人教B版 (2019)必修 第一册1.1.3 集合的基本运算学案设计

  1.1.3　集合的基本运算

最新课程标准：(1)理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集．(2)在具体情境中，了解全集的含义．(3)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集．(4)能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用．

第1课时　交集与并集

知识点一　交集

知识点二　并集

　1.两个集合的并集、交集还是一个集合．

2．对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合，因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．

3．A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．

[基础自测]

1．已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝(　　)

A．{0,2}　B．{1,2}

C．{0}    D．{－2，－1,0,1,2}

解析：本题主要考查集合的基本运算．

∵A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，∴A∩B＝{0,2}，故选A.

答案：A

2．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝(　　)

A．{－1,0,1}  B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,2}  D．{0,1}

解析：M∪N表示属于M或属于N的元素组成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}．

答案：B

3．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是(　　)

A．1  B．3

C．4  D．8

解析：因为A＝{1,2}，A∪B＝{1,2,3}．所以B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}，故选C.

答案：C

4．设集合A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∩B＝________.

解析：∵A＝{x|2≤x<5}，

B＝{x|3x－7≥8－2x}＝{x|x≥3}，

∴A∩B＝{x|3≤x<5}．

答案：{x|3≤x<5}

题型一　交集的运算[经典例题]

例1　(1)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝(　　)

A．{3}　　　　　　　　　B．{5}

C．{3,5}  D．{1,2,3,4,5,7}

(2)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)

A．{0}  B．{1}

C．{1,2}  D．{0,1,2}

【解析】　(1)本题主要考查集合的运算．

由题意得A∩B＝{3,5}，故选C.

找出A、B的公共元素求A∩B.

(2)本题考查集合的运算．

∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，故选C.

先求A，再求A∩B.

【答案】　(1)C　(2)C

方法归纳

求交集的基本思路

首先要识别所给集合，其次要化简集合，使集合中的元素明朗化，最后再依据交集的定义写出结果，有时要借助于Venn图或数轴写出交集．借助于数轴时要注意数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集．

跟踪训练1　(1)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝(　　)

A．{0,1}       B．{－1,0,1}

C．{－2,0,1,2}  D．{－1,0,1,2}

(2)若集合A＝{x|－5≤x≤5}，B＝{x|x≤－2或x>3}，则A∩B＝________.

解析：(1)本题主要考查集合的运算．

化简A＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{0,1}，故选A.

先求A再求A∩B.

(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图．

由交集的定义可得A∩B＝{x|－5≤x≤－2或3<x≤5}．

利用数轴求A∩B.

答案：(1)A　(2){x|－5≤x≤－2或3<x≤5}

题型二　并集的运算[教材P17例3]

例2　已知区间A＝(－3,1)，B＝[－2,3]，求A∩B，A∪B.

【解析】　在数轴上表示出A和B，如图所示．

由图可知A∩B＝[－2,1)，A∪B＝(－3,3]．

　(1)由并集定义A∪B是由A、B中所有元素组成的．

(2)利用数轴求并集更直观.

教材反思

(1)在求两个集合的并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次．

(2)此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．

跟踪训练2　(1)已知集合A＝{1,3,4,7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，则集合A∪B中元素的个数为________．

(2)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝(　　)

A．{x|－1<x<2}　B．{x|0<x<1}

C．{x|－1<x<0}  D．{x|1<x<2}

解析：(1)∵A＝{1,3,4,7}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈A}，

∴B＝{3,7,9,15}，

∴A∪B＝{1,3,4,7,9,15}．

∴集合A∪B中元素的个数为6.

(2)因为P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，画数轴如图，

所以P∪Q＝{x|－1<x<2}．

答案：(1)6　(2)A

　(1)找出集合A，B中出现的所有元素，写出A∪B，求元素个数．

(2)画数轴，根据条件确定P∪Q.

题型三　交集、并集性质的运用[经典例题]

例3　已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求a的值．

【解析】　A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，

B＝{2,3}，C＝{－4,2}．

因为∅(A∩B)，且A∩C＝∅，

那么3∈A，故9－3a＋a2－19＝0.

即a2－3a－10＝0.

所以a＝－2或a＝5.

当a＝－2时A＝{x|x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．

当a＝5时A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，

不符合A∩C＝∅.

综上知，a＝－2.

方法归纳

(1)连续数集求交、并集借助数轴采用数形结合法．

(2)利用A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A可实现交、并运算与集合间关系的转化．

注意事项：(1)借助数轴求交、并集时注意端点的实虚．

(2)关注Venn图在解决复杂集合关系中的作用．

跟踪训练3　已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∩B＝B，求实数a的取值范围．

解析：①当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；

②当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，

可得或解得a<－4或2<a≤3.

综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．

由A∩B＝B得B ⊆A，B分2类，B＝∅，B≠∅，再利用数轴求．

课时作业 3

一、选择题

1．已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N＝(　　)

A．{－2，－1,0,1}　B．{－3，－2，－1,0}

C．{－2，－1,0}    D．{－3，－2，－1}

解析：运用集合的运算求解．

M∩N＝{－2，－1,0}，故选C.

答案：C

2．已知集合A＝{x|x≥－3}，B＝{x|－5≤x≤2}，则A∪B＝(　　)

A．{x|x≥－5}    B．{x|x≤2}

C．{x|－3<x≤2}  D．{x|－5≤x≤2}

解析：结合数轴(图略)得A∪B＝{x|x≥－5}．

答案：A

3．设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝(　　)

A．{－1,1}    B．{0,1}

C．{－1,0,1}  D．{2,3,4}

解析：本题主要考查集合的运算．

由题意得A∪B＝{1,2,3,4，－1,0}，∴(A∪B)∩C＝{1,2,3,4，－1，0}∩{x∈R|－1≤x<2}＝{－1,0,1}．故选C.

答案：C

4．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是(　　)

A．a<2    B．a>－2

C．a>－1  D．－1<a≤2

解析：在数轴上表示出集合A，B即可得a的取值范围为a>－1.

答案：C

二、填空题

5．定义A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.

解析：关键是理解A－B运算的法则，N－M＝{x|x∈N，且x∉M}，所以N－M＝{6}．

答案：{6}

6．设集合A＝{1,2，a}，B＝{1，a2}，若A∩B＝B，则实数a允许取的值有________个．

解析：由题意A∩B＝B知B⊆A，所以a2＝2，a＝±， 或a2＝a，a＝0或a＝1(舍去)，所以a＝±，0，共3个．

答案：3

7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围为________．

解析：由A∪B＝R，得A与B的所有元素应覆盖整个数轴．如图所示：

所以a必须在1的左侧，或与1重合，故a≤1.

答案：(－∞，1]

三、解答题

8．设A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B，A∩B.

解析：如图所示：

A∪B＝{x|－1<x<2}∪{x|1<x<3}＝{x|－1<x<3}．

A∩B＝{x|－1<x<2}∩{x|1<x<3}＝{x|1<x<2}．

9．已知A＝{x|a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1，或x>5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．

解析：在数轴上标出集合A，B，如图．

要使A∪B＝R，则

解得－3≤a<－1.

综上可知，a的取值范围为－3≤a<－1.

[尖子生题库]

10．集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．

(1)求A∩B；

(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．

解析：(1)∵B＝{x|x≥2}，

∴A∩B＝{x|2≤x<3}．

(2)C＝，

B∪C＝C⇒B⊆C，

∴－<2，∴a>－4.

即a的取值范围为a>－4.