【培优分级练】人教版数学八年级上册 12.3《角平分线的性质》培优三阶练（含解析）

第07课 角平分线的性质
课内知识点回顾

知识点01 作已知角的平分线
1、用尺规作已知角的平分线的步骤
已知:∠AOB,如图.求作:∠AOB的平分线.

作图步骤

第一步
以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N
第二步
分别以M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
第三步
画射线OC，射线OC即为所求，如图

【注意】
(1）第二步中必须“以大于MN的长为半径画弧”,否则，两弧不相交,不存在点C,无法作出角的平分线.
(2)“画射线OC”不能叙述为连接OC,因为角平分线OC是射线,而不是线段.
(3)两弧的交点要在角的内部来找,因为要作的是角的平分线.
2、尺规作图理论依据


【注意】
角平分线的尺规作图的依据是全等三角形的判定-SSS
知识点02 的平分线的性质
1、角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

几何语言：

【注意】
(1)这里的“距离”指的是点到角的两边的垂线段的长度;
(2)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再来证:明三角形全等;
(3)使用该性质的前提条件是图中有角平分线和垂直条件.
【特别注意】
角平分线性质的“两误区”
(1)垂足的位置不对:如图,垂线段的垂足应在角的两边上，而不是在角平分线上;

(2)有相等无垂直:如图,PC=PD,但 PC,PD的长不是点P到OA,OB的距离.

知识点03 角的平分线的判定
1、角平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
2、几何语言：

【注意】
（1）角的平分线可以看作是由角的内部到角的两边距离相等的所有点组成的射线.
（2）注意不能缺少PD⊥OA,PE⊥OB这两个条件.
（3）角平分线的性质和判定的条件和结论是互逆的,在应用的时候一定要分清条件及得到的结论.
课后培优练级练

培优第一阶——基础过关练
1．如图，AB∥CD，∠1=70°，FG平分∠EFD，则∠2的度数是（ ）

A．30° B．35° C．40° D．70°
【答案】B
【分析】由AB∥CD，∠1=70°，可得出∠EFD=∠1=70°，再由角平分线的定义即可得出∠2的度数．
【详解】解：∵AB∥CD，∠1=70°，
∴∠EFD=∠1=70°．
又∵FG平分∠EFD，
∴∠2=∠EFD=35°．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，是基础题．
2．如图，平分，于点，，，则（       ）

A．28 B．21 C．14 D．7
【答案】C
【分析】作于，由角平分线的性质得到，结合三角形面积公式解题．
【详解】解：作于，

平分，，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．如图，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于点D，若，△ABD的面积为60，则CD长(     )


A．12 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线的性质可得DE=CD，再由△ABD的面积为60，可得DE=6，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，


∵，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∵，△ABD的面积为60，
∴，
解得：DE=6，
∴CD=6．
故选：C
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（            ）          

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠E=90°，
∵AD=AD，
∴△DAC≌△DAE，
∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；
无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；
∵BE+AE=AB，AE=AC，
∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正确；
∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，
∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正确．
综上，正确的个数的3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质；题目是一道结论开放性题目，考查了同学们利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．
5．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，若，，则的面积等于（　　）

A．36 B．48 C．60 D．72
【答案】B
【分析】作交于点，然后根据角平分线的性质，可以得到，再根据三角形的面积公式，即可求得的面积．
【详解】解：作交于点，
∵是边上的高，
∴，
∵平分，
∴
∵，，
∴．
故选：B．

【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线性质．理解和掌握角的平分线的性质定理是解题的关键．
6．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA于点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（       ）


