北师大版 (2019)2.1 必要条件与充分条件教学设计及反思

《必要条件与充分条件（3）》教学设计

1．掌握充要条件的概念．

2．理解充要条件的意义．

3．会判断条件与结论之间的充要性．

4．提高数学表达、数学运算和数学思维的准确性，培养逻辑思维能力．

重点：掌握充要条件的概念和意义；会判断条件与结论之间的充要性．

难点：会判断条件与结论之间的充要性．

一、新课导入

回顾：必要条件、充分条件的理解．

分析：

（1）一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，即，称p是q的充分条件．

（2）一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，即，称p是q的必要条件．

思考：当命题“若p，则q”是真命题时，既有、又有即，p是q的什么条件呢？

答案： 充要条件．

今天，我们将继续学习必要条件与充分条件（3）——充要条件．

设计意图：从回顾旧知入手，从回顾前两节课所学必要条件和充分条件，来理解充要条件，建立新旧知识连接，思考充分、必要的关系，引出充要条件，从而顺利引出本节课题．

二、新知探究

探究一：充要条件的理解．

实例分析：用学过的必要条件和充分条件分析以下定理．

1．   勾股定理：

如果一个三角形为直角三角形，那么它的两直角边的平方和等于斜边的平方．

2．   勾股定理的逆定理：

如果一个三角形的一边的平方等于其他两边的平方和，那么这条边所对的角是直角．

师分析勾股定理：“两直角边的平方和等于斜边的平方”是“三角形为直角三角形”的必要条件；“三角形为直角三角形”是“两直角边的平方和等于斜边的平方”的充分条件．

答案：在勾股定理的逆定理中，“三角形有一边所对的角是直角”是“三角形这边的平方等于其他两边的平方和”的必要条件；“三角形的一边的平方等于其他两边的平方和”是“这条边所对的角是直角”的充分条件．

总结：

1．一般地，如果，且，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件．记作．

2．p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”或“p与q等价”．

3．当p是q的充要条件时， q也是p的充要条件．

注意：充要条件是相互的，同时存在的，即p和q互为充要条件．

思考：判断p是q的什么条件时，有哪些可能情况？

探究二：充要条件的可能情况．

分析：

（1）如果，且q不能推出p，则称p是q的充分不必要条件；

（2）如果p不能推出q，且，则称p是q的必要不充分条件；

（3）如果，且，则称p是q的充要条件；

（4）如果p不能推出q，且q不能推出p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

注意：p是q的充要条件也可以说成是： p和q是等价的； p成立当且仅当q成立；q成立当且仅当p成立．

探究三：充要条件的判断方法．

知识点：

（1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假；

（2）集合法：即利用集合之间的包含关系判断．

（3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由,可得；充要条件也有传递性．

小结：对充要条件的理解：

（1）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立； p不成立，则q一定不成立”．

（2）要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断:：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件．

设计意图：通过对充要条件的理解、充要条件的可能情况以及判断方法的思考三个探究活动，循循渐进，深入理解充要条件．师生互动，启发教学，培养学生逻辑思维能力．

三、应用举例

例1：在下列各题中，试判断p是q的什么条件.

（1）；

（2）；

（3）p:四边形的对角线相等，q:四边形是平行四边形．

解：（1）因为命题“若，则”为真命题，并且，“若，则”

也是真命题，所以p是q的充要条件．

（2）因为“”“”，但是“”不能推出“”，例如“

”，而“”，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．

    （3）因为“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．

例2：设集合，集合，则“”是“”的        （          ）条件．

解：若，则满足充分条件要求，

若，则，解得，不满足必要条件要求，所以

“”是“”的充分不必要条件．

例3：若，则为真命题的充要条件是（     ）．

解：因为，恒成立，所以，所以，

因为，所以，所以，故若，则为真命题的充要条件是．

四、课堂练习

1．判断下列说法是否正确，正确的在它的后面的括号里画“√”，错误的画“×”．

（1）若p是q的充要条件，则q成立当且仅当p成立．（）

（2）若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．（）

（3）若和有一个成立，则p一定不是q的充要条件．（）

（4）q不是p的必要条件时，“p推不出q”成立．（）

2．设a，b是实数，则“”是的（）条件．

3．指出下列各组命题中，p是q的什么条件．

（1）；

（2）；

（3）p：a是自然数，q：a是正数．

4．若“”是“x”的必要不充分条件，则求实数a的最大值．

参考答案：

1． （1）√（2）√（3）√（4）√

解析：由充要条件的理解得出．

2．  既不充分也不必要

解析：在a、b是实数的条件下，若则成立，而不成立，

即 不能推出，不是的充分条件；若则成立，而不成立，即不能推出，不是的必要条件.综上所述，设a，b是实数，则“”是的既不充分也不必要条件．

3．（1）p是q的充要条件；（2）p是q的必要不充分条件；（3）p是q的既不充分也不必要条件

解析：（1）因为，所以p是q的充要条件；

（2）由，得且，又，所以，故p是q的必要不充分条件；

（3）a是自然数，但0不是正数，故p推不出q；又1.2是正数，但1.2不是自然数，故q推不出p，因此p是q的既不充分也不必要条件．

4．-1

解析：由，，又“”是“x”的必要不充分条件，则由“x”可以推“”，但由“”推不出“x”，所以，所以实数a的最大值为-1．

五、课堂小结

1．对充要条件的理解：

（1）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立； p不成立，则q一定不成立”．

（2）要判断p是否为q的充要条件，需要进行两次判断:：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p．若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件．

2． 充要条件的判断方法：

（1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假；

（2）集合法：即利用集合之间的包含关系判断．

（3）传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由,可得；充要条件也有传递性．

六、布置作业

教材第18页练习第1、2、3题．