高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识2 常用逻辑用语2.1 必要条件与充分条件教学设计及反思

《必要条件与充分条件（1）》教学设计

1． 掌握必要条件的概念．

2． 理解必要条件的意义．

3． 理解性质定理与必要条件的关系．

4． 会判断条件与结论之间的必要性．

5． 提高数学表达、数学运算和数学思维的准确性，培养逻辑思维能力．

重点：掌握必要条件的概念和意义；会判断条件与结论之间的必要性．

难点：会判断条件与结论之间的必要性．

一、新课导入

回顾旧知：什么是命题？关于命题的说法与表示．

分析：1． 可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题．

2． 正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．

3． 所有命题都可以转化为命题的一般形式“若p，则q”或“如果p，那么q” ．

4． 命题的一般形式是“若p，则q”，p是命题的条件，q是命题的结论．

5． 如果“若p，则q”是真命题，就说由p推出q，记作．

今天，我们将更加深入地学习与命题有关的概念——必要条件与充分条件（1）．

设计意图：对命题这个旧知进行回顾，建立新旧知识连接，顺利引出本节课题．

二、新知探究

探究一：必要条件的理解．

实例分析：

定理1 如果四边形为菱形，那么这个四边形的对角线互相垂直．

定理2 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．

定理3 如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等．

师分析定理1：即如果能确定一个四边形为菱形，那么一定可以得出这个四边形的对角线互相垂直；而一旦某个四边形的对角线不互相垂直，那么这个四边形一定不是菱形．

生尝试分析定理2、3．

答案：定理2 即如果能确定两个角是对顶角，那么一定可以得出这两个角相等；而一旦两个角不相等，那么这两个角一定不是对顶角．定理3 即如果能确定两个三角形是全等三角形，那么一定可以得出这两个三角形的对应角相等；而一旦两个三角形的对应角不相等，那么这两个三角形一定不是全等三角形．

小结：上面三个定理（命题）都可以写成相同的形式：“如果p成立，那么q成立”（或“若p成立，则q成立”），我们可以得出“一旦q不成立，那么p一定也不成立”，即q对于p的成立是必要的．

探究二：必要条件与性质定理．

知识点：

1． 一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称q是p的必要条件．即为真时，若p成立，则q成立，一旦q不成立，p一定也不成立，即为真时，q对于p的成立是必要的．

2． 性质定理：

（1）定理1 菱形的对角线互相垂直．

“对角线互相垂直”是“四边形为菱形”的必要条件．

（2）定理2 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．

“两个角相等”是“两个角是对]页角”的必要条件．

（3）定理3 如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等．

“两个三角形的对应角相等”是“两个三角形全等的必要条件．

探究三：必要条件的判定方法．

知识点：

对于一个命题，判断条件的必要性的方法如下：

1． 要根据原命题的语言表述形式，判断出哪句是条件p、哪句是结论q，并把命题写

成“若p则q"的形式；

2． 判断推导的正确性．即判断“”为真还是“"为真．

3． 如果，就称“q是p的必要条件”；如果，就称“p是q的必要条件”．

小结：对必要条件的理解：

（1）所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．

（2）必要条件不是唯一的，如等都是的必要条件．

设计意图：通过对必要条件的理解、必要条件与性质定理的思考两个探究活动，循循渐进，深入理解必要条件．师生互动，启发教学，培养学生逻辑思维能力．

三、应用举例

例1： 将下面的性质定理写成“若p，则q”的形式，并用必要条件的语言表述．

    （1）平面四边形的外角和是360°；

（2）在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同．

解：（1）“平面四边形的外角和是360°”可表述为“若平面多边形为四边形，则它的外角和为360°”，所以“外角和为360”是“平面多边形为四边形”的必要条件；

（2）“在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的横坐标相同”可表述为“在平面直角坐标系中，若两个点关于x轴对称，则这两个点的横坐标相同”，所以“两个点的横坐标相同”是“在平面直角坐标系中，两个点关于x轴对称”的必要条件．

    例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件?

    （1）若，则；

（2）若是直角三角形，则是等腰三角形；

（3） ；

（4）；

（5）p： a是自然数，q： a是正整数﹔

（6）p：三角形是等边三角形，q：三角形是等腰三角形．

解：（1）若，则或，因此，所以q不是p的必要条件．

（2）直角三角形不一定是等腰三角形，因此，所以q不是p的必要条件．

（3）当时，，所以，所以q是p的必要条件．

（4）当时成立，但是不成立，所以，所以q不是p的必要条件．

（5）0是自然数，但是0不是正整数，所以，所以q不是p的必要条件．

（6）等边三角形一定是等腰三角形，所以，所以q是p的必要条件．

四、课堂练习

1． 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．

（1）已知，则“若p，则q”是真命题． （）

（2）已知，则q的充分条件是p，p的必要条件是q．（）

（3）q是p的必要条件是指“要使p成立，必须要有q成立”也就是说“若q不成立，则p一定不成立”．（）

（4）是的必要条件．（）

2． 已知： ，求p是q的    条件．

3． ，下列各式中为“”的必要条件的是（）．

4． 已知，若是p的一个必要条件，求使恒成立的实数b的取值范围．

参考答案：

1． （1）√（2）√（3）√（4）×

解析：由必要条件的理解得出．

2．  p是q的必要条件

解析：由，得，推不出，由，能推出，故p是q的必要条件．

3． B

解析：因为且且，所以“>0”是“”的必要条件．

4．

解析：因为是的一个必要条件，且，

所以，所以，解得，

则使恒成立的实数b的取值范围是．

五、课堂小结

1． 对必要条件的理解：

（1）所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．

（2）必要条件不是唯一的，如等都是的必要条件．

2． 判断条件的必要性的方法如下：

（1）要根据原命题的语言表述形式，判断出哪句是条件p、哪句是结论q，并把命题写

成“若p，则q"的形式；

（2）判断推导的正确性．即判断“”为真还是“"为真．

（3）如果，就称“q是p的必要条件”；如果，就称“p是q的必要条件，q是p的充分条件”．

六、布置作业

教材第15页练习第1、2题．