实数m的取值范围为(-∞,-2].

等级考提升练

11.(2020山东,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=(　　)

A.{x|2<x≤3} B.{x|2≤x≤3}

C.{x|1≤x<4} D.{x|1<x<4}

答案C

解析(数形结合)由数轴可知

所以A∪B={x|1≤x<4},故选C.

12.(2020全国1,理2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a= (　　)

A.-4 B.-2 C.2 D.4

答案B

解析由已知得A={x|-2≤x≤2},B=.

因为A∩B={x|-2≤x≤1},所以有-=1,解得a=-2.

13.(多选题)已知集合P={x|x=m2+3m+1},T={x|x=n2-3n+1},下列判断正确的是(　　)

A.P∩T=

B.P∪T=

C.P∩T=⌀

D.P=T

答案ABD

解析∵P=,T=,

∴P∩T=正确,P∪T=正确,P∩T=⌀错误,P=T正确.

14.已知集合A={x|-2≤x≤4},B={x|x>a}.

(1)若A∩B≠⌀,实数a的取值范围是　　　　　. 

(2)若A∩B≠A,实数a的取值范围是　　　　　. 

(3)若A∪B=B,实数a的取值范围是　　　　　. 

答案(1)(-∞,4)　(2)[-2,+∞)　(3)(-∞,-2)

解析A={x|-2≤x≤4},B={x|x>a,a∈R},将A,B集合表示在数轴上(注:B表示的范围,随着a值的变化而在移动).

观察可知

(1)a<4;

(2)a≥-2;

(3)a<-2.

15.若集合P={x|3<x≤22},非空集合Q={x|2a+1≤x<3a-5},则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值集合为　　　　　　　. 

答案{a|6<a≤9}

解析依题意得P∩Q=Q,Q⊆P,

于是解得6<a≤9,即实数a的取值集合为{a|6<a≤9}.

16.设集合A={x|-1<x<4},B=,C={x|1-2a<x<2a}.

(1)求A∩B;

(2)若C≠⌀,且C⊆(A∩B),求实数a的取值范围.

解(1)∵A={x|-1<x<4},B=,

∴A∩B=.

(2)∵C≠⌀,∴1-2a<2a,∴a>.

由(1)知A∩B=,

∵C⊆(A∩B),∴解得<a≤.

即实数a的取值范围是.

17.设关于x的方程x2-mx+m2-19=0的解集为A,x2-5x+6=0的解集为B,x2+2x-8=0 的解集为C,且A∩B≠⌀,A∩C=⌀,试求m的值.

解由已知可得,B={2,3},C={2,-4},再由A∩B≠⌀及A∩C=⌀可知,3∈A,

所以3是关于x的方程x2-mx+m2-19=0的根,

即9-3m+m2-19=0,解得m=5或m=-2.

但当m=5时,A={2,3}与已知矛盾;

所以m=-2,此时A={-5,3}.

故m=-2.

18.已知集合A={x|-2<x<8},B={x|2m-1<x<m+3}.

(1)若A∪B=A,求实数m的取值范围;

(2)若A∩B={x|a<x<b}且b-a=3,求实数m的值.

解(1)因为A∪B=A,则B⊆A,

集合B有两种情况:

当B=⌀时,则m满足2m-1≥m+3,解得m≥4;

当B≠⌀时,则m满足

解得-≤m<4.

综上m的取值范围是.

(2)因为A={x|-2<x<8},8-(-2)=10,所以若A∩B={x|a<x<b}且b-a=3,应有以下三种情况:

①当A∩B=B时,

则m满足解得m=1.

②当A∩B={x|2m-1<x<8}时,

则m满足

此时满足条件的m不存在.

③当A∩B={x|-2<x<m+3}时,

则m满足解得m=-2,

综上,m的值为-2或1.

新情境创新练

19.对任意两个集合X和Y,X-Y是指所有属于X,但不属于Y的元素的集合,X和Y对称差表示为XΔY,规定XΔY=(X-Y)∪(Y-X).设集合A={y|y=x2,x∈R},B={y|-3≤y≤3},则AΔB=　　　　　. 

答案{y|-3≤y<0或y>3}

解析A={y|y≥0},B={y|-3≤y≤3},A-B={y|y>3},B-A={y|-3≤y<0},

所以AΔB={y|-3≤y<0,或y>3}.

20.已知集合A={(x,y)|x=n,y=an+b,n∈Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m∈Z},C={(x,y)|x2+y2≤144}是坐标平面内的点集,则是否存在实数a,b,使得A∩B≠⌀和(a,b)∈C同时成立?若存在,请求出a,b;若不存在,请说明理由.

解不存在.理由如下:

假设存在a,b,使得A∩B≠⌀和(a,b)∈C同时成立,

则集合A={(x,y)|y=ax+b,x∈Z}与集合B={(x,y)|y=3x2+15,x∈Z}有公共元素,即对应的方程y=ax+b与y=3x2+15有公共解,

即方程组有解,

所以方程3x2+15=ax+b必有解,

所以Δ=a2-12(15-b)≥0,

即-a2≤12b-180. ①

又因为(a,b)∈C,所以a2+b2≤144, ②

由①+②得b2≤12b-36,即(b-6)2≤0,

所以b=6,将b=6代入①得a2≥108.

再将b=6代入②得a2≤108,

因此a2=108,所以a=±6.

再将a=±6,b=6代入原方程,得3x2±6x+9=0,解得x=±∉Z.

所以不存在实数a,b,使A∩B≠⌀和(a,b)∈C同时成立.