初中12.3 角的平分线的性质一等奖课件ppt

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角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何表示：如图，∵OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.∴PD=PE.
1、探究并证明角的平分线的判定.2、会用角的平分线的判定解决实际问题.3、熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.
思考：如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？
作出公路和铁路相交的角的平分线，按照比例尺的比例在该平分线上选取离交叉口处500m的位置即可建集贸市场.
角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
几何表示：如图，∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上.
（1）使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部；（2）角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PEO=∠PDO=90°.∵在Rt△PEO和Rt△PDO中， PE=PD， PO=PO，∴Rt△PEO≌Rt△PDO（HL）. ∴∠AOC=∠BOC.∴点P在∠AOB的平分线OC上.
如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线OC上.
角的平分线的性质定理与判定定理的关系.
点在角的平分线上
（角的内部）点到角 的两边的距离相等
性质定理
判定定理
正确理解两个定理的条件和结论，性质定理和判定定理的条件和结论是相反的，性质定理是证明两条线段相等的依据，判定定理是证明两个角相等的依据.
分别画出以下三角形的三个内角的角平分线，从位置上你能观察出什么结论？
三角形三个内角的角平分线的交点位于三角形的内部.
过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段，从大小上你能观察出什么结论？
过交点作三角形三边的垂线段相等.
如图，△ABC的角平分线AD、BE、CF相交于点P.求证：点P到△ABC三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PM⊥BC，PN⊥AC，PO⊥AB，垂足分别为点M，N，O.
∵AD为△ABC的角平分线， ∴PN=PO.∵BE为△ABC的角平分线， ∴PM=PO.∵CF为△ABC的角平分线， ∴PM=PN.∴PM=PN=PO，即点P到△ABC三边AB、BC、CA的距离相等.
1、判断题：（1）如图1，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.（ ）（2）如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.（ ）
如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：①点P在∠DBC的平分线上；②点P在∠BCE的平分线上；③点P在∠BAC的平分线上.其中说法正确的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC.求证：AD是∠BAC的平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠BED=∠CFD=90°. ∵在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF， DB=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE=DF. ∴点D在∠BAC的平分线上，即AD是∠BAC的平分线.
如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC=（ ）.
如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD.
证明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°， ∴∠ABC=∠EDC.∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠CED=∠CFB=90°.∵在△BCF和△DCE中， ∠CFB=∠CED， ∠FBC=∠EDC， BC=DC， ∴△BCF≌△DCE（AAS）. ∴CF=CE，即AC平分∠BAD.
如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的平分线.
证明：过点E作EF⊥AD于点F，∵∠B=∠C=90°， ∴DC⊥EC，EB⊥AB. ∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF.∵E是BC的中点， ∴EC=EB.又∵EF⊥AD，EB⊥AB， ∴点E在∠BAD的平分线上，即AE是∠DAB的平分线.
如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A、B不与点O重合），在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°.求证：点P在∠MON的平分线上.
分析：（1）过点P分别向OM、ON作垂线段，利用角的平分线的判定来证明结论；（2）等角加（减）等角，其和（差）仍然是等角；（3）证明两条线段相等利用三角形全等的性质.