2020-2021学年2.2 乘法公式综合与测试当堂达标检测题

这是一份2020-2021学年2.2 乘法公式综合与测试当堂达标检测题，共20页。试卷主要包含了0分），例如，【答案】C，【答案】D，【答案】B，【答案】A等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式( )
A. x2−2x+1=(x−1)2B. x2−1=(x+1)(x−1)
C. x2+2x+1=(x+1)2D. x2−x=x(x−1)
若x2+2(m−5)x+16是完全平方式，则m的值是( )
A. 5B. 9C. 9或1D. 5或1
下列运算正确的是( )
A. a2+2a=3a3B. (−2a3)2=4a5
C. (a+2)(a−1)=a2+a−2D. (a+b)2=a2+b2
下列运算正确的是( )
A. 3a2−2a2=1B. a2⋅a3=a6
C. (a−b)2=a2−b2D. (a+b)2=a2+2ab+b2
若x2−mx+9是完全平方式，则m的值等于( )
A. 6.B. −6C. 6或−6D. 12或−12
下列计算正确的是( )
A. (a4b)3=a7b3B. −2b(4a−b2)=−8ab−2b3
C. aa3+a2a2=2a4D. (a−5)2=a2−25
下列算正确的是( )
A. a3+a3=2a6B. (a2)3=a6
C. a6÷a2=a3D. (a+b)2=a2+b2
下列各式中不能用平方差公式计算的是( )
A. (−2x−y)(2x+y)B. (−2x+y)(−2x−y)
C. (−x−2y)(x−2y)D. (2x+y)(−2x+y)
下列计算正确的是( )
A. 2a+3b=5abB. a3⋅a2=a5
C. (−a2)3=a6D. (a+b)2=a2+b2
下列运算正确的是( )
A. (−2a3)2=4a6B. a2⋅a3=a6
C. 3a+a2=3a3D. (a−b)2=a2−b2
下列等式中正确的是( )
A. (−a+b)2=−a2−2ab+b2B. (2a−b)2=4a2−2ab+b2
C. (12a−b)2=14a2−2ab+b2D. (a+b−c)2=(c−a−b)2
若a2+(m−3)a+4是一个完全平方式，则m的值应是( )
A. 1或5B. 1C. 7或−1D. −1
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
计算：20182−2019×2017=______．
若x2+2(m−3)x+16是关于x的完全平方式，则m=______．
若a+b=5，a−b=3，则a2−b2=______．
如图，现有甲、乙、丙三种卡片若干，分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和长宽为a，b的长方形b卡片，如果要用它们拼成边长为(3a+2b)的正方形，则需要甲乙丙三种卡片共______张．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果.已知A，B两区初始显示的数分别是25和−16，如图1.例如：第一次按键后，A，B两区分别显示如图2:
图1
图2
(1)从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；
(2)从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由。
【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
(1)观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式；
【拓展升华】
(2)利用(1)中的等式解决下列问题．
①已知a2+b2=10，a+b=6，求ab的值；
②已知(2021−c)(c−2019)=2020，求(2021−c)2+(c−2019)2的值．
(1)如图1，阴影部分的面积是______.(写成平方差的形式)
(2)若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是______.(写成多项式相乘的积形式)
(3)比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：______．
(4)应用公式计算：(1−122)(1−132)(1−142)(1−152)…(1−120172)(1−120182).
