2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第1讲　高效演练分层突破学案

这是一份2023届高考一轮复习讲义（理科）第四章　三角函数、解三角形 第1讲　高效演练分层突破学案，共6页。

1．若角α的终边经过点P(1，eq \r(3))，则cs α＋tan α的值为( )
A.eq \f(1＋2\r(3),2) B．eq \f(－1＋\r(3),2)
C.eq \f(1＋\r(3),2) D．eq \f(－1＋2\r(3),2)
解析：选A.因为角α的终边经过点P(1，eq \r(3))，则x＝1，y＝eq \r(3)，r＝|OP|＝2，所以cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(1,2)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \r(3)，那么cs α＋tan α＝eq \f(1＋2\r(3),2)，故选A.
2．若角α与β的终边关于x轴对称，则有( )
A．α＋β＝90°
B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z
C．α＋β＝2k·180°，k∈Z
D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z
解析：选C.因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z，所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.
3．已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选B.由题意知tan α<0，cs α<0，故sin α>0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.
4．已知点P(sin x－cs x，－3)在第三象限，则x的可能区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))
解析：选D.由点P(sin x－cs x，－3)在第三象限，可得sin x－cs x<0，即sin x5．已知角α＝2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq \f(sin θ,|sin θ|)＋eq \f(cs θ,|cs θ|)＋eq \f(tan θ,|tan θ|)的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
解析：选B.由α＝2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cs θ>0，tan θ<0.
所以y＝－1＋1－1＝－1.
6．已知α是第二象限角，P(x，eq \r(5))为其终边上一点，且cs α＝eq \f(\r(2),4)x，则x＝________．
解析：因为cs α＝eq \f(x,\r(x2＋5))＝eq \f(\r(2),4)x，所以x＝0或x＝eq \r(3)或x＝－eq \r(3)，又α是第二象限角，所以x＝－eq \r(3).
答案：－eq \r(3)
7．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
解析：设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为eq \r(2)r，所以圆心角的弧度数是eq \f(\r(2)r,r)＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
8．已知点P(sin θ，cs θ)是角α终边上的一点，其中θ＝eq \f(2π,3)，则与角α终边相同的最小正角为________．
解析：因为θ＝eq \f(2π,3)，故Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，故α为第四象限角且cs α＝eq \f(\r(3),2)，所以α＝2kπ＋eq \f(11π,6)，k∈Z，所以与角α终边相同的最小正角为eq \f(11π,6).
答案：eq \f(11π,6)
9．已知eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)，m))，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由eq \f(1,|sin α|)＝－eq \f(1,sin α)，得sin α<0，
由lg(cs α)有意义，可知cs α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)＋m2＝1，解得m＝±eq \f(4,5).
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－eq \f(4,5)，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(m,|OM|)＝eq \f(－\f(4,5),1)＝－eq \f(4,5).
10．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cs θ的值；
(2)试判断cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cs θ＝－eq \f(1,5).
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cs θ＝eq \f(1,5).
(2)当a＞0时，sin θ＝eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
cs θ＝－eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
则cs(sin θ)·sin(cs θ)
＝cs eq \f(3,5)·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＜0；
当a＜0时，sin θ＝－eq \f(3,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
cs θ＝eq \f(4,5)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则cs(sin θ)·sin(cs θ)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))·sin eq \f(4,5)＞0.
综上，当a＞0时，cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号为负；
当a＜0时，cs(sin θ)·sin (cs θ)的符号为正．
[综合题组练]
1．(2020·河北唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sin α，3)(sin α≠0)，则cs α＝( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
解析：选A.由三角函数定义得tan α＝eq \f(3,2sin α)，即eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(3,2sin α)，得3cs α＝2sin2α＝2(1－cs2α)，解得cs α＝eq \f(1,2)或cs α＝－2(舍去)．故选A.
2．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( )
A．若α，β是第一象限的角，则cs α>cs β
B．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β
C．若α，β是第三象限的角，则cs α>cs β
D．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β
解析：选D.由三角函数线可知选D.
3．如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α弧度，则eq \f(α,tan α)＝________．
解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为eq \f(1,2)αr2，在Rt△POB中，PB＝rtan α，则△POB的面积为eq \f(1,2)r·rtan α，由题意得eq \f(1,2)r·rtan α＝2×eq \f(1,2)αr2，所以tan α＝2α，所以eq \f(α,tan α)＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
4．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________．
解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，
则eq \(AQ,\s\up8(︵))＝AP＝tm，根据切线的性质知OA⊥AP，
所以S1＝eq \f(1,2)tm·r－S扇形AOB，S2＝eq \f(1,2)tm·r－S扇形AOB，
所以S1＝S2恒成立．
答案：S1＝S2
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．
(1)若点B的横坐标为－eq \f(4,5)，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
解：(1)由题意可得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，
根据三角函数的定义得tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,4).
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝eq \f(π,3)，故与角α终边相同的角β的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β|β＝\f(π,3)＋2kπ，k∈Z)).
(3)若α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))，则S扇形＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)α，
而S△AOB＝eq \f(1,2)×1×1×sin α＝eq \f(1,2)sin α，故弓形的面积S＝S扇形－S△AOB＝eq \f(1,2)α－eq \f(1,2)sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3))).
6．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求eq \f(α,2)终边所在的象限；
(3)试判断tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号．
解：(1)因为sin α<0且tan α>0，
所以α是第三象限角，故角α的集合为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(2kπ＋π<α<2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).
(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
故kπ＋eq \f(π,2)当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(3π,2)综上，eq \f(α,2)的终边在第二或第四象限．
(3)法一：当eq \f(α,2)是第二象限角时，
tan eq \f(α,2)<0，sin eq \f(α,2)>0，cs eq \f(α,2)<0，
故tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)>0，
当eq \f(α,2)是第四象限角时，
tan eq \f(α,2)<0，sin eq \f(α,2)<0，cs eq \f(α,2)>0，
故tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)>0.
法二：tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs \f(α,2))·sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)＝sin2 eq \f(α,2).
由于eq \f(α,2)是第二象限角或第四象限角，
所以sin2 eq \f(α,2)＞0，
综上，tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号．