北师大版 (2019)必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用教学设计

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第四节 一元二次函数和一元二次不等式 4.3　一元二次不等式的应用教学设计 生活中很多问题都需要数学知识来解决，最常见的问题就是公司利润最大化，材料节省问题，都会用到函数去解决，而一元二次函数和一元二次不等式是我们经常所用到的数学知识，本章主要将如何利用二次函数和一元二次不等式解决简单的实际问题 教学目标： 利用一元二次不等式结合二次函数解决实际应用问题 二．核心素养 1.数学抽象：一元二次函数和一元二次不等式的概念 2.逻辑推理：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 3.数学运算：解一元二次不等式 4. 直观想象：利用二次函数图像分析一元二次不等式的解集，直观的解释不等式解集的正确性 5. 数学建模：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 一元二次函数和一元二次不等式运用于实际问题中，从而更好的帮助学生学会运用所学知识，解决常见的问题，比如：利润最大化问题，材料节省问题等 难点：通过实际应用题干，提炼一元二次不等式 重点：结合实际问题，解一元二次不等式，需注意本身条件对变量的限制 PPT 一元二次不等式是重要的数学模型，在实际生活中有较广泛的应用. 例1：某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满.该农家院欲提 高档次，并提高租金.经市场调研，每间客房日租金每增加10元,客房出租数就会减少1间. 每间客房日租金不得超过130元,要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每 间客房日租金提高的空间有多大？ 解 设每间客房日租金提高(个10元，即每间客房日租金提高到(80 + 10x)元,则客房 出租数减少(间，此时客房的租金总收入为(80 + 10x)(20-x)元. 又因为每天客房的租金总收入不低于1 800元，所以 (80 + 10x)(20一x)≥1 800. 化简，得 x2-12x+20≤0. 解得 2≤x≤10. 所以 20≤10x≤100. 由题意可知:每间客房日租金不得超过130元，即80 + 10x≤130,所以10x≤50.因此, 该农家院每间客房日租金提高的空间是20〜50元. 例2：为鼓励大学毕业生自主创业,某市出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成 本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.袁阳按照相 关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂 价为每件12元,每月的销售量伙单位:件)与销售单价x(单位:元)之间的关系近似满足一次函数：y = -10x+500. 设袁阳每月获得的利润为y(单位:元)，写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系 物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果袁阳想要每月获得的 利润不小于3 000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 解 (1)依题意可知每件的销售利润为(x-10)元,每月的销售量为(-10x+500)件, 所以每月获得的利润w与销售单价(的函数关系为 w= (x-10) (- 10x+500). (2)由每月获得的利润不小于3 000元，得 (x-10)(-10x+500)≥3 000. 化简，得 x2-60x+800≤0. 解得 20≤x≤40。. 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25 ， 20≤x≤25. 设政府每个月为他承担的总差价为p元，则 p=(12 —10)( - 10x十 500) = -20x+1 000. 由 20≤x≤25.得 500≤-20x+1 000≤600. 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[500,600]. 利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： 选取合适的字母表示题中的未知数； 由题中给出的不等关系冽出关于未知数的不等式(组)； 求解所列出的不等式(组)； (4结合题目的实际意义确定答案. 【课堂练习】公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?            分析  由题意可知，本题可借助抛物线这一数学模型求解.关键是要根据题设条件求出所需的具体抛物线方程.为此，以O为原点，以OA所在直线为y轴，水面中垂直OA的直线为x轴建立直角坐标系，如上右图所示，则水流所呈现的抛物线方程为 y=a(x-1)2+2.25. 由题意，点A的坐标为(0，1.25)，把x=0,y=1.25代入方程解得a=-1，于是抛物线方程为 y=-(x-1)2+2.25. 令y=0，得-(x-1)2+2.25=0，解得x1=2.5，x2=-0.5(不合题意，舍去). 所以水池半径至少要2.5米，才能使水流不落到池外. 本章节主要是利用一元二次函数和一元二次函数解决实际问题，所以学生在审题题目时，一定要细心注意题目中对变量的限制条件。