高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.3 一元二次不等式的解法课堂教学课件ppt

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1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概念.2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法；会解简单的分式不等式.
通过从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程及用因式分解或配方法求一元二次不等式的解集，提升数学抽象、数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、一元二次不等式的解法1.思考　因式分解法的实质是什么？配方法的实质是什么？提示　因式分解法的实质是通过对不等式的左边进行因式分解，转化为等价不等式组求解.配方法的实质是通过对不等式左边进行配方，转化为绝对值不等式求解.
2.填空　(1)一般地，形如_________________的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.(2)求一元二次不等式解集的方法①因式分解法一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)·(x－x2)＜0的解集是_________，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是_____________________.②配方法一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集.
(－∞，x1)∪(x2，＋∞)
温馨提醒　可结合函数y＝(x－x1)(x－x2)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像理解不等式的解集.
3.做一做　(1)不等式3x2－2x＋1>0的解集为________.
(2)不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是____________.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
题型一　解不含参数的一元二次不等式
例1 求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－10x－600＞0；
解　∵x2－10x－600＝(x＋20)·(x－30)，∴原不等式等价于(x＋20)·(x－30)＞0，因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞).
(2)－3x2＋2x＋1≥0.
解　原不等式可化为3x2－2x－1≤0，①
例2 求下列不等式的解集： (1)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)；
解　由原不等式得8x2－8x＋4＞4x－x2.∴原不等式可化为9x2－12x＋4＞0.　①
(2)－3x2＋6x≤2.
解　原不等式可化为3x2－6x＋2≥0　①，而3x2－6x＋2＝3(x－1)2－1，∴①等价于3(x－1)2－1≥0，
函数解一元二次不等式的一般步骤第一步：分解为两个因式的乘积的形式或配方成完全平方式形式；第二步：写出不等式的解集.
训练1 求下列不等式的解集： (1)4x2－4x＋1>0；
(2)－x2＋6x－10>0.
解　(1)∵4x2－4x＋1＝(2x－1)2，∴原不等式可化为(2x－1)2>0，
(2)∵原不等式可化为x2－6x＋10<0，x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，∴原不等式等价于(x－3)2＋1<0，∴原不等式的解集为∅.
例3 解关于x的不等式(a∈R)： (1)2x2＋ax＋2>0；
题型二　解含参数的一元二次不等式
解　Δ＝a2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－40恒成立，所以原不等式的解集为R.②当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2>0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2>0，故x≠－1；
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)>0，∴xx2.综上，当－4(2)x2－(a＋a2)x＋a3>0.
解　将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0.当a<0时，有aa2；当a＝0时，a＝a2＝0，所以x≠0；当0a2，所以xa；当a＝1时，a＝a2＝1，所以x≠1；当a>1时，有aa2.综上，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当0a}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.
解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒　对应方程的根优先考虑用因式分解确定，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算.
训练2 解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R).
解　原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.(1)当－1－a<－1＋a，即a>0时，－1－a≤x≤－1＋a；(2)当－1－a＝－1＋a，即a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1；(3)当－1－a>－1＋a，即a<0时，－1＋a≤x≤－1－a.综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；当a<0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}.
题型三　简单的高次不等式与分式不等式
例4 求下列不等式的解集： (1)(x＋3)(x2－4)≤0；
解　不等式(x＋3)(x2－4)≤0可化为(x＋3)(x＋2)(x－2)≤0，令(x＋3)(x＋2)(x－2)＝0，得x＝－3或x＝－2或x＝2.
利用数轴，可得不等式的解集为(－∞，－3]∪[－2，2].
解　由题意知x＋5≠0，因此(x＋5)2>0，原不等式两边同时乘以(x＋5)2可得5(x＋5)≤(x＋5)2且x＋5≠0，即x(x＋5)≥0且x≠－5，因此所求不等式的解集为(－∞，－5)∪[0，＋∞).
训练3 求下列不等式的解集. (1)x4－3x2＋2≤0；
例5 已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为(－3，2). (1)求二次函数的解析式；
题型四　三个“二次”间的关系及应用
解　∵y>0的解集为(－3，2)，∴－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，
∴y＝－3x2－3x＋18.
(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围.
解　∵a＝－3<0，∴二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图像开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，
三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究.(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图像及性质来解决问题，关系如下：
特别提醒　由于忽视二次项系数的符号和不等号的方向易写错不等式的解集形式.
(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.
解　由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，
1.配方法是解一元二次不等式的基本方法，而且有时因式分解法较为简单.2.高次不等式一般利用因式分解法转化为低次不等式求解.3.分式不等式一般转化为整式不等式求解.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N＋，x≤5}，则A∩B＝(　　)A.{1，2，3} B.{1，2}C.{4，5} D.{1，2，3，4，5}
2.(多选)下列四个不等式，解集为R的是(　　)
解析　当x≥0时，x2－4x＋6＞3，解得x＞3或0≤x＜1；当x＜0时，x＋6＞3，解得－3＜x＜0.所以y>3的解集是(－3，1)∪(3，＋∞).
5.在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)A.{x|01} D.{x|－1解析　根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，解得－2＜x＜1，故所求实数x的取值范围是{x|－2解析　由题意知x＋1≠0，因此(x＋1)2>0，原不等式两边同时乘以(x＋1)2可得(x－1)·(x＋1)≥2(x＋1)2且x＋1≠0，即(x＋1)(x＋3)≤0且x≠－1，因此原不等式的解集为[－3，－1).
7.已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是_______________________.
{k|k≥4，或k≤2}
解析　x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
8.若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为2，－1，则当a＜0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为________.
解析　由题意ax2＋bx＋c＝a(x－2)·(x＋1)，故原不等式可化为a(x－2)(x＋1)≥0，又∵a＜0，∴(x－2)(x＋1)≤0，所求解集为[－1，2].
9.求下列不等式的解集.(1)－6x4－x2＋2≤0；(2)－x3＋2x2－x≥0.
(2)原不等式可化为x(x－1)2≤0，∴x≤0或x＝1.不等式的解集为(－∞，0]∪{1}.
11.(多选)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则能使不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax成立的x的集合为(　　)A.{x|0＜x＜3} B.{x|x＜0}C.{x|x＞3} D.{x|－2＜x＜1}
解析　∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，∴－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根且a＜0，
由a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＜2ax，
得a(x2＋1)－a(x－1)－2a＜2ax，得ax2－3ax＜0.∵a＜0，∴x2－3x＞0，∴x＜0或x＞3，∴原不等式的解集为{x|x＜0，或x＞3}.
12.若不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1，或x>b}，则a＋b＝________，ax2－3x＋2≤0的解集为________.
解析　由题意知1，b为方程ax2－3x＋2＝0的两根，则a－3＋2＝0，所以a＝1，b＝2.故a＋b＝3，而ax2－3x＋2≤0的解集为[1，2].
13.已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，求不等式x2－x－a2＋a<0的解集.
解得0a，
解析　原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，