数学必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质导学案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

5.4　三角函数的图像与性质

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图像

【课前预习】

知识点一

2.正弦　余弦

诊断分析

1.(1)√　(2)√　(3)×

2.解:因为cos x=sinx+,所以y=sin x(x∈R)的图像向左平移个单位长度可得到y=cos x(x∈R)的图像.

知识点二

1.(0,0)　(π,0)　(2π,0)　

2.(0,1)　(π,-1)　(2π,1)

诊断分析

(1)√　(2)√

【课中探究】

探究点一

例1　解:按五个关键点列表:

描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图所示.

变式　解:按五个关键点列表:

描点并将它们用光滑的曲线连接起来,如图.

探究点二

例2　解:(1)首先用五点法作出函数y=cos x,x∈[0,2π]的图像,再作出y=cos x,x∈[0,2π]的图像关于x轴对称的图像,即y=-cos x,x∈[0,2π]的图像,将y=-cos x,x∈[0,2π]的图像向上平移1个单位长度即可得到y=1-cos x,x∈[0,2π]的图像,如图所示.

(2)首先用五点法作出函数y=sin x,x∈[0,4π]的图像,再将该图像在x轴下方的部分翻折到x轴的上方,并且保留x轴上方的部分,即得到y=|sin x|,x∈[0,4π]的图像,如图所示.

变式　(3)(4)　[解析] 画出函数的简图(图略),由图知,(1)(2)错误.由诱导公式知,y=cos(-x)=cos x,y=cos|x|=cos x,所以(3)正确.因为y=sin+x=cos x,所以(4)正确.

探究点三

例3　解:首先作出y=sin x在[0,2π]上的图像,

如图所示,然后作直线y=,根据特殊角的正弦值,可知该直线与y=sin x,x∈[0,2π]的交点横坐标为和;

作直线y=,该直线与y=sin x,x∈[0,2π]的交点横坐标为和.

由图可知,当x∈[0,2π]时,若不等式<sin x≤成立,则<x≤或≤x<,

所以满足<sin x≤的x的取值集合为x+2kπ<x≤+2kπ,或+2kπ≤x<+2kπ,k∈Z.

变式　x-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z　[解析] 要使函数有意义,则2sin x+1>0,即sin x>-.画出y=sin x,x∈-,的简图,如图所示.

当-<x<时,不等式sin x>-成立,所以sin x>-的解集为x-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z,

即函数y=log2(2sin x+1)的定义域为x-+2kπ<x<+2kπ,k∈Z.

例4　解:f(x)=的简图如图所示,

由图易知1<k<3.

变式　[0,1]　[解析] 由余弦函数的图像得-1≤cos x≤1,∴-1≤2m-1≤1,∴m∈[0,1].

拓展　B　[解析] 方程cos x=log8x的实数解的个数即为函数y=cos x的图像和函数y=log8x的图像交点的个数.作出函数y=cos x的图像和函数y=log8x的图像,如图,由图可知,两函数图像交点的个数为3,故选B.

【课堂评价】

1.B　[解析] 令2x=0,,π,π,2π,得x=0,,,π,π,故选B.

2.D　[解析] 根据正弦曲线的特点可知,①②③都正确.

3.B　[解析] y=sin|x|=结合选项可知选B.

4.B　[解析] 将,m代入f(x)=sin x中,得f=m=sin=sin2π+=sin=,故选B.

5.,　[解析] 作出函数y=sin x,x∈[0,2π]的图像,如图所示,由图易知不等式sin x<-,x∈[0,2π]的解集为,.