2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第2讲　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第2讲　高效演练分层突破学案，共6页。

1．(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝eq \f(3,5)，且α是第三象限角，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2 019π,2)))＝( )
A.eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5)
C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)
解析：选D.sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2)))＝－cs α＝eq \f(3,5)，所以cs α＝－eq \f(3,5)，因为α是第三象限角，所以sin α＝－eq \f(4,5)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2 019π,2)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1 008π＋α＋\f(3π,2)))＝sin α＝－eq \f(4,5).
2．若角α的终边落在第三象限，则eq \f(cs α,\r(1－sin2α))＋eq \f(2sin α,\r(1－cs2α))的值为( )
A．3 B．－3
C．1 D．－1
解析：选B.因为α是第三象限角，故sin α<0，cs α<0，所以原式＝eq \f(cs α,|cs α|)＋eq \f(2sin α,|sin α|)＝－1－2＝－3.
3．已知tan(π－α)＝－eq \f(2,3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，则eq \f(cs（－α）＋3sin（π＋α）,cs（π－α）＋9sin α)＝( )
A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(3,7)
C.eq \f(1,5) D．eq \f(3,7)
解析：选A.由tan(π－α)＝－eq \f(2,3)，得tan α＝eq \f(2,3).
eq \f(cs（－α）＋3sin（π＋α）,cs（π－α）＋9sin α)＝eq \f(cs α－3sin α,－cs α＋9sin α)＝eq \f(1－3tan α,－1＋9tan α)＝eq \f(1－2,－1＋6)＝－eq \f(1,5).故选A.
4．(2019·东北三省三校模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＝( )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(\r(2),3)
解析：选B.由题意知，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(1,3).故选B.
5．已知α∈[0，2π)，cs α＋3sin α＝eq \r(10)，则tan α＝( )
A．－3 B．3或eq \f(1,3)
C．3 D．eq \f(1,3)
解析：选C.因为(cs α＋3sin α)2＝10，
所以cs2α＋6sin αcs α＋9sin2α＝10，
所以eq \f(cs2α＋6sin αcs α＋9sin2α,cs2α＋sin2α)＝10，
所以eq \f(1＋6tan α＋9tan2α,1＋tan2α)＝10，所以tan α＝3，故选C.
6．(2020·惠州模拟)已知tan α＝eq \f(1,2)，且α∈(π，eq \f(3π,2))，则cs(α－eq \f(π,2))＝________．
解析：由α∈(π，eq \f(3π,2))知α为第三象限角，联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(tan α＝\f(sin α,cs α)＝\f(1,2)，,sin2α＋cs2α＝1，))得5sin2α＝1，故sin α＝－eq \f(\r(5),5).
答案：－eq \f(\r(5),5)
7．若|sin θ|＋|cs θ|＝eq \f(2\r(3),3)，则sin4θ＋cs4θ＝________．
解析：|sin θ|＋|cs θ|＝eq \f(2\r(3),3)，两边平方得，1＋|sin 2θ|＝eq \f(4,3)，所以|sin 2θ|＝eq \f(1,3)，所以sin4θ＋cs4θ＝(sin2θ＋cs2θ)2－2sin2θcs2θ＝1－2sin2θcs2θ＝1－eq \f(1,2)sin2 2θ＝1－eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(17,18).
答案：eq \f(17,18)
8．若eq \f(1＋cs α,sin α)＝3，则cs α－2sin α＝________．
解析：由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cs α>0，即cs α＝3sin α－1，则cs2α＝1－sin2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝eq \f(3,5)，所以cs α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－eq \f(2,5).
答案：－eq \f(2,5)
9．已知α为第三象限角，
f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）).
(1)化简f(α)；
(2)若cs(α－eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝eq \f(sin（α－\f(π,2)）·cs（\f(3π,2)＋α）·tan（π－α）,tan（－α－π）·sin（－α－π）)
＝eq \f(（－cs α）·sin α·（－tan α）,（－tan α）·sin α)＝－cs α.
(2)因为cs(α－eq \f(3π,2))＝eq \f(1,5)，
所以－sin α＝eq \f(1,5)，
从而sin α＝－eq \f(1,5).
又α为第三象限角，
所以cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(6),5)，
所以f(α)＝－cs α＝eq \f(2\r(6),5).
10．是否存在α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))使等式sin(3π－α)＝eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))，eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)cs(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
解：假设存在角α，β满足条件．
由已知条件可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin α＝\r(2)sin β，①,\r(3)cs α＝\r(2)cs β，②))
由①2＋②2，得sin2α＋3cs2α＝2.
