高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.2 集合的基本关系学案及答案

第2课时　集合的基本关系

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　子集

　　答案：

任何一个元素　a∈A　a∈B　子集　A⊆B　B⊇A　包含于　包含　(1)A⊆A　(2)子集

【主题2】　集合相等

集合相等的概念和图示

(1)概念：对于两个集合A与B，如果集合A是集合B的子集，且集合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B________，记作________．

(2)图示：

答案：(1)相等　A＝B

【主题3】　真子集

1．对于两个集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，那么称集合A是集合B的________，记作________(或________)，读作“A________B”(或“B________A”)．

2．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，记作________或________．

3．空集是任何________集合的________．

答案：

1．真子集　AB　BA　真包含于　真包含

2．AB　B⊉A

3．非空　真子集

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)“∈”“⊆”的意义是一样的．(　　)

(2)空集没有子集．(　　)

(3)任何集合至少有两个子集．(　　)

(4)若∅A，则A≠∅.(　　)

答案：(1)　解析：因为“∈”是元素与集合间的关系符号，而“⊆”是集合与集合间的关系符号．

(2)　解析：因为空集是任何集合的子集，所以空集也有子集，即空集是其本身的子集．

(3)　解析：空集只有一个子集．

(4)√　解析：因为∅A，所以集合A至少有一个元素，所以A≠∅.

2．设M＝{2}，N＝{2,3}，则下列表示不正确的是(　　)

A．MN   B．M⊆N

C．2∈N   D．2N

答案：D　

解析：M，N是集合，2是元素，故2∈N，故D不正确．

3．集合{a，b，c}的子集的个数为(　　)

A．4  B．7  C．8  D．16

答案：C　

解析：根据题意，集合{a，b，c}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，共8个．

4．在下列各关系中错误的个数是(　　)

①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；④{0，1,2}＝{2,0,1}．

A．1  B．2  C．3  D．4

答案：A　

解析：①正确；②应该是{1}⊆{0,1,2}；③，④都正确．

5．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________.

答案：－1　

解析：因为两集合相等，所以1－a＝2，即a＝－1.

6．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.

答案：4　

解析：因为B⊆A，所以m＝4.

课堂篇·重难要点突破

研习1　集合的基本关系

[典例1]　(1)下列各式中，正确的个数是(　　)

①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；

④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．

A．1  B．2  C．3  D．4

(2)指出下列各组集合之间的关系：

①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；

②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

③M＝{x|x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋}．

(1)答案：B　

解析：对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数对(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是元素与集合的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.

(2)解：①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．

②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.

③解法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N＋，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.

解法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7，9，…}，所以NM.

判断集合间关系的方法

(1)用定义判断．

首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则，A不是B的子集；

其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则，B不是A的子集；

若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.

(2)数形结合判断．

对于不等式表示的数集，可在数轴上标出，借助数轴直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．

[练习1]能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)

答案：B　

解析：解x2－x＝0，得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．

研习2　求集合的子集与真子集

[典例2]　(1)集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是(　　)

A．16  B．8  C．7  D．4

(2)(2020·张家口高一检测)已知集合M满足{1,2}⊆M{1,2,3,4,5}，试写出满足条件的集合M.

[审题路线图]子集、真子集的确定⇒明确定义⇒确定元素及个数．

(1)答案：C

(2)解：因为{1,2}⊆M{1,2,3,4,5}，

所以M可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共7个．

[延伸探究]　本例(2)中条件改为{1,2,3}M⊆{1,2,3,4,5}，则这样的集合M有________个．

答案：3

1．求给定集合的子集的两个关注点

(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写．

(2)在写子集时不要忘记空集和集合本身．

2．与子集、真子集个数有关的四个结论

假设集合A中含有n个元素，则有

(1)A的子集的个数有2n个．

(2)A的非空子集的个数有(2n－1)个．

(3)A的真子集的个数有(2n－1)个．

(4)A的非空真子集的个数有(2n－2)个．

[练习2](1)写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集．

(2)已知{－1,0,1}A⊆{－1,0,1,2}，写出集合A的非空真子集．

(1)解：子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；真子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}．

(2)解：由{－1,0,1}A⊆{－1,0,1,2}知，A＝{－1,0,1,2}，其非空真子集共有24－2＝14(个)．

①含一个元素的A的非空真子集有{－1}，{0}，{1}，{2}．

②含两个元素的A的非空真子集有{－1,0}，{－1，1}，{－1，2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．