A．62° B．56° C．52° D．46°
【答案】B
【分析】根据题意，两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，根据摆放方式可知，点P到射线OA， OB的距离相等，进而可得OP是∠AOB的角平分线，进而可得∠AOP=∠BOP，根据平行线的性质可得∠MPO=∠POB，根据三角形的外角性质可得∠AMP=∠AOP+∠MPO，即可求解．
【详解】解：∵两把完全相同的长方形直尺的宽度一致，
点P到射线OA， OB的距离相等，
∴OP是∠AOB的角平分线，
∵∠BOP= 28°，
∴∠AOP=∠BOP=28°，
∵MP∥OB
∴∠MPO=∠POB =28°
∴∠AMP=∠AOP+∠MPO= 56°
故选：B
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的判定，三角形的外角性质，找到隐含条件P到射线OA， OB的距离相等是解题的关键．
7．如图，，是的中点，平分，且，则（     ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件和平行线的性质可得，过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据是的中点，可得，根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，进而可得
【详解】如图，过点作于点，

,平分，
，


是的中点，


平分

故选A
【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是（       ）


A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】B
【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD=ED，AC=AE=BC，继而可得△DBE的周长=AB．
【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，
∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴BC=AE，
∴△DBE的周长是：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=7cm．
故选 B．
【点睛】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（     ）

A．15 B．30 C．45 D．60
【答案】B
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=4，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作DE⊥AB于E，

由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=4，
∴△ABD的面积=×AB×DE=30，
故选：B．
【点睛】本题考查的是作图——基本作图，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB边于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC边于点D，若BD＝5，则CD的长可能是（       ）

A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】过点作，根据角平分线的性质可得，根据点到直线的距离垂线段最短可得即可求解．
【详解】由作图可知，是的角平分线，
过点作，根据角平分线的性质可得，

根据点到直线的距离垂线段最短可得

故选D
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂线段最短，理解题意，是的角平分线是解题的关键．
11．如图，的三边，，的长分别是10，15，20，其三条角平分线相交于点O，连接OA，OB，OC，将分成三个三角形，则等于__________．

【答案】2：3：4
【分析】过点O分别向三边作垂线段，通过角平分线的性质得到三条垂线段长度相等，再通过面积比等于底边长度之比得到答案．
【详解】解：过点O分别向BC、BA、AC作垂线段交于D、E、F三点．
∵CO、BO、AO分别平分
∴
∵，，
∴
故答案为：2：3：4

【点睛】本题考查了角平分线的性质，往三角形的三边作垂线段并得到面积之比等于底之比是解题关键．
12．如图，在中，，是的平分线，，垂足为，若和的周长分别为和，则的长为________．

【答案】12
【分析】由BD平分∠ABC，可得∠EBD=∠CBD，可证Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），可得BE=BC，ED=CD，可求AC+AE=6，可求2BC+AE+AC=30即可．
【详解】解：∵，，
∴∠BED=∠BCD=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD，
在Rt△EBD和Rt△CBD中，
，
Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），
∴BE=BC，ED=CD，
∵的周长为，
∴AD+ED+AE=AD+DC+AE=AC+AE=6，
∵的周长为，
∴AB+BC+AC=AE+BE+BC+AC=2BC+AE+AC=30，
∴2BC=30-（AE+AC）=30-6=24，
∴BC=12．
故答案为12．
【点睛】本题考查角平分线定义，三角形全等判定与性质，三角形周长，掌握角平分线定义，三角形全等判定与性质，三角形周长是解题关键．
13．如图所示，已知：AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=140°，∠BED的度数为______．

【答案】80°
【分析】根据平行线的性质可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，再根据角平分线的性质可得∠ABE+∠CDE的度数，从而求得结果．
【详解】∵AB∥CD
∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，∠BFD=∠ABF+∠CDF=140°
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE
∴∠ABE+∠CDE=280°
∴∠BED=80°．
【点睛】平行线的判定与性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考常见题，一般难度不大，需熟练掌握．
14．如图，在中，，的平分线与的外角平分线交于点，则的度数为___________.（用含的式子表示）

