高中数学人教版新课标A必修33.1.1随机事件的概率学案

高一数学必修3导学案(教师版)      编号　　

教学过程：

一、〖创设情境〗

1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系，集合可以进行交、并、补运算，你还

记得子集、等集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗？

2 我们可以把一次试验可能出现的结果看成一个集合（如连续抛掷两枚硬币），那么

必然事件对应全集，随机事件对应子集，不可能事件对应空集，从而可以类比集

合的关系与运算，分析事件之间的关系与运算，使我们对概率有进一步的理解和

认识．

二、〖新知探究〗

1. 事件的关系与运算

思考：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：

C1＝｛出现1点｝，

C2＝｛出现2点｝，

C3＝｛出现3点｝，C4＝｛出现4点｝，

C5＝｛出现5点｝，C6＝｛出现6点｝，

D1＝｛出现的点数不大于1｝，

D2＝｛出现的点数大于4｝，

D3＝｛出现的点数小于6｝，

E＝｛出现的点数小于7｝，

F＝｛出现的点数大于6｝，

G＝｛出现的点数为偶数｝，

H＝｛出现的点数为奇数｝，等等.

你能写出这个试验中出现其它一些事件吗？类比集合与集合的关系，运算，你能发现

它们之间的关系和运算吗？

上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件?

(1) 显然，如果事件C1发生， 则事件H一定发生，这时我们说事件H包含事件C1，

记作H C1

一般地，对于事件A与事件B，如何理解事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）？特别地，不可能事件用Ф表示，它与任何事件的关系怎样约定？

如果当事件A发生时，事件B一定发生，则BA ( 或AB  )；

 任何事件都包含不可能事件.

（2）分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关

系应怎样描述？

一般地，当两个事件A、B满足什么条件时，称事件A与事件B相等？

若BA，且AB，则称事件A与事件B相等，记作A=B.

（3）如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？

事件D2称为事件C5与事件C6的并事件（或和事件），一般地，事件A与

事件B的并事件（或和事件）是什么含义？

当且仅当事件A发生或事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作 C=A∪B(或A+B).

（4）类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=A∩B（或AB），在上述事件中能找出这样的例子吗？

例如，在掷骰子的试验中D2∩D3=C4

（5）两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即A∩B＝Ф，此时，称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生

例如，上述试验中的事件C1与事件C2互斥，事件G与事件H互斥。

（6）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，其含义是： 事件A与事件B有且只有一个发生.

思考：事件A与事件B的和事件、积事件，分别对应两个集合的并、交，那么事件A与事件B互为对立事件，对应的集合A、B是什么关系？

集合A与集合B互为补集.

思考：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与

事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗？

2.概率的几个基本性质  

思考1：概率的取值范围是什么？必然事件、不可能事件的概率分别是多少？

思考2：如果事件A与事件B互斥，则事件A∪B发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关系？fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系？进一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？

若事件A与事件B互斥，则A∪B发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和，且 P（A∪B）＝P（A）＋  P（B），这就是概率的加法公式.

思考3：如果事件A与事件B互为对立事件，则P(A∪B)的值为多少？P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系？由此可得什么结论？

若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＋P（B）＝1.

思考4：如果事件A与事件B互斥，那么P（A）＋P（B）与1的大小关系如何？

P（A）＋P（B）≤1.

思考5：如果事件A1，A2，…，An中任何两个都互斥，那么事件（A1+A2+…+An）的含义如何？P（A1+A2+…+An）与P（A1）， P（A2），…，P（An）有什么关系？

事件（A1+A2+…+An）表示事件A1，A2，…，An中有一个发生；

P（A1+A2+…+An）= P（A1）+P（A2）+ … +P（An）.

思考6：对于任意两个事件A、B， P（A∪B）一定比P（A）或P（B）大吗？ P（A∩B）一定比P（A）或P（B）小吗？

三、〖典型例题〗

例1　如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是0.25，取到方片（事件B）的概率是0.25，问：

（l）取到红色牌（事件C）的概率是多少？

（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？

解：（1）因为C= A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件，根据概率的加法公式，得

P（C）=P（A∪B）= P（A）＋P（B）=0.5，

（2）C与D也是互斥事件，又由于C∪D为必然事件，所以C与D互为对立事件，所以

P（D）=1- P（C）=0.5.

例2某射手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立事件？

事件A：命中环数大于7环；

事件B：命中环数为10环；

事件C：命中环数小于6环； 

事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．

．

事件A与事件C互斥，事件B与事件C互斥，事件C与事件D互斥且对立.

例3 一个人打靶时连续射击两次

事件“至少有一次中靶”的互斥事件是                                                 （ D ）

A.至多有一次中靶     

B.两次都中靶

C. 只有一次中靶     

D. 两次都不中靶

例4   把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是     (  B  )

 A.对立事件               

 B. 互斥但不对立事件

 C.必然事件             

 D. 不可能事件

例5 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是 1/3 ，得到黑球或黄球的概率是 5/12，得到黄球或绿球的概率也是5/12  ，试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？

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四、〖知识小结〗

1.事件的各种关系与运算，可以类比集合的关系与运算，互斥事件与对立事件的概念的外延具有包含关系，即{对立事件}　{互斥事件}.

2.在一次试验中，两个互斥事件不能同时发生，它包括一个事件发生而另一个事件不发生，或者两个事件都不发生，两个对立事件有且仅有一个发生.

３.事件（A+B）或（A∪B），表示事件A与事件B至少有一个发生，事件（AB）或A∩B，表示事件A与事件B同时发生.

4.概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P（A∪B）≤P（A）＋P（B）.

五、〖随堂练习〗

1. 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件?哪些是对立事件?

事件A：命中环数大于7环；            事件B：命中环数为10环；

事件C：命中环数小于6环；            事件D：命中环数为6、7、8、9、10环.

分析：要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生。

解：A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）.

2 .抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=，P(B)=，求出“出现奇数点或偶数点”．

分析：抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．

解：记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，所以P(C)=P(A)+ P(B)=+=1

答：出现奇数点或偶数点的概率为1

3 .如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是，问：

（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？

（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？

分析：事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．

解：（1）P(C)=P(A)+ P(B)=（2）P(D)=1—P(C)=

4 .袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？

分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．

解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，则有P(B∪C)=P(B)+P(C)=；P(C∪D)=P(C)+P(D)=；P(B∪C∪D)=1-P(A)=1-=,解的P(B)=,P(C)=,P(D)=

答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、．

5. 从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每件事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件。

（1）恰好有1件次品恰好有2件次品；

（2）至少有1件次品和全是次品；

（3）至少有1件正品和至少有1件次品；

（4）至少有1件次品和全是正品；

解：依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一定试验中不会同时发生知：（1）恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的并不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断：（2）中的2个事件不是互斥事件，也不是对立事件。（3）中的2个事件既是互斥事件也是对立事件。

6．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，求出现奇数点或2点的概率之和。

解：“出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=+=

7．某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：

（1）射中10环或9环的概率；

（2）少于7环的概率。

解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环的

概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环

的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为1－0.97=0.03。

8．已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？

解：从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率的和，即为+=

六、〖板书设计〗

七、〖教后记〗