效学活动课上老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：______，
方法2：______；
(2)观察图2，请你写出代数式：(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系______；
(3)根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值；
②已知(2019−a)2+(a−2018)2=5，求(2019−a)(a−2018)的值．
设a1=32−12，a2=52−32，a3=72−52…，容易知道a1=8，a2=16，a3=24，如果一个数能表示为8的倍数，我们就说它能被8整数，所以a1，a2，a3都能被8整除．
(1)试探究an是否能被8整除，并用文字语言表达出你的结论．
(2)若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”，试找出a1，a2，a3…an这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并说出当n满足什么条件时，an为完全平方数．
【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b(a>b)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到(a−b)2、(a+b)2、ab三者之间的等量关系式：______；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：______；
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
(1)已知x+y=6，xy=114，求x−y的值；
(2)已知|a+b−6|+(ab−7)2=0，求a3+b3的值．
从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)．
(1)上述操作能验证的等式是______(请选择正确的一个)
A.a2−2ab+b2=(a−b)2
B.a2−b2=(a+b)(a−b)
C.a2+ab=a(a+b)
(2)若x2−9y2=12，x+3y=4，求x−3y的值；
(3)计算：(1−122)(1−132)(1−142)…(1−120192)(1−120202)
乘法公式的探究及应用：
(1)如图1所示，阴影部分的面积是______(写成平方差的形式)
(2)若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2所示的长方形，此长方形的面积是______(写成多项式相乘的形式)．
(3)比较两图的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：______．
(4)应用所得的公式计算：2(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1214．
阅读下列材料
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为(x+m)2+n的形式，然后由(x+m)2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值．
例题：求x2−12x+37的最小值．
解：x2−12x+37=x2−2x⋅6+62−62+37=(x−6)2+1．
因为不论x取何值，(x−6)2总是非负数，即(x−6)2≥0．
所以(x−6)2+1≥1．
所以当x=6时，x2−12x+37有最小值，最小值是1．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：x2−8x+______=(x−______)2．
(2)将x2+10x−2变形为(x+m)2+n的形式，并求出x2+10x−2的最小值．
(3)如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S1：如图所示的第二个长方形边长分别是5a、a+5，面积为S2.试比较S1与S2的大小，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由图可知，
图1的面积为：x2−12，
图2的面积为：(x+1)(x−1)，
所以x2−1=(x+1)(x−1)．
故选：B．
根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．
本题考查列代数式平方差公式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
2.【答案】C
【解析】解：∵x2+2(m−5)x+16是完全平方式，
∴m−5=±4，
解得：m=9或1，
则m的值是9或1．
故选：C．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、错误．不是同类项不能合并；
B、错误．应该是(−2a3)2=4a6；
C、正确；
D、错误．应该是(a+b)2=a2+2ab+b2；
故选：C．
根据多项式的乘法法则、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、合并同类项法则一一判断即可；
本题考查多项式的乘法法则、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、合并同类项法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4.【答案】D
【解析】解：A、3a2−2a2=a2，故A错误；
B、a2⋅a3=a5，故B错误；
C、(a−b)2=a2−2ab+b2，故C错误；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2，故D正确；
故选：D．
根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法、完全平方公式进行计算即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式，掌握运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵x2−mx+9是一个完全平方式，
∴m=±6．
故选：C．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：A、(a4b)3=a12b3，故此选项不合题意；
B、−2b(4a−b2)=−8ab+2b3，故此选项不合题意；
C、aa3+a2a2=2a4，故此选项符合题意；
D、(a−5)2=a2−10a+25，故此选项不合题意；
故选：C．
直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则和完全平方公式分别判断得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项和完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、a3+a3=2a3，此选项错误；
B、(a2)3=a6，此选项正确；