【答案】
【分析】如图，过点E作三边的垂线，垂足分别为D，F，G，先根据角平分线的性质证得EF=DE，然后根据角平分线的判定证得，再根据三角形外角的性质和角平分线的性质求得∠EBA=，∠BAE=，最后根据三角形内角和求解．
【详解】解：过点E作于点D，于点F，于点G，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角，
∴，
∴AE也是∠BAC外角的平分线，


∴∠EBA=，∠BAE=，
∴∠EBA+∠BAE==，
∴∠AEB==．

故答案为：．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质和判定，正确理解三角形的有关性质是解本题的关键．
15．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，，，若△ACD的面积为16，则△ABC的面积为________．

【答案】12
【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD于F，由角平分线的性质可得CE=CF，由△ACD的面积和底求得高CF的值，便可解答；
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，过点C作CF⊥AD于F，


∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵AD=8，△ACD面积=16，
∴CF=4，
∵AB=6，CE=CF=4，
∴△ACB面积=12，
故答案为：12；
【点睛】本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）；掌握角平分线的性质是解题关键．
16．如图，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ____ 处．

【答案】4．
【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，然后根据角平分线的性质进行判断．
【详解】解：如图示，作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故答案是：4．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
17．如图，中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点C，作射线，过点C作于点D．交于点E，若，则的度数为_______________．


【答案】65° ##65度
【分析】根据作图先得出OC平分∠AOB，根据，得出，根据为的外角，得出，即可求出，根据，得出，即可求解．
【详解】解：根据作图可知，OC平分∠AOB，
∴，
∵，
，
，
为的外角，
，
，
，
，
．
故答案为：．


【点睛】本题主要考查了角平分线的基本作图，平行线的性质，三角形外角的性质，直角三角形的性质，根据题意求出是解题的关键．
18．如图，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，FD 的延长线交BE于点E
（1）若∠BAC=56°，∠DCA=22°， ∠EBD=23°，求∠BEF的度数；
（2）若∠BAC=α，∠DCA=β，∠BEF=γ，请直接写出α、β、γ三者之间的关系．

【答案】（1）39°；（2）
【分析】（1）连接BC，根据∠EBD=23°，BE平分∠ABD，求出的度数，然后根据∠BAC=56°，∠DCA=22°，求出的度数，然后根据DF是的平分线，求出的度数，最后根据外角的性质即可求出∠BEF的度数；
（2）连接BC，首先根据三角形内角和定理和BE平分∠ABD，表示出∠BDC的度数，然后根据DF平分∠BDC，表示出∠BDF的度数，利用，即可得到α、β、γ三者之间的关系．
【详解】解：（1）如图所示，连接BC，

平分，
，
，
，
，
∵DF是的平分线，
，
．
（2）如图所示，连接BC，

∵BE是的平分线，
∴，
，


，
∵DF平分，
，
，
，
，
∴三者之间的关系是．
【点睛】此题考查了角平分线的运用，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意表示出∠BDF．
19．如图，在中，，BD是的平分线，于点E，点F在BC上，连接DF，且．

(1)求证：；
(2)若，，求AB的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)10

【分析】（1）由角平分线的性质可得，证明，进而结论得证；
（2）证明，可得，根据计算求解即可．
（1）证明：（1）∵，∴，又∵BD是的平分线，，∴，，在和中，∵，∴，∴．
（2）解：由（1）可得，∴，∵，∴，∴，∵BD是的平分线，∴，在和中，∵，∴，∴，∴，∴AB的长为10．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握角平分线的性质并证明三角形全等．
20．如图，小聪想画∠AOB的角平分线，手头没有量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝1cm，分别过点C，点D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的角平分线．请判断小聪的做法是否可行？并说明理由．

【答案】小聪的做法可行，理由见解析
【分析】通过已知条件证明，得到，，再根据已知条件证明，再根据角平分线的判定证明即可；
【详解】小聪的做法可行，理由如下：
∵CF⊥OA，DE⊥OB，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵CF⊥OA，DE⊥OB，
∴OP平分∠AOB；
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的判定，准确证明是解题的关键．
21．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，AB = AD，BC = CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求证：CE = CF．

