初中数学人教版八年级上册12.3 角的平分线的性质优质ppt课件

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一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
如图，OC是∠AOB的平分线.
1、会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.2、探究并证明角平分线的性质.3、会用角平分线的性质解决实际问题.
思考：如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？
理由如下：如图构成了△ADC和△ABC， ∵在△ADC和△ABC中， AD=AB， AC=AC， DC=BC， ∴△ADC≌△ABC（SSS），∴ ∠DAC=∠BAC. ∵点C在射线AE上， ∴AE是这个角的平分线.
作已知角的平分线
如图，已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧线，交OA于点N，交OB于点M.（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.（3）画射线OC，射线OC即为所求.
（1）以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.（2）“以大于 MN的长为半径画弧”是因为小于 MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于 MN的长为半径画弧时不容易操作.
（3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.（4）“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
经过测量发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得到同样的结论.
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何表示：如图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.∴PD=PE.
（1）“点”是指角的平分线上任意位置的点；（2）“点到角的两边的距离”是指点到角的两边的垂线段的长度.
如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E.求证：PD=PE.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO， ∠AOC=∠BOC， OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）， ∴PD=PE.
证明几何命题的一般步骤.
（1）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出要证明的结论的途径，写出证明过程.
（1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；（2）证明过程中的每一步推理都要有依据，比如：已知条件、定义、定理等.
求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在的直线的距离相等.
已知，如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.求证：BE=CF.
证明：∵AD为△ABC的中线， ∴BD=CD.∵CF⊥AD，BE⊥AD交AD的延长线于点E，∴∠BED=∠CFD=90°.在△BED和△CFD中，∠BED=∠CFD， ∠BDE=∠CDF， BD=CD，∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴BE=CF.
填空：下列结论一定成立的是（ ） ①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA、OB上的点，则PD=PE. ②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE. ③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD┴OA，垂足分别为D.若PD=3，则点P到OB的距离为3.
①如图1，OC平分∠AOB，点P在OC上，D，E分别为OA，OB上的点，则PD=PE（PD、PE不是角平分线上的点到角两边的距离）. ②如图2，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则PD=PE（OC不是∠AOB的平分线）. ③如图3，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，垂足分别为D.若PD=3，则点P到OB的距离为3（PD是∠AOB平分线OC上的点到OA的距离）.
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：EB=FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BD=CD， DE=DF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴EB=FC.
如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，则下列结论错误的是（ ）A.PC=PD B.∠CPO=∠DOP C.∠CPO=∠DPO D.OC=OD
证明：∵OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD. 在Rt△OCP和Rt△ODP中， ∵ OP=OP， PC=PD， ∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL）. ∴ ∠CPO=∠DPO，OC=OD.
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，则△DEB的周长为（ ） A.10cm B.7cm C.8cm D.不能确定
分析：△DEB的周长为DE+EB+BD.利用角平分线的性质可得：DC=DE，利用△CDA和△EDA全等可得：AE=AC，利用AC=BC，DC=DE，AE=AC来进行转化.