人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时学案设计

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质

第1课时　周期性与奇偶性

【课前预习】

知识点一

1.非零　f(x+T)

2.正数　正数

3.(1)2kπ(k∈Z且k≠0)　2π　(2)2kπ(k∈Z且k≠0)　2π

诊断分析

(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)不一定.当k=0时,kT不是y=f(x)的周期.

(2)不是.如f(x)=c(c为常数,x∈R),所有的非零实数T都是它的周期,不存在最小正周期.

(3)因为sin 2x=sin(2x+2π)=sin[2(x+π)],所以函数y=sin 2x的最小正周期为π.

知识点二

1.坐标原点　奇

2.y轴　偶

3.x=kπ+(k∈Z)　(kπ,0)(k∈Z)　x=kπ(k∈Z)　kπ+,0(k∈Z)

诊断分析

1.(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)函数y=sin x,x∈(-π,π]不具有奇偶性.

2.2kπ+,0(k∈Z)　x=2kπ-(k∈Z)　[解析] 令+=kπ+,k∈Z,得x=2kπ+,k∈Z,故f(x)图像的对称中心的坐标是2kπ+,0,k∈Z.令 +=kπ,k∈Z,得x=2kπ-,k∈Z,故f(x)图像的对称轴方程为x=2kπ-,k∈Z.

【课中探究】

探究点一

例1　解:(1)∵f(x+2π)=2sin(x+2π)=2sin x=f(x),

∴由周期函数的定义知,f(x)=2sin x的最小正周期为2π.

(2)∵fx+=cos 4x+=cos(4x+2π)=cos 4x=f(x),

∴由周期函数的定义知,f(x)=cos 4x的最小正周期为.

(3)方法一(定义法):令z=x-,

由x∈R得z∈R,且y=2sin z的最小正周期为2π,

即2sin(z+2π)=2sin z,即2sinx-+2π=2sinx-,

故2sin(x+6π)-=2sinx-.

由周期函数的定义可知,原函数的最小正周期为6π.

方法二(公式法):最小正周期T===6π.

(4)方法一(图像法):作出f(x)=|sin x|的部分图像(图略),由图可知f(x)=|sin x|的最小正周期为π.

方法二(定义法):∵f(x+π)=|sin(x+π)|= |-sin x|=|sin x|=f(x),∴由周期函数的定义可知,f(x)=|sin x|的最小正周期为π.

变式　(1)B　(2)B　(3)1　[解析] (1)由题知,f(n)=cos+的最小正周期T=4,且f(1)=cos+=cos=-,f(2)=cosπ+=-,f(3)=cos+=,f(4)=cos2π+=,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2021)=-.故选B.

(2)f-=f-+×3=f=sin=.

(3)由题得,函数f(x)的最小正周期为π-=2π=,所以ω=1.

探究点二

探索 (1)原点　(2)0

例2　(1)B　(2)A　(3)D　[解析] (1)设f(x)=2sin2x+=2cos 2x,因为f(-x)=2cos(-2x)=2cos 2x=f(x),所以f(x)是偶函数且f(x)的最小正周期T==π.故选B.

(2)令x+=+kπ,k∈Z,得x=kπ+,k∈Z,该方程为y=sinx+图像的对称轴方程,当k=0时,x=.故选A.

(3)由函数y=cos(ωx+φ)是奇函数,可知当x=0时,y=0,即cos φ=0,得φ=kπ+(k∈Z).

变式　解:(1)f(x)=sin 2x+x2sin x,

∵x∈R,f(-x)=sin(-2x)+(-x)2sin(-x)=-sin 2x-x2sin x=-f(x),∴f(x)是奇函数.

(2)由得-1<sin x<1,

故f(x)的定义域为xx≠kπ+,k∈Z,

∴f(x)的定义域关于原点对称.

又f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]=lg(1+sin x)-lg(1-sin x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

(3)由得cos x=,∴f(x)=0,且f(x)的定义域为xx=2kπ±,k∈Z,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

(4)∵函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=sin[cos(-x)]=sin(cos x)=f(x),

∴函数f(x)=sin(cos x)是偶函数.

拓展　B　[解析] 分别作出y=cos x,x∈,3π与y=m的图像,如图所示.

方法一(排除法):关于x的方程cos x=m在区间,3π上恰有三个解x1,x2,x3(x1<x2<x3),由图知-1<m<0,故排除C,D.

当m=- 时,由cos x=-,解得x1=π,x2=π,x3=π,则=π2,x1·x3=π2,故排除A.当m=-时,由cos x=-,解得x1=π,x2=π,x3=π,则=π2=x1·x3=π2,故选B.

方法二(直接法):关于x的方程cos x=m在区间,3π上恰有三个解 x1,x2,x3(x1<x2<x3),由图知<x1<x2<,<x3<3π,且x1+x2=2π,x2+x3=4π,又=x1·x3,∴=(2π-x2)(4π-x2),解得x2=,∴x1=,x3=.经检验满足题意,∴m=cos=-,故选B.

探究点三

探索 解:(1)奇函数有y=2sin x,y=sin 2x,y=5sin 2x,y=sin xcos x等.偶函数有y=cos 2x+1,y=3cos 5x,y=sin x·sin 2x等.

(2)f(2020)=f(0+1010×2)=f(0)=0.

例3　(1)D　(2)D　[解析] (1)y=cos|2x|是偶函数;y=sin 4x是奇函数,且最小正周期T=;y=sin+2x=cos 2x是偶函数;y=cos-2x=-sin 2x是奇函数,且最小正周期T=π.故选D.

(2)f=f-π=f=f-π=f-=f=sin=.

变式　1　[解析] ∵fx+=-f(x),∴f(x+π)=-fx+=-[-f(x)]=f(x),∴f(x)的周期T=π,∴f=f-2π=f-=f=1.

【课堂评价】

1.D　[解析]  结合周期函数的定义可知A,B,C均为周期函数的图像,D不是周期函数的图像.

2.A　[解析] 函数y=sin 2x的定义域关于原点对称,且sin 2(-x)=-sin 2x,所以y=sin 2x为奇函数.

3.AD　[解析] 由周期公式知,A,D中,T===4π.B中,T===π.C中,∵y=sin 的最小正周期为=4π,∴y=sin的最小正周期为2π.故选AD.

4.1　[解析] f=f8×-=f-=-f=-(-1)=1.

5.0　[解析]  因为f(x)=sin x-|a|,x∈R为奇函数,所以f(0)=sin 0-|a|=0,所以a=0.