C、a6÷a2=a4，此选项错误；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2，此选项错误；
故选：B．
根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的除法及完全平方公式计算可得．
本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的除法及完全平方公式．
8.【答案】A
【解析】解：A、结果是−(2x+y)2，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意；
B、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
C、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
D、能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据平方差公式逐个判断即可．
本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解此题的关键，注意：(a+b)(a−b)=a2−b2．
9.【答案】B
【解析】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a3⋅a2=a5，原计算正确，故此选项符合题意；
C、(−a2)3=−a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、(a+b)2=a2+2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法的运算法则、幂的乘方的运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．
此题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、完全平方公式，正确掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法的运算法则、幂的乘方的运算法则、完全平方公式是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵(−2a3)2=4a6，故选项A正确；
∵a2⋅a3=a5，故选项B错误；
∵3a+a2不能合并，故选项C错误；
∵(a−b)2=a2−2ab+b2，故选项D错误；
故选：A．
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是完全平方公式的有关知识，直接对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：A．(−a+b)2=a2−2ab+b2，故A错误；
B.(2a−b)2=4a2−4ab+b2，故B错误；
C.(12a−b)2=14a2−ab+b2，故C错误；
D.(a+b−c)2=(c−a−b)2，故D正确．
故选D．
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查完全平方式，熟记完全平方式是解题的关键，根据a2+(m−3)a+4是一个完全平方式，得出m−3=±4，进而得解．
【解答】
根据题意得：(m−3)a=±2a×2
∴m−3=±4
解得m=7或−1
故选C．
13.【答案】1
【解析】解：原式=20182−(2018+1)×(2018−1)=20182−20182+1=1，
故答案是：1．
原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
14.【答案】−1或7
【解析】解：∵x2+2(m−3)x+16是关于x的完全平方式，
∴2(m−3)=±8，
解得：m=−1或7，
故答案为：−1或7．
直接利用完全平方公式的定义得出2(m−3)=±8，进而求出答案．
此题主要考查了完全平方公式，正确掌握完全平方公式的基本形式是解题关键．
15.【答案】15
【解析】解：∵a+b=5，a−b=3，
∴a2−b2
=(a+b)(a−b)
=5×3
=15，
故答案为：15．
先根据平方差公式分解因式，再代入求出即可．
本题考查了平方差公式，能够正确分解因式是解此题的关键．
16.【答案】25
【解析】解：正方形的面积为(3a+2b)2=9a2+12ab+4b2，
9+12+4=25，
故答案为：25．
根据完全平方公式先求出正方形的面积，再求出答案即可．
本题考查了完全平方式，能求出正方形的面积是解此题的关键，注意：(a+b)2=a2+2ab+b2．
17.【答案】解：(1)A区显示的结果：25+2a2，B区显示的结果：−16−6a．
(2)这个和不能为负数.理由：从初始状态按4次后，A，B两区代数式分别为25+4a2，−16−12a．
根据题意，得25+4a2+(−16− 12a)=25+4a2−16−12a=4a2−12a+9=(2a−3)2≥0，
∴这个和不能为负数．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)x2+y2=(x+y)2−2xy．
(2)①由题意得：ab=(a+b)2−(a2+b2)2，
把a2+b2=10，a+b=6代入上式得，ab=62−102=13．
②由题意得：(2021−c)2+(c−2019)2=(2021−c+c−2019)2−2(2021−c)(c−2019)=22−2×2020=−4036．
【解析】(1)图2中，阴影部分的面积为两个正方形的面积和，即为x2+y2，从另外一个角度，也可以是大正方形的面积减去两个“丙”图片的面积，即=(x+y)2−2xy，可得等式；
(2)①将(a+b)2=a2+b2+2ab，进行变形为ab=(a+b)2−(a2+b2)2，再整体代入即可；
②利用完全平方公式，进行变形可求答案．
考查完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，再利用公式进行适当变形求出答案．
19.【答案】a2−b2 (a−b)(a+b) a2−b2=(a−b)(a+b)
【解析】解：(1)如图(1)所示，阴影部分的面积是a2−b2，
故答案为：a2−b2；
(2)根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a−b，
则其面积为(a+b)(a−b)，
故答案为：(a+b)(a−b)；
(3)由阴影部分面积相等知a2−b2=(a−b)(a+b)，
故答案为：a2−b2=(a−b)(a+b)；
(4)(1−122)(1−132)(1−142)(1−152)…(1−120172)(1−120182)
=(1−12)(1+12)(1−13)(1+13)…(1−12018)(1+12018)
=12×32×23×43×…×20172018×20192018
=12×20192018
=20194036．
(1)根据面积的和差，可得答案；
(2)根据矩形的面积公式，可得答案；
(3)根据图形割补法，面积不变，可得答案；
(4)根据平方差公式计算即可．
本题考查的是平方差公式的推导和运用，灵活运用平方差公式、掌握数形结合思想是解题的关键．
20.【答案】(a+b)2 a2+b2+2ab (a+b)2=a2+b2+2ab
【解析】解：方法1：S=(a+b)2，
方法2：S=a2+b2+2ab；