【答案】见解析
【分析】首先证明△ADC≌△ABC可得∠DAC＝∠BAC，再根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得结论．
【详解】证明：在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，
∴CE＝CF．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，关键是掌握全等三角形的判定方法．
培优第二阶——拓展培优练
22．如图，有三块菜地△ACD、△ABD、△BDE分别种植三种蔬菜，点D为AE与BC的交点，AD平分∠BAC，AD=DE，AB=3AC，菜地△BDE的面积为96，则菜地△ACD的面积是（       ）

A．24 B．27 C．32 D．36
【答案】C
【分析】利用三角形的中线平分三角形的面积求得S△ABD=S△BDE=96，利用角平分线的性质得到△ACD与△ABD的高相等，进一步求解即可．
【详解】解：∵AD=DE，S△BDE=96，
∴S△ABD=S△BDE=96，
过点D作DG⊥AC于点G，过点D作DF⊥AB于点F，

∵AD平分∠BAC，
∴DG=DF，
∴△ACD与△ABD的高相等，
又∵AB=3AC，
∴S△ACD=S△ABD=．
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
23．如图，在和中，，，，，连接、交于点，连接，下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的为（       ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】由SAS证明得出，，①正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；作于G，于H，如图所示：则，由AAS证明（AAS），得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；由，得出当时，平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得出，，所以，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】∵，
∴
即
在和中

∴（SAS）
∴，，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：，
∴，②正确；
作于G，于H，如图所示：

则，
在和中

∴（AAS），
∴
∴平分，④正确；
∴
∴当时，平分，
假设
∵
∴，
∵平分
∴，
在和中

∴（ASA）
∴，
∵，
∴，
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选：B
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
24．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°； ②AD=PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=S△ABP；⑤S△APH=S△ADE，其中正确的结论有（       ）个


A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】①正确．利用三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解决问题．
②正确．证明△ABP≌△FBP，推出PA=PF，再证明△APH≌△FPD，推出PH=PD即可解决问题．
③错误．利用反证法，假设成立，推出矛盾即可．
④错误，可以证明S四边形ABDE=2S△ABP．
⑤正确．由DH∥PE，利用等高模型解决问题即可．
【详解】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC
∵∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC
∴∠BAD+∠ABE=（∠A+∠B）=45°
∴∠APB=135°，故①正确
∴∠BPD=45°
又∵PF⊥AD
∴∠FPB=90°+45°=135°
∴∠APB=∠FPB
又∵∠ABP=∠FBP
BP=BP
∴△ABP≌△FBP（ASA）
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF
在△APH和△FPD中

∴△APH≌△FPD（ASA）
∴PH=PD
∴AD=AP+PD=PF+PH．故②正确
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD
∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD
∵∠HPD=90°
∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD
∴HD∥EP
∴S△EPH=S△EPD
∴S△APH=S△AED，故⑤正确
∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD
=S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD
=S△ABP+S△APH+S△PBD
=S△ABP+S△FPD+S△PBD
=S△ABP+S△FBP
=2S△ABP，故④不正确
若DH平分∠CDE，则∠CDH=∠EDH
∵DH∥BE
∴∠CDH=∠CBE=∠ABE
∴∠CDE=∠ABC
∴DE∥AB，这个显然与条件矛盾，故③错误
故选B．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形全等的判定方法，三角形内角和定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质得到CD=DF=3，故B正确；根据平行线的性质及角平分线得到AE=DE=5，故C正确；由此判断D正确；再证明△BDF≌△DEC，求出BF=CD=3，故A错误．
【详解】解：在中，的平分线交于点D，，
∴CD=DF=3，故B正确；
∵DE=5，
∴CE=4，
∵DE//AB，
∴∠ADE=∠DAF，
∵∠CAD=∠BAD，
∴∠CAD=∠ADE，
∴AE=DE=5，故C正确；
∴AC=AE+CE=9，故D正确；
∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，CD=DF，
∴△BDF≌△DEC，       
∴BF=CD=3，故A错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理，平行线的性质，等边对等角证明角相等，全等三角形的判定及性质，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．
26．如图，BD平分∠ABC，F，G分别是BA，BC上的点（），，则∠BFE与∠BGE的数量关系一定满足的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分别作于点M、N，BD为的角平分线有，易证，进而有，进而可得到答案．
【详解】解：分别作于点M、N
∵BD为的角平分线
∴
∵
∴
∴
∴
故选：B．