③含三个元素的A的非空真子集有{－1,0,1}，{－1,0,2}，{－1,1,2}，{0,1,2}．

研习3　由集合的关系求参数

[典例3]　已知集合A＝{x|0≤x<4}，B＝{x|x<a}，若AB，求a的取值范围．

[审题路线图]知关系求参数⇒明确范围，结合数轴．

解：将集合A在数轴上表示出来，再将集合B也在数轴上表示出来．要使AB，则表示数a的点必须在表示数4的点处或在表示数4的点的右边．故a的取值范围是{a|a≥4}．

[延伸探究]　(1)在本例中，若集合A＝{x|0<x≤4}，其他条件不变，求a的取值范围．

(2)在本例中，若B＝{x|2x－a＝0}，BA，其他条件不变，求a的取值范围．

(1)解：结合数轴可知，a的取值范围是{a|a>4}．

(2)解：由2x－a＝0，得x＝，即B＝，

若BA，则∈A，因此0≤<4，解得0≤a<8.

故实数a的取值范围是{a|0≤a<8}．

由集合间的关系求参数的方法及注意事项

(1)对于用列举法表示的集合，根据集合间的包含关系，可直接转化为元素间的关系，此时应注意元素的互异性．

(2)对于用描述法表示的集合，特别是元素个数无限的数集，可借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，此时要注意对端点值进行验证．

[练习3](1)设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，若BA，求实数a组成的集合．

(2)已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N.求a，b的值．

(1)解：∵A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，

∴当a＝0时，B＝∅A；

当a≠0时，B＝A，∴＝1或＝2，

∴a＝2或a＝1.

综上可知，BA时，实数a组成的集合为{0,1，2}．

(2)解：由题意，得或

解得或或

由集合中元素的互异性知，或

课后篇·演练提升方案

1．下列六个关系式：

①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．

其中正确的个数是(　　)

A．6  B．5

C．4   D．3

答案：C　

解析：其中①②⑤⑥是正确的，对于③应为∅{∅}或∅∈{∅}；对于④应为∅{0}．故选C.

2．设A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,3}，C＝{0,1,2,3,4,5}，下列关系中正确的个数为(　　)

①{0}∈A；②－2∉C；③{0}C；④A⊇0；⑤BA；⑥B{x∈C|0<x<4}；⑦0∈∅；⑧∅∈A；⑨∅{0}，且∅C.

A．3    B．4

C．6   D．9

答案：B　

解析：“∈”表示元素与集合的关系，故①④⑧错误；集合C中没有元素－2，故②正确；空集中不含任何元素，故⑦错误；⑥中{x∈C|0<x<4}＝{1,2,3}＝B，故⑥错误．所以正确的有②③⑤⑨，共4个．

故选B.

3．已知集合M＝{x|x＝a2＋1，a∈N}，集合P＝{y|y＝b2＋2b＋2，b∈N}．试问：M与P相等吗？

解：设y∈R，则y＝b2＋2b＋2＝(b＋1)2＋1.

∵b∈N，∴b＋1∈N，∴y∈M，故P⊆M.

当a＝0时，x＝1，∴1∈M.

而y＝b2＋2b＋2＝(b＋1)2＋1，

∵b∈N，∴b≥0，∴y≥2.

∴1∉P，故MP.

综上所述，M≠P.

 [误区警示]　对子集概念的理解不全面而致误

 [典例]　已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且BA，求m的值．

[错解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．

∵BA，∴mx＋1＝0的解为－3或2.

当mx＋1＝0的解为－3时，

由m·(－3)＋1＝0，解得m＝；

当mx＋1＝0的解为2时，

由m·2＋1＝0，解得m＝－.

综上所述，m＝或m＝－.

[错因分析]　上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．原因是考虑不全面，忽略了集合B为∅的可能而漏解．因此题目若出现包含(真包含)关系时，应首先考虑有没有出现∅的可能．

[正解]　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．

∵BA，∴当B＝∅时，m＝0符合题意．

当B≠∅时，方程mx＋1＝0的解为x＝－，

则－＝－3或－＝2，∴m＝或m＝－.

综上可知，所求m的值为0或或－.