北师大版 (2019)1.2 集合的基本关系教学设计

《集合的基本关系》教学设计

1．理解集合之间包含与相等的含义．

2．能判断给定集合间的关系，在具体情境中掌握子集、真子集和空集的含义．

3．能使用图表示集合间关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

4．通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体会其现实意义．

5．通过集合间基本关系的应用，体会数形结合、分类讨论的数学思想．

重点：集合与集合之间的包含及相等关系；子集与真子集之间的区别．

难点：元素和集合的属于关系；集合和集合的包含关系的区别与联系．

一、新课导入

情境引入：生物学中，动物分为脊椎动物和无脊椎动物．脊椎动物又分为鱼类、爬行类、鸟类、两栖类、哺乳类五大类．

思考：把所有哺乳类动物组成一个集合，所有脊椎动物组成一个集合．集合与集合有什么关系？

分析：所有的哺乳动物都是脊椎动物，即 ?中每一个元素都属于?．

二、新知探究

探究一：子集和集合相等

实例：

（1）设某校高一（1）班全体35位同学组成集合，其中女同学组成集合；

（2）用表示所有矩形组成的集合，表示所有平行四边形组成的集合；

（3）所有的有理数都是实数．

用集合来表示上述实例，思考它们的关系．

分析：

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则．

定义：一般地，对于两个集合与，如果集合中的任何一个元素都属于集合，即若，则，那么称集合是集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）．

显然，任何一个集合都是它本身的子集，即?⊆?．规定：空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合?，都有∅⊆?

图示：为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭的曲线的内部表示集合，称为Venn图.

?⊆?                     ?⊆?               ?⊆?，且?⊆?，则?=?

探究二：真子集

定义：对于两个集合与，如果集合，且，那么称集合是集合的真子集，记作（或），读作“真包含于”（或“真包含”）．

图示：如下图所示，则集合的关系是．

注意：集合与首先要满足，其次要满足．

设计意图：通过探究子集、集合相等和真子集，在实例分析中探究了解含义和图示，在理解的基础上加深对概念的理解和注意，图示帮助学生强化逻辑思维、数学运算等核心素养．

三、应用举例

例1某造纸厂生产练习本用纸，当纸的白度和不透明度都合格时，该产品才合格．若用表示练习本用纸合格的产品组成的集合，表示纸的白度合格的产品组成的集合，表示纸的不透明度合格的产品组成的集合，则下列包含关系哪些成立？

，，，．

试用图表示这三个集合的关系．

解：由题意知，，成立，它们的关系可用图（如下图）表示．

例2 指出下列各对集合之间的关系:

（1），；

（2），．

解：（1）集合的代表元素是数，集合的代表元素是有序实数对，故与之间无包含关系．

（2）集合，两个集合的元素完全一样，所以．

例3 写出集合的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．

解：由子集的定义知，集合的子集的元素个数最少为0个，最多为3个．按照子集中元素的个数，由少到多依次写出集合的所有子集，得

显然，上述8个子集除了集合以外，其余7个集合都是它的真子集．

方法技巧：求集合子集、真子集个数的三个步骤．

设计意图：通过三个例子，对子集、集合间关系和真子集进行实践应用，提炼出方法技巧，学生在实践中加强练习，懂得运用方法进行问题解决，尝试自主实践和迁移运用．

四、课堂练习

1．已知集合，则下列式子表示正确的有（）（多选题）

2． 设集合．写出集合的所有的子集．

3． 求适合条件的集合的个数．

4． 设集合．若，求的取值范围．

参考答案：

1．

解析：根据题意，集合，依次分析4个选项：对于，，3是集合的元素，正确；对于，是集合，有，错误；对于，，两个集合的元素完全一致，正确；对于，，任何集合都是其本身的子集，正确．故选．

2． ，．

解析：集合

所以的子集有：，．

3． 16

解析：集合中必有元素1，若排除三个集合中的元素1，则该集合关系变为，则的个数为个．故有16个．

4．

解析：①当时，，即．

②当时，若，则，得出．

综上所述，的取值范围是．

五、课堂小结

1． 子集：任意．

2． 真子集：，但存在．

3． 集合相等：．

4． 空集：

5． 性质：

（1），若非空，则．

（2）任何一个集合都是它本身的子集，即．

（3）若，，则．

六、布置作业

教材第7页练习1、2、3题．