【点睛】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，作垂线构造全等三角形是解题的关键．
27．如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（　　）


A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC
【答案】B
【分析】过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，

∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P，
∴PD=PF，PE=PF，
∴PD=PE，
∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC．
故选：B
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
28．如图是用直尺和圆规作已知角∠AOB平分线OP的示意图，仔细观察，根据三角形全等的知识，说明画出OP的依据是（       ）

A．边角边，全等三角形对应角相等
B．角边角，全等三角形对应角相等
C．边边边，全等三角形对应角相等
D．斜边直角边，全等三角形对应角相等
【答案】C
【分析】结合题意，根据角平分线尺规作图、全等三角形的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，得：，
在和中

∴
∴，即
∴画出OP的依据是：边边边，全等三角形对应角相等
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线尺规作图、全等三角形的性质，从而完成求解．
29．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：①；②；③点到各边的距离相等；④设，，则．其中正确的结论有________（填写序号）．

【答案】①③④
【分析】由角平分线的性质，平行的性质，三角形的性质等对结论进行判定即可．
【详解】解：在中，和的平分线相交于点，
，，，
，
；故②错误；
在中，和的平分线相交于点，
，，
，
，，
，，
，，
，
故①正确；
过点作于，作于，连接，

在中，和的平分线相交于点，
，
；故④正确；
在中，和的平分线相交于点，
点到各边的距离相等，故③正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了三角形内的有关角平分线的综合问题，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等．
30．如图，ΔABC的面积为8 cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P， 则ΔPBC的面积为________．

【答案】
【分析】延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△BEP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积．
【详解】解：延长AP交BC于E，如图所示：

∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
在△APB和△EPB中
，
∴△APB≌△EPB（ASA），
∴S△APB=S△EPB，AP=PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC=S△PCE，
∴S△PBC=S△PBE+S△PCE=S△ABC=4cm2，
故答案为4cm2．
【点睛】本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出S△PBC=S△PBE+S△PCE=S△ABC．
31．如图，在和中，，，直线交于点M，连接．以下结论：①；②；③；④平分．其中正确的是___________（填序号）．

【答案】①②③
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OAC=∠OBD，AC=BD，①②正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，得出∠AMB=∠AOB=α，可得③正确； 作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，利用全等三角形的对应高相等得出OG=OH，由角平分线的判定方法得∠AMO=∠DMO，假设OM平分∠BOC，则可求出∠AOM=∠DOM，由全等三角形的判定定理可得△AMO≌△DMO，得AO=OD，而OC=OD，所以OA=OC，而OA＜OC，故④错误；即可得出结论．
【详解】解：∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC， 即∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OAC=∠OBD，AC=BD， 故①②正确；
由三角形的内角和定理得： ∠AMB+∠OBD=∠OAC+∠AOB，
∵∠OAC=∠OBD，
∴∠AMB=∠AOB=α， ，故③正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，

