2023届高考一轮复习讲义（理科）第一章　集合与常用逻辑用语 第2讲　高效演练分层突破学案

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1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．否定
解析：选B.命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．
2．“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x，y全为0”的逆否命题是 ( )
A．若x，y∈R，x，y全不为0，则x2＋y2≠0
B．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2＝0
C．若x，y∈R，x，y不全为0，则x2＋y2≠0
D．若x，y∈R，x，y全为0，则x2＋y2≠0
解析：选C.依题意得，原命题的题设为若x2＋y2＝0，结论为x，y全为零．逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，故选C.
3．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cs x≠cs y”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cs x≠cs y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cs x＝cs y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cs x≠cs y”的必要不充分条件．
4．下列命题：
①“若a≤b，则a＜b”的否命题；
②“若a＝1，则ax2－x＋3≥0的解集为R”的逆否命题；
③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；
④“若eq \r(2)x为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中真命题的序号为( )
A．②④ B．①②③
C．②③④ D．①③④
解析：选B.对于①，逆命题为真，故否命题为真；
对于②，原命题为真，故逆否命题为真；
对于③，“面积相等的圆周长相同”为真；
对于④，“若eq \r(2)x为有理数，则x为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．故选B.
5．设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.因为|a－3b|＝|3a＋b|，所以(a－3b)2＝(3a＋b)2，所以a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又因为|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b；反之也成立．故选C.
6．(2020·咸阳模拟)已知p：m＝－1，q：直线x－y＝0与直线x＋m2y＝0互相垂直，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由题意得直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以eq \f(－1,m2)＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件．故选A.
7．(2020·郑州模拟)设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由b＝c，得b－c＝0，得a·(b－c)＝0；反之不成立．故“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的必要不充分条件．
8．使a＞0，b＞0成立的一个必要不充分条件是( )
A．a＋b＞0 B．a－b＞0
C．ab＞1 D．eq \f(a,b)＞1
解析：选A.因为a＞0，b＞0⇒a＋b＞0，反之不成立，而由a＞0，b＞0不能推出a－b＞0，ab＞1，eq \f(a,b)＞1，故选A.
9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．
解析：由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，则A＝B＋kπ，k∈Z.因为0答案：充要
10．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题，否命题，逆否命题中，假命题的个数是________．
解析：若m＝2，n＝3，则2>－3，但22<32，所以原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，若m＝－3，n＝－2，则(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命题是假命题，则否命题也是假命题．故假命题的个数为3.
答案：3
11．(2020·齐鲁名校调研)给出下列说法：
①“若x＋y＝eq \f(π,2)，则sin x＝cs y”的逆命题是假命题；
②“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要条件”是真命题；
③“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件；
④命题“若x<－1，则x2－2x－3>0”的否命题为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”．
以上说法中正确的是________(填序号)．
解析：对于①，“若x＋y＝eq \f(π,2)，则sin x＝cs y”的逆命题是“若sin x＝cs y，则x＋y＝eq \f(π,2)”，当x＝0，y＝eq \f(3π,2)时，有sin x＝cs y成立，但x＋y＝eq \f(3π,2)，故逆命题为假命题，①正确；对于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C⇔b>c⇔B>C，②正确；对于③，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故③错误；对于④，根据否命题的定义知④正确．
答案：①②④
[综合题组练]
1．(2020·抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．则下列四个命题中为p的逆否命题的是( )
A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格
B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分
C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分
D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分
解析：选C.根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p的逆否命题是若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分．故选C.
2．(2020·广东江门模拟)若a，b都是正整数，则a＋b＞ab成立的充要条件是( )
A．a＝b＝1 B．a，b至少有一个为1
C．a＝b＝2 D．a＞1且b＞1
解析：选B.因为a＋b＞ab，所以(a－1)(b－1)＜1.因为a，b∈N*，所以(a－1)(b－1)∈N，所以(a－1)(b－1)＝0，所以a＝1或b＝1.故选B.
3．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知ax2－2ax－3≤0恒成立，当a＝0时，－3≤0成立；当a≠0时，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ＝4a2＋12a≤0，))
解得－3≤a<0，故实数a的取值范围是－3≤a≤0.
答案：[－3，0]
4．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，则a的取值范围是________．
解析：由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由﹁q的一个充分不必要条件是﹁p，可知﹁p是﹁q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件，故a≥1.
答案：[1，＋∞)