2021学年1.1.3 集合的基本运算第2课时教案设计

1.1.3　第2课时　补集

一. 教学目标：

1. 知识与技能

    (1)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

    (2)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.

2. 过程与方法

学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算.

3.情感、态度与价值观

    (1)进一步树立数形结合的思想.

    (2)进一步体会类比的作用.

    (3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确.

二.教学重点.难点

  重点：全集与补集的概念.

  难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系．

三.学法与教学用具

  1.学法：学生借助Venn图，通过观察.类比.思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算.

  2.教学用具：投影仪.

四. 教学过程

导入新课

问题:①分别在整数范围和实数范围内解方程(x－3)(x)=0，其结果会相同吗?

②若集合A={x|0<x<2，x∈Z}，B={x|0<x<2，x∈R}，则集合A、B相等吗？

学生回答后，教师指明:在不同的范围内集合中的元素会有所不同，这个“范围”问题就是本节学习的内容，引出课题.

推进新课

新知探究

提出问题

①用列举法表示下列集合:

A={x∈Z|(x－2)(x+)(x)=0};

B={x∈Q|(x－2)(x+)(x)=0};

C={x∈R|(x－2)(x+)(x)=0}.

②问题①中三个集合相等吗？为什么？

③由此看，解方程时要注意什么？

④问题①，集合Z，Q，R分别含有所解方程时所涉及的全部元素，这样的集合称为全集，请给出全集的定义.

⑤已知全集U={1，2，3}，A={1}，写出全集中不属于集合A的所有元素组成的集合B.

⑥请给出补集的定义.

⑦用Venn图表示A.

活动：组织学生充分讨论、交流，使学生明确集合中的元素，提示学生注意集合中元素的范围.

讨论结果：

①A={2}，B={2，}，C={2，，}.

②不相等，因为三个集合中的元素不相同.

③解方程时，要注意方程的根在什么范围内，同一个方程，在不同的范围其解会有所不同.

④一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记为U.

⑤B={2，3}.

⑥对于一个集合A，全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集.

集合A相对于全集U的补集记为A，即A={x|x∈U，且xA}.

⑦如图1－1－3－9所示，阴影表示补集.

图1－1－3－9

例题精讲

1.设U={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，求A，B.

活动：让学生明确全集U中的元素，回顾补集的定义，用列举法表示全集U，依据补集的定义写出A，B.

解：根据题意，可知U={1，2，3，4，5，6，7，8}，所以

A={4，5，6，7，8};B={1，2，7，8}.

点评：本题主要考查补集的概念和求法.用列举法表示的集合，依据补集的含义，直接观察写出集合运算的结果.

常见结论:(A∩B)=(A)∪(B);(A∪B)=(A)∩(B).

变式训练

1.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5，7}，B={3，4，5}，则(A)∩(B)等于(    )

A.{1，6}                  B.{4，5}          

C.{2，3，4，5，7}         D.{1，2，3，6，7}

分析:思路一:观察得(A)∩(B)={1，3，6}∩{1，2，6，7}={1，6}.

思路二:A∪B={2，3，4，5，7}，则(A)∩(B)=(A∪B)={1，6}.

【答案】A

2设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，4}，B={2}，则A∩(B)等于(    )

A.{1，2，3，4，5}        B.{1，4}            C.{1，2，4}             D.{3，5}

【答案】B

3.设全集U={1，2，3，4，5，6，7}，P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7}，则P∩(Q)等于(    )

A.{1，2}                  B.{3，4，5}          

C.{1，2，6，7}            D.{1，2，3，4，5}

【答案】A

4.设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}.求A∩B，(A∪B).

活动：学生思考三角形的分类和集合的交集、并集和补集的含义.结合交集、并集和补集的含义写出结果.A∩B是由集合A，B中公共元素组成的集合，(A∪B)是全集中除去集合A∪B中剩下的元素组成的集合.

解：根据三角形的分类可知A∩B=，

A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}，(A∪B)={x|x是直角三角形}.

变式训练

1.已知集合A={x|3≤x<8}，求A.

解：A={x|x<3或x≥8}.

2.设S={x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是矩形}，求B∩C，B，A.

解：B∩C={x|正方形}，B={x|x是邻边不相等的平行四边形}，A={x|x是梯形}.

3.已知全集I=R，集合A={x|x2+ax+12b=0}，B={x|x2－ax+b=0}，满足(A)∩B={2}，(B)∩A={4}，求实数a、b的值.

【答案】a=，b=.

4.设全集U=R，A={x|x≤2+}，B={3，4，5，6}，则(A)∩B等于…(    )

A.{4}            B.{4，5，6}           C.{2，3，4}             D.{1，2，3，4}

分析:∵U=R，A={x|x≤2+}，∴A={x|x>2+}.而4，5，6都大于2+，

∴(A)∩B={4，5，6}.

【答案】B

【补充练习】

1.设全集U=R，A={x|2x+1>0}，试用文字语言表述A的意义.

解：A={x|2x+1>0}即不等式2x+1>0的解集，A中元素均不能使2x+1>0成立，即A中元素应当满足2x+1≤0.∴A即不等式2x+1≤0的解集.

2.如图1－1－3－14所示，U是全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分表示的集合是_______.

图1－1－3－14

分析:观察图可以看出，阴影部分满足两个条件:一是不在集合S内;二是在集合M，P的公共部分内，因此阴影部分表示的集合是集合S的补集与集合M，P的交集的交集，

即(S)∩(M∩P).

【答案】(S)∩(M∩P)

3.设集合A、B都是U={1，2，3，4}的子集，已知(A)∩(B)={2}，(A)∩B={1}，则A等于(    )

A.{1，2}           B.{2，3}           C.{3，4}               D.{1，4}

分析:如图1－1－3－15所示.

图1－1－3－15

由于(A)∩(B)={2}，(A)∩B={1}，则有A={1，2}.∴A={3，4}.

【答案】C

4.设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S={1，3，5}，T={3，6}，则(S∪T)等于(    )

A.             B.{2，4，7，8}          C.{1，3，5，6}          D.{2，4，6，8}

分析:直接观察(或画出Venn图)，得S∪T={1，3，5，6}，则(S∪T)={2，4，7，8}.

【答案】B

5.已知集合I={1，2，3，4}，A={1}，B={2，4}，则A∪(B)等于(    )

A.{1}            B.{1，3}              C.{3}                D.{1，2，3}

分析:∵B={1，3}，∴A∪(B)={1}∪{1，3}={1，3}.

【答案】B

拓展提升

问题:某班有学生50人，解甲、乙两道数学题，已知解对甲题者有34人，解对乙题者有28人，两题均解对者有20人，问:

(1)至少解对其中一题者有多少人？

(2)两题均未解对者有多少人？

分析:先利用集合表示解对甲、乙两道数学题各种类型，然后根据题意写出它们的运算，问题便得到解决.

解：设全集为U，A={只解对甲题的学生}，B={只解对乙题的学生}，C={甲、乙两题都解对的学生}，

则A∪C={解对甲题的学生}，

B∪C={解对乙题的学生}，

A∪B∪C={至少解对一题的学生}，

(A∪B∪C)={两题均未解对的学生}.

由已知，A∪C有34个人，C有20个人，

从而知A有14个人;B∪C有28个人，C有20个人，所以B有8个人.

因此A∪B∪C有N1=14+8+20=42(人)，

(A∪B∪C)有N2=50－42=8(人).

∴至少解对其中一题者有42个人，两题均未解对者有8个人.

课堂小结

本节课学习了:

①全集和补集的概念和求法.

②常借助于数轴或Venn图进行集合的补集运算.