△AOC≌△BOD，
∴结合全等三角形的对应高可得：OG=OH，
∴MO平分∠AMD，
∴∠AMO=∠DMO， 假设OM平分∠BOC，则∠BOM=∠COM，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOM=∠COD+∠COM， 即∠AOM=∠DOM，
在△AMO与△DMO中， ，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴OA=OD， ∵OC=OD，
∴OA=OC， 而OA＜OC，故④错误； 正确的个数有3个；
故答案为：①②③．
【点睛】本题属于三角形的综合题，是中考填空题的压轴题，本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识，证明三角形全等是解题的关键．
32．如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA＝OB，再分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，两弧交于点C．若C的坐标为（3a，﹣a＋8），则a＝_____．


【答案】2
【分析】根据尺规作图可知，点C在∠AOB角平分线上，所以C点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出a的值．
【详解】解：根据题目尺规作图可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点，
∵点C在第一象限，
∴点C的横坐标和纵坐标都是正数且横坐标等于纵坐标，即3a=-a+8，
得a=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了角平分线尺规作图，角平分线的性质，以及平面直角坐标系的知识，结合直角坐标系的知识列方程求解是解答本题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
33．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD的延长线于F．

(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若BC=8cm，DF=3cm，求CD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)2cm

【分析】（1）由角平分线的性质可知，证明，进而结论得证；
（2）由，可得，证明，则，根据，计算求解即可．
(1)
证明：∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
(2)
解：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为2cm．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于找出三角形全等的条件．
34．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，在△ADE中，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．

(1)求证：△ABD≌△ACE；
(2)求证：FA平分∠BFE．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据SAS证明结论即可；
（2）作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题．
(1)
证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
(2)
证明：如图，作AM⊥BD于M，作AN⊥CE于N．

由△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∵，
∴AM＝AN，
∴点A在∠BFE平分线上，
∴FA平分∠BFE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．
35．如图，AD是△ABC的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，M、N分别为AB、AC边上的点．
（1）求证：DE＝DF；
（2）若DM＝DN，和的面积分别为36和50，求的面积．

【答案】（1）见解析； （2）
【分析】（1）根据角平分线的性质直接可得；
（2）根据已知条件证明，，再根据全等三角形的面积相等，即可求得.
【详解】解：（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF；
（2）在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质＼全等三角形的判断和性质；解决本题的关键是掌握好全等三角形的判定和性质．
36．小明的学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：


(1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，相交于点．求证：；
(2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数；
(3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点，使得，角平分线交于点．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点．若，求的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)25°，25°；
(3)55°

【分析】（1）由余角的性质可得∠B＝∠ACD，由角平分线的性质和外角的性质可得结论；
（2）由三角形内角和定理可求∠GAF＝130°，由角平分线的性质可求∠GAF＝65°，由余角的性质可求解；
（3）由平角的性质和角平分线的性质可求∠EAN＝90°，由外角的性质可求解．
(1)
证明：∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
(2)
解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，
∴∠GAB＝∠B+∠ACB＝40°+90°＝130°，
∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF130°＝65°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠GAF＝90°﹣65°＝25°，
又∵∠CAE＝∠GAF＝65°，∠ACB＝90°，
∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝90°﹣65°＝25°；
(3)
证明：∵C、A、G三点共线，AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．
∴∠CFE＝90°﹣∠M＝90°﹣35°＝55°．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
37．已知，点C在的平分线上，点B、D分别在、上，连接、．

(1)如图1，若，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2，，郑么（1）中探究的结论是否成立？若成立，请给出证明：若不成立，请说明理由．
【答案】(1)BC＝DC
(2)成立，理由见解析

【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DC=BC；
（2）过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，根据同角的补角相等求出∠ABC=∠CDF，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=CF，然后利用“角角边”证明△BCE和△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得DC=BC．
(1)
∵AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，
∴DC=BC；
(2)
（1）中的结论仍然成立．
理由如下：如图，过点C作CE⊥AB于E，作CF⊥AD于F，

∵∠ABC+∠ADC=180°，
∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（AAS），
∴DC=BC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，难点在于（2）作辅助线构造出全等三角形．