高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.2 集合的基本关系教学设计

《集合的基本关系》

本节内容是在集合的概念之后，初步探究集合间的基本关系。掌握情况对以后集合的学习影响较大。子集和集合相等不仅是后一节——集合运算的铺垫，还是对数学符号应用的初步训练，十分重要。

【知识与能力目标】

(1)理解集合之间包含于相等的含义。

(2)能识别给定集合的子集。

(3)能用Venn图表达集合间的关系。

(4)理解真子集、空集的概念。

【过程与方法目标】

(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出子集、真子集、集合相等概念的过程，感知集合间的基本关系。

(2)体验集合语言的使用，发展运用数学语言进行交流的能力。

【情感态度价值观目标】

通过某类事物已有的性质，类比、联想另一类相似事物的性质，培养学生的逻辑思维能力。

【教学重点】

集合间的包含与相等的含义，正确识别给定集合的子集、真子集。  

【教学难点】

元素与子集、属于与包含之间的区别以及对空集的理解。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分

1.集合的表示方法有                、                 。

2.元素与集合间的关系用符号       或         表示。

3.(1)若A＝{－2,2,3,4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合

B＝                     。

(2)用描述法表示集合A＝{1,4,7,10,13}＝                      。

设计意图:温习已学知识，为新知作好铺垫。

二、研探新知，建构概念

1.观察下面几个例子

（1）A={x|x为山东人}，B={x|x为中国人}

（2）A={1,2,3},B={1,2,3,4}

（3）设A为某中学高一（2）班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合

（4）设A={x|x是两边相等的三角形}，B={x|x为等腰三角形}

教师组织学生分组讨论：这4个实例的共同特征是什么? 师生共同概括出4个实例的特征，引出子集的概念。

   对于两个集合A、B，若集合A 中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A是集合B的子集，记作：A    B或BA.

如果集合A⊆B，但存在x∉A，则A是B的真子集，记作AB,或BA.   

说明：

(1)两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形。

(2)若两个集合中元素均无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。

(3)证明两个集合相等的思路是证：A   B且B   A。

（4）子集、真子集的概念的理解

①集合A是集合B的子集，不能简单地理解为集合A是由集合B的“部分元素”所组成的集合.如A＝，则集合A不含B中的任何元素。

②如果集合A中存在着不属于集合B的元素，那么A不包含于B，或B不包含A.这有两方面的含义，其一是A、B互不包含，如A＝{a，b}，B＝{b，c，d}；其二是，A包含B，如A＝{a，b，c}，B＝{b，c}。

设计意图:训练学生对数学预言的运用。

三、质疑答辩，发展思维

例题1  若{1，a， }＝{0，a2，a＋b}，求a2017＋b2018的值.

【思路点拨】先从特殊元素0着手，结合集合元素的特性求解.

【解析】

∵{1，a， }＝{0，a2，a＋b}，

∴0∈{1，a， }

∴b＝0，此时有{1，a,0}＝{0，a2，a}，

∴a2＝1，a＝±1.

当a＝1时，不满足互异性，

∴a＝－1.

∴a2017＋b2018＝－1.

【答案】－1

变式训练

 1.M＝{x|x＝1＋a2，a∈R}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，

试问M与P的关系怎样？

【解析】∵a∈R，

∴x＝1＋a2≥1，

x＝a2－4a＋5＝(a－2)2＋1≥1，

∴M＝{x|x≥1}，P＝{x|x≥1}，

∴M＝P

例题2写出满足{a，b}A,写出{a，b，c，d}的所有集合A。

【思路点拨】解答本题可根据子集、真子集的概念求解。

【解析】由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集，另一方面A

又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元素中的一个或两个。

故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}。

变式训练  

2.已知集合A    {x∈N|－1＜x＜4}，且A中至少有一个元素

为奇数，问：这样的集合A有多少个？并用恰当的方法表示这些集合.

【解析】这样的集合A共有11个。

∵{x∈N|－1＜x＜4}＝{0,1,2,3}，

又A   {0,1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，

故A中只含有一个元素时，A可以为{1}，{3}。

A中含有两个元素时，

A可以为{1,0}，{1,2}，{1,3}，{3,0}，{3,2}。

A中含有三个元素时，

A可以为{1,0,2}，{3,0,2}，{1,3,0}，{1,3,2}。

例题3   已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|x＜a}.若A   B，求实数a的取值范围.

【思路点拨】解答本题可采用数轴分析法，将集合A、B表示在数轴上，

利用数轴分析a的取值.

【解析】将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足A  B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}。

变式训练

3.本例中A   B换成AB，A＝{x|2≤x≤4}，则a的取值范围又是什么？

【解析】将集合A表示在数轴上.

要使A   B，需a＞4.所以所求a的取值范围为a＞4.

设计意图:让学生在探究中得到结论，在西安知识来源，加深对知识的理解。

四、课堂小结：

知识点：子集和真子集，空集的概念；子集的性质；集合相等。

思想方法：数形结合思想和分类讨论思想。

五、作业布置

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”

(1)“∈”“⊆”的意义是一样的．(  ×  )

(2)集合{0}是空集．(  ×  )

(3)若x∈A，则一定有x∈B成立，那么A⊆B.( √ )

(4)若A⊆B，则A中的元素都在B中．( × )

2．集合{0,1}的子集有( D )。

A．1个              B．2个

C．3个              D．4个

3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是(D　)。

A．0⊆A  B．{0}∈A

C．0A  D．{0}⊆A

4．已知A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|x>a}，AB，则实数a的取值范围是_ a<－3，

 【解析】在数轴上画出集合A. 又因为AB

所以a<－3，

略。