高中北师大版 (2019)2.1 必要条件与充分条件课堂检测
展开必要条件与充分条件
[A级 基础巩固]
1.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,q是p的必要条件的是( )
A.若a是1的平方根,则a=1
B.若4x2-mx+9是完全平方式,则m=12
C.若a是无理数,则a是无限小数
D.若a与b互为相反数,则a与b的绝对值相等
解析:选CD A.1的平方根是±1,所以p q,所以q不是p的必要条件.
B.因为4x2-mx+9=(2x±3)2,所以m=±12,所以p q,所以q不是p的必要条件.
C.因为无理数是无限不循环小数,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.
D.若a与b互为相反数,则a与b的绝对值相等,所以p⇒q,所以q是p的必要条件.
2.若p:四边形ABCD是菱形,q:四边形ABCD是矩形,则p是q的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件,也是必要条件
D.既不是充分条件,也不是必要条件
解析:选D 依题意,当四边形ABCD是菱形时,不一定是矩形.当四边形ABCD是矩形时,不一定是菱形.∴p q,q p,∴p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件.
3.“a>b”是“a>|b|”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件,也是必要条件
D.既不是充分条件,也不是必要条件
解析:选B 由a>|b|⇒a>b,而a>b a>|b|.
4.设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么( )
A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件
B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件
C.丙既是甲的充分条件,又是甲的必要条件
D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件
解析:选A 因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲.又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙 丙,如图.
综上,有丙⇒甲,但甲 丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件.
5.设x,y是两个实数,命题:“x,y中至少有一个数大于1”成立的充分条件但不是必要条件是( )
A.x+y=2 B.x+y>2
C.x2+y2>2 D.xy>1
解析:选B 对于选项A,当x=1,y=1时,满足x+y=2,但命题不成立;对于选项C、D,当x=-2,y=-3时,满足x2+y2>2,xy>1,但命题不成立,也不符合题意.
6.设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的________条件.
解析:若“四边形ABCD”为菱形”,则“对角线AC⊥BD”成立;而若“对角线AC⊥BD”成立,则“四边形ABCD不一定为菱形”,所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件但不是必要条件.
答案:充分条件但不是必要
7.下列不等式:
①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以作为|x|<1的一个充分条件的所有序号为________.
解析:由于|x|<1即-1<x<1,①显然不能使-1<x<1一定成立,②③④满足题意.
答案:②③④
8.已知p:a≤x≤a+1,q:0<x<4,若p是q的充分条件但不是必要条件,则a的取值范围是________.
解析:设A={x|a≤x≤a+1},B={x|0<x<4},
∵p是q的充分条件但不是必要条件,
∴AB.
∴∴0<a<3.
答案:(0,3)
9.是否存在实数p,使4x+p<0是x>2或x<-1的充分条件?如果存在,求出p的取值范围;否则,说明理由.
解:令A={x|x>2或x<-1}.
由4x+p<0,得B=.
当B⊆A时,即-≤-1,即p≥4,
此时x<-≤-1⇒x>2或x<-1,
∴当p≥4时,4x+p<0是x>2或x<-1的充分条件.
10.已知p:-2≤x-8≤2,q:x>1,r:a<x<2a.若r是p的必要条件但不是充分条件,且r是q的充分条件但不是必要条件,求实数a的取值范围.
解:易得a>0,p:6≤x≤10.
记p,q,r中x的取值构成的集合分别为A,B,C,
则A={x|6≤x≤10},B={x|x>1},C={x|a<x<2a}.
由于r是p的必要条件但不是充分条件,r是q的充分条件但不是必要条件,
则AC,CB,
结合数轴(图略)应有解得5<a<6,即实数a的取值范围是(5,6).
[B级 综合运用]
11.“x>5”是“x>10”的( )
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件,也是必要条件
D.既不是充分条件,也不是必要条件
解析:选B 因为x>5推不出x>10,故充分性不成立,x>10推得出x>5,所以必要性成立,所以“x>5”是“x>10”的必要条件但不是充分条件,故选B.
12.某校高一年级为丰富学生的课外生活,提高学生的探究能力,特开设了一些社会活动小组,现有其中的甲、乙两组同学在参加社团活动中,设计了如下两个电路图.并根据在数学课上所学的充分条件与必要条件知识,提出了下面两个问题:
(1)①中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?
(2)②中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件?
你能根据本节课所学知识解答上述两个问题吗?
解:(1)充分条件.(2)必要条件.
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