进阶训练9（范围：8.1～8.2）

一、基础达标

1.已知随着宣传的扩大，世博会的参观人数第三个月的进园量比第一个月的进园量增长44%，若每个月的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是(　　)

A.x＞22%   B.x＜22%

C.x＝22%   D.x的大小不确定

答案　B

解析　令(1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2＜0.22.故选B.

2.下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是(　　)

答案　C

解析　能用二分法求零点的函数必须在含零点的区间(a，b)内连续，并且有f(a)f(b)＜0，A，B，D中函数图象不符合.故选C.

3.在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　因为f＝e－2＜0，f＝e－1＞0，所以ff＜0.又因为y＝ex是增函数，y＝4x－3也是增函数，所以f(x)＝ex＋4x－3是增函数，所以函数f(x)＝ex＋4x－3的零点在区间内.故选C.

4.函数f(x)＝的零点个数是(　　)

A.1   B.2 

C.3   D.4

答案　C

解析　当x＞0时，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象如图，

由图可知，x＞0时，f(x)有两个零点；当x≤0时，由f(x)＝0得x＝－.综上，f(x)有三个零点.

5.(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是(　　)

A.ln x＝1－x   B.ex＝

C.2－x2＝lg|x|   D.cos x＝|x|＋1

答案　ABD

解析　对于A，设f(x)＝ln x＋x－1，易知y＝f(x)为增函数，又f(1)＝0，故ln x＝1－x有唯一解，符合；

对于B，设g(x)＝ex－，易知y＝g(x)为增函数，

又g＝－2＜0，g(1)＝e－1＞0，由函数零点存在定理可得ex＝有唯一解，符合；

对于C，设h(x)＝x2＋lg x－2，易知y＝h(x)为增函数，由h(1)＝1－2＜0，h(2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h(x)＝x2＋lg x－2有唯一零点，又H(x)＝2－x2－lg|x|为偶函数，则2－x2＝lg|x|有两个解，不符合；

对于D，因为cos x∈[－1，1]，|x|＋1≥1，当且仅当x＝0时cos x＝|x|＋1，即cos x＝|x|＋1有唯一解，符合.

6.若函数f(x)＝4x－2x－a，x∈[－1，1]有零点，则实数a的取值范围为________.

答案　

解析　令2x＝t，t∈，则函数f(x)在区间[－1，1]上有零点，转化为方程t2－t－a＝0在t∈时有解，进而转化为求a＝t2－t，t∈的值域问题.易知a＝－，t∈为增函数，当t＝时，amin＝－；当t＝2时，amax＝2，所以实数a的取值范围是.

7.某种纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的10%以下，则至少需过滤的次数为________(参考数据：lg 2＝0.301 0).

答案　11

解析　设过滤次数为x，原有杂质为a，则a(1－20%)x＜a·10%，所以x＞＝，即x＞10.31，即至少需要过滤11次.

8.已知函数f(x)＝若f(x0)＝－1，则x0＝________；若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围为________.

答案　－1　(0，1)

解析　解方程f(x0)＝－1，得或解得x0＝－1.关于x的方程f(x)＝k有两个不同实根等价于y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点，观察图象可知：当0＜k＜1时y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个不同交点，即k∈(0，1).

9.定义在R上的奇函数y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，函数f(x)的一个零点为－，求满足f(logx)≥0的x的取值范围.

解　因为函数y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，函数f(x)的一个零点为－，且f(x)是奇函数，所以作出f(x)的大致图象如图所示.

由f(logx)≥0，

得－≤logx≤0或logx≥，

解得1≤x≤2或0＜x≤，

所以x的取值范围是∪[1，2].

10.已知a>0，函数f(x)＝

若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，求实数a的取值范围.

解　当x≤0时，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax；当x>0时，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax.

令g(x)＝作出y＝a(x≤0)，y＝2a(x>0)，函数g(x)的图象如图所示，

g(x)的最大值为－＋＝，由图象可知，若f(x)＝ax恰有2个互异的实数解，则a<<2a，解得4<a<8.

故a的取值范围为(4，8).

二、能力提升

11.已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)

A.   B. 

C.－   D.－

答案　C

解析　令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，

所以2x2＋1＝x－λ只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－.

12.已知函数f(x)＝满足条件：∀x1∈R，存在唯一的x2∈R使得f(x1)＝f(x2).当f(2a)＝f(3b)成立时，实数a＋b＝(　　)

A.   B.－

C.＋3   D.－＋3

答案　D

解析　由题设条件：∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)，知f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调，则b＝3，且a＜0.由f(2a)＝f(3b)知2a2＋3＝＋3，解得a＝－(正值舍去)，故a＋b＝－＋3.

13.设函数f(x)＝

(1)若a＝1，求f(x)的最小值；

(2)若f(x)恰有2个零点，求实数a的取值范围.

解　(1)当a＝1时，

f(x)＝

当x＜1时，f(x)＝2x－1为增函数，f(x)＞－1；

当x≥1时，f(x)＝4(x－1)(x－2)＝4(x2－3x＋2)＝4－1，

当1≤x≤时，函数单调递减，

当x≥时，函数单调递增，

故当x＝时，f(x)min＝f＝－1.

综上，f(x)min＝f＝－1.

(2)设h(x)＝2x－a，g(x)＝4(x－a)(x－2a).

若在x＜1时，h(x)与x轴有一个交点，

则a＞0，并且当x＝1时，h(1)＝2－a＞0，所以0＜a＜2.

此时函数g(x)＝4(x－a)(x－2a)在x＞1时，与x轴有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1；

若函数h(x)＝2x－a在x＜1时与x轴没有交点，

则函数g(x)＝4(x－a)(x－2a)在x＞1时与x轴有两个交点.

当a≤0时，h(x)与x轴无交点，g(x)在x＞1时与x轴无交点，所以不满足题意(舍去).

当h(1)＝2－a≤0，即a≥2时，g(x)在x＞1时与x轴的两个交点的横坐标为x1＝a，x2＝2a，都是满足题意的.

综上所述，a的取值范围是∪[2，＋∞).

三、创新拓展

14.已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋3)＝f(x)，当x∈时，f(x)＝lg(x2－x＋1)，则x∈时，f(x)＝________，函数f(x)在区间[0，3]上的零点个数为________.

答案　－lg(x2＋x＋1)　5

解析　设x∈，可得－x∈，f(－x)＝lg(x2＋x＋1).

由f(x)为奇函数可得f(－x)＝－f(x)，可得f(x)＝－lg(x2＋x＋1)；

当x∈时，

令f(x)＝lg(x2－x＋1)＝0，

解得x＝1，即f(1)＝0；

当x∈时，令f(x)＝－lg(x2＋x＋1)＝0，解得x＝－1，即f(－1)＝0.

又f(0)＝0，f(x＋3)＝f(x)，

故f(3)＝f(0)＝0，

f(2)＝f(－1)＝0，

f＝f＝－f，

可得f＝0，

所以f(x)在区间[0，3]上有0，1，，2，3共5个零点.