所以sin2α＝eq \f(1,2)，所以sin α＝±eq \f(\r(2),2).
因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α＝±eq \f(π,4).
当α＝eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，
又β∈(0，π)，所以β＝eq \f(π,6)，此时①式成立；
当α＝－eq \f(π,4)时，由②式知cs β＝eq \f(\r(3),2)，又β∈(0，π)，
所以β＝eq \f(π,6)，此时①式不成立，故舍去．
所以存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)满足条件．
[综合题组练]
1．已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cs θ，sin θ)，B(2cs θ＋sin θ，5cs θ－sin θ)，则直线AB的斜率为( )
A．3 B．－4
C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,4)
解析：选D.由题意知tan θ＝3，kAB＝eq \f(5cs θ－sin θ－sin θ,2cs θ＋sin θ－cs θ)＝eq \f(5－2tan θ,1＋tan θ)＝－eq \f(1,4).故选D.
2．A＝{sin α，cs α，1}，B＝{sin2α，sin α＋cs α，0}，且A＝B，则sin2 019α＋cs2 018α＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．±1
解析：选C.当sin α＝0时，sin2α＝0，此时集合B中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cs α＝0时，A＝{sin α，0，1}，B＝{sin2α，sin α，0}，此时sin2α＝1，得sin α＝－1，所以sin2 019α＋cs2 018α＝－1.
3．已知θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且eq \f(12,sin θ)＋eq \f(12,cs θ)＝35，则tan θ＝________．
解析：依题意得12(sin θ＋cs θ)＝35sin θcs θ，令sin θ＋cs θ＝t，因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以t>0，则原式化为12t＝35·eq \f(t2－1,2)，解得t＝eq \f(7,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＝－\f(5,7)舍去))，故sin θ＋cs θ＝eq \f(7,5)，则sin θcs θ＝eq \f(12,25)，即eq \f(sin θcs θ,sin2θ＋cs2θ)＝eq \f(12,25)，即eq \f(tan θ,1＋tan2θ)＝eq \f(12,25)，12tan2θ－25tan θ＋12＝0，解得tan θ＝eq \f(3,4)或eq \f(4,3).
答案：eq \f(3,4)或eq \f(4,3)
4．(2020·襄阳模拟)已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝2，则
eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(4π,3)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6))))＝________．
解析：eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(4π,3)))＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(5π,6))))
＝eq \f(－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))))
＝－eq \f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋1,tan（α＋\f(π,3)）－1)，
把tan(α＋eq \f(π,3))＝2代入得，原式＝－eq \f(2＋1,2－1)＝－3.
答案：－3
5．已知关于x的方程2x2－(eq \r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cs θ，θ∈(0，2π)，求：
(1)eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解：(1)原式＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－\f(sin θ,cs θ))
＝eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs2θ,cs θ－sin θ)
＝eq \f(sin2θ－cs2θ,sin θ－cs θ)＝sin θ＋cs θ.
由条件知sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
故eq \f(sin2θ,sin θ－cs θ)＋eq \f(cs θ,1－tan θ)＝eq \f(\r(3)＋1,2).
(2)由已知，得sin θ＋cs θ＝eq \f(\r(3)＋1,2)，
sin θcs θ＝eq \f(m,2)，
又1＋2sin θcs θ＝(sin θ＋cs θ)2，可得m＝eq \f(\r(3),2).
(3)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＋cs θ＝\f(\r(3)＋1,2)，,sin θcs θ＝\f(\r(3),4)，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(\r(3),2)，,cs θ＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(sin θ＝\f(1,2)，,cs θ＝\f(\r(3),2).))
又θ∈(0，2π)，故θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(π,6).
6．在△ABC中，
(1)求证：cs2eq \f(A＋B,2)＋cs2 eq \f(C,2)＝1；
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，
求证：△ABC为钝角三角形．
证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
所以eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)，
所以cseq \f(A＋B,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sin eq \f(C,2)，
所以cs2eq \f(A＋ B,2)＋cs2eq \f(C,2)＝1.
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)＜0，
所以(－sin A)(－cs B)tan C＜0，即sin Acs Btan C＜0.
因为在△ABC中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且sin A＞0，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs B＜0，,tan C＞0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(cs B＞0，,tan C＜0，))
所以B为钝角或C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．