故答案为(a+b)2，a2+b2+2ab；
(2)由面积相等，可得(a+b)2=a2+b2+2ab；
故答案为(a+b)2=a2+b2+2ab；
(3)①∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
∴25=13+2ab，
∴ab=6；
②∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
∴[(2019−a)+(a−2018)]2=(2019−a)2+(a−2018)2+2(2019−a)(a−2018)，
即1=5+2(2019−a)(a−2018)，
∴(2019−a)(a−2018)=2．
(1)正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和；
(2)由同一图形面积相等即可得到关系式；
(3)根据(a+b)2=a2+b2+2ab，将所给条件代入即可求解．
本题考查完全平方公式的几何背景；熟练掌握整式的运算，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意得：
an=(2n+1)2−(2n−1)2 =4n2+4n+1−(4n2−4n+1) =8n
∴an能被8整除．
(2)由(1)知an=8n，
当n=2时，a2=16=42,是完全平方数；
当n=8时，a8=64=82,是完全平方数；
当n=18时，a18=144=122,是完全平方数；
当n=32时，a32=256=162,是完全平方数．
这一系列数中从小到大排列的前4个完全平方数依次为：16、64、144、256．
由a2、a8、a18、a32四个完全平方数可知n=2×m2，
所以n为一个完全平方数两倍时，an是完全平方数．
【解析】(1)由题意，an是相邻俩奇数2n+1、2n−1的平方差，化简结果是8的倍数，可整除；
(2)由an=8n找到前四个完全平方数，从下标2、8、18、32可知它们是一个完全平方数的2倍．
本题主要考查了数字的变化规律，利用代数式来表示一般规律，利用已总结的规律进一步探索、发现、归纳得出下一步结论是本题难点．
22.【答案】(a+b)2−4ab=(a−b)2 (a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2
【解析】解：【知识生成】
如图1，方法一：已知边长直接求面积为(a−b)2；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为(a+b)2−4ab，
∴由阴影部分面积相等可得(a+b)2−4ab=(a−b)2；
故答案为：(a+b)2−4ab=(a−b)2；
【知识迁移】
方法一：正方体棱长为a+b，
∴体积为(a+b)3，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即a3+b3+3a2b+3ab2，
∴(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2；
故答案为：(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2；
(1)由(a+b)2−4ab=(a−b)2，
可得(x−y)2=(x+y)2−4xy，
∵x+y=6，xy=114，
∴(x−y)2=62−4×114，
∴(x−y)2=25，
∴x−y=±5；
(2)∵|a+b−6|+(ab−7)2=0，
∴a+b=6，ab=7，
∵(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2；
∴a3+b3=(a+b)3−3a2b−3ab2=63−3ab(a+b)=216−3×7×6=90．
【知识生成】利用面积相等推导公式(a+b)2−4ab=(a−b)2；
【知识迁移】利用体积相等推导(a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2；
(1)应用知识生成的公式，进行变形，代入计算即可；
(2)先根据非负数的性质得：a+b=6，ab=7，由知识迁移的等式可得结论．
本题考查完全平方公式的几何意义；能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
23.【答案】解：(1)B
(2)∵x2−9y2=(x+3y)(x−3y)=12，且x+3y=4
∴x−3y=3
(3)(1−122)(1−132)(1−142)…(1−120192)(1−120202)
=(1+12)(1−12)(1+13)(1−13)…(1+12020)(1−12020)
=32×12×43×23×54×34×…×20212020×20192020
=12×20212020
=20214040
【解析】
【分析】
本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
(1)结合图1和图2阴影部分面积相等建立等式即可．
(2)利用平方差公式计算即可．
(3)利用平方差公式展开计算化简，最后求值．
【解答】
解：(1)∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2−b2；图(2)长方形面积为(a+b)(a−b)；
∴验证的等式是a2−b2=(a+b)(a−b)
故答案为：B．
(2)见答案；
(3)见答案．
24.【答案】a2−b2 (a+b)(a−b) (a+b)(a−b)=a2−b2
【解析】解：(1)a2−b2；
(2)(a−b)(a+b)；
(3)(a−b)(a+b)=a2−b2；
(4)2(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1214
=4(1−12)(1+12)(1+122)(1+124)(1+128)+1214
=4(1−1216)+1214
=4−1214+1214
=4．
(1)根据面积的和差，可得答案；
(2)根据矩形的面积公式，可得答案；
(3)根据图形割补法，面积不变，可得答案；
(4)根据平方差公式计算即可．
本题考查的是平方差公式的推导和运用，灵活运用平方差公式、掌握数形结合思想是解题的关键．
25.【答案】解：(1)16，4；
(2)x2+10x−2
=x2+10x+25−25−2
=x2+10x+25−27
=(x+5)2−27，
当x=−5时，x2+10x−2的最小值为−27；
(3)S1=(2a+5)(3a+2)=6a2+19a+10，
S2=5a(a+5)=5a2+25a，
∴S1−S2=6a2+19a+10−(5a2+25a)=a2−6a+10=(a−3)2+1，
∵(a−3)2≥0，
∴(a−3)2+1>0，
∴S1−S2>0，
∴S1>S2．
【解析】解：(1)x2−8x+16=(x−4)2，
故答案为：16；4；
(2)(3)见答案．
(1)根据完全平方公式解答；
(2)利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答；
(3)根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则分别求出S1、S2，求出S1−S2，根据完全平方公式变形，根据偶次方的非负性解答．
本题考查的是完全平方公式的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．