期末专题02 三角函数5.4-5.7大题综合-【备战期末必刷真题】高一下学期期末考试真题必刷满分训练（新高考湖南专用）

这是一份期末专题02 三角函数5.4-5.7大题综合-【备战期末必刷真题】高一下学期期末考试真题必刷满分训练（新高考湖南专用），文件包含期末专题02三角函数54-57大题综合-备战期末必刷真题高一下学期期末考试真题必刷满分训练新高考湖南专用解析版docx、期末专题02三角函数54-57大题综合-备战期末必刷真题高一下学期期末考试真题必刷满分训练新高考湖南专用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。

期末专题02 三角函数5.4-5.7大题综合

1．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数；
（1）求的最小正周期及对称中心；
（2）若，求的最大值和最小值.
【答案】（1）最小正周期为；对称中心为；（2）最小值为；最大值为2.
【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简为，代入正弦型函数的周期公式及对称中心方程即可求解；
（2）由x的范围，求出的范围，根据正弦函数的图像与性质可得，当时，取得最大值，当时，取得最小值，即可得答案.
【详解】解：（1）
∴的最小正周期为
令，则
∴的对称中心为
（2），

∴当，即时，的最小值为；
当，即时，的最大值为2.
【点睛】本题考查正弦型函数的周期，对称中心及最值问题，考查辅助角公式的应用，考查计算化简的能力，属基础题.
2．（2022秋·湖南郴州·高一统考期末）已知函数
(1)求f（x）的最小正周期；
(2)当时，求函数f（x）的值域.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式化简三角函数解析式，然后由周期公式即可求解；
（2）利用整体思想，结合正弦函数的图象，即可求解函数f（x）的值域.
(1)
解：因为，
所以函数的最小正周期为；
(2)
解：当时，，
∴，
，
所以的值域为.
3．（2022秋·湖南邵阳·高一统考期末）已知函数．
(1)求的最小正周期及最大值；
(2)求在区间上的值域．
【答案】(1)，；
(2).

【分析】（1）利用周期公式及正弦函数的性质即得；
（2）由，求出的范围，再利用正弦函数的性质即可求解.
(1)
∵函数，
∴最小正周期，
∵，，
∴当时，.
(2)
当时，，
∴当时，即时，，
当时，即时，，
∴在区间上的值域为.
4．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示．

(1)求的解析式；
(2)求使成立的的取值集合．
【答案】(1)
(2)或

【分析】（1）通过函数的图象，求出，再求出函数的周期，进而求出 ，利用函数经过的特殊点，求出 ，得到函数的解析式．
（2）令，再结合特额殊角三角函数值，即可求出结果.
（1）
解：由图可知，，则．
因为，所以．   
由，得，   
所以，解得．      
又因为，所以．
故．
（2）
解：由，可得．    
所以或，     
解得或．
故x的取值集合为或．
5．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数．
(1)求在上的单调递增区间；
(2)求函数在上的所有零点之和．
【答案】(1)和
(2)

【分析】（1）根据三角函数的二倍角公式和辅角公式，可得，根据正弦函数的单调性，即可求出结果；
（2）由题意可知，作出函数在上的图象，根据图象和函数的对称性，即可得到结果.
(1)
解：
，  
由，得，
故的单调递增区间为．     
当时，；       
当时，．     
故在上的单调递增区间为和．
(2)
解：，得，    
在上的图象如图所示，

因为，
所以在区间上，函数的图象与直线共有8个交点，
即有8个零点，设这8个零点分别为，       
由，得，所以函数的图象关于直线对称，     
所以，        
故在上的所有零点之和为．
6．（2022秋·湖南娄底·高一统考期末）已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.
(1)求函数的解析式，并写出的单调区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值以及相对应的x值.
【答案】(1)，增区间为，，减区间为，；
(2)最小值为，此时；最大值为，此时.

【分析】（1）根据题意求得的最小正周期，即可求得与解析式，再求函数单调区间即可；
（2）根据（1）中所求，可得在区间的单调性，结合单调性，即可求得函数的最值以及对应的值.
(1)
设的周期为T，则，所以，即，
所以函数的解折式是.
令，解得，
故的增区间为，，
令，解得，
的减区间为，.
(2)
由（1）可知，的减区间为，，
单调增区间为，，
又因为，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
又因为，
所以，，
故函数在区间上的最小值为，此时，最大值为.此时.
7．（2022秋·湖南怀化·高一统考期末）如图，在平面直角坐标系中，以轴的非负半轴为始边的锐角的终边与单位圆相交于点，已知的横坐标为.

(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据三角函数的定义，直接求解；
（2）求出，再根据两角和的余弦公式求解即可.
(1)
设，由已知，，，
所以，
得.
(2)
由（1）知，，
所以
8．（2022秋·湖南邵阳·高一统考期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由任意角的三角函数的定义求出，再利用二倍角公式计算可得；
（2）利用诱导公式将式子化简，再将弦化切，最后代入计算可得；
(1)
由三角函数定义可知：
；
(2)
由三角函数定义可知: ，
∴.
9．（2022秋·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期、单调增区间及对称中心；
(2)求函数在上的值域.
【答案】(1)；，；，
(2)

【分析】（1）先化简函数，可得，再结合正弦函数的性质求解即可；
（2）根据正弦函数的性质求解即可.
【详解】（1），
即.
所以函数的最小正周期.
令，，即，
所以的单调递增区间，.
令，，解得，
所以对称中心为，.
（2）由（1）知：，
当，，即，
所以在上的值域为.
10．（2022秋·湖南益阳·高一统考期末）已知锐角、满足，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由二倍角的余弦公式可求得的值；
（2）利用同角三角函数的基本关系求出、的值，再利用二倍角的正切公式以及两角和的正切公式可求得的值．
【详解】（1）解：.
（2）解：因为、均为锐角，则，，
所以，，，
所以，，
因此，.
11．（2022秋·湖南益阳·高一统考期末）已知函数的图像过点且关于直线 对称．
(1)若直线是函数的图像中与直线相邻的一条对称轴，请确定函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调，求的最大值．
【答案】(1)
(2)13

【分析】（1）根据已知条件求出周期，进而求出的值，根据图像上点及已知条件求出的值；
（2）根据由题意得，和相减得，所以为正奇数，然后根据函数在区间上单调，从而分析出周期，进而确定的值，代回已知条件检验即可.
【详解】（1）由题意可知：，
所以，
又因为的图像过点，
所以得,
因为，所以，
所以，
（2）由函数的图像过点得，
，①
且关于直线 对称得，
，②
由 ②—①得：，
所以为正奇数，
又因为在上单调，
所以，
因为为正奇数，取时，
由①得，
又因为，所以，
此时，，直线是它图像的一条对称轴
又因为时，，
所以在上单调，
综上所述，的最大值为13．
12．（2022秋·湖南永州·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)，；
(2)答案见解析.

【分析】（1）由诱导公式化简函数，再由余弦函数的单调性可得答案；
（2）由余弦的二倍角公式得，令，根据二次函数的性质可求得函数的最大值.
【详解】（1）解：因为函数，令，解得，.
所以函数的单调递增区间为，；
（2）解：因为，所以，
令，则，所以设，
当，即时，在上单调递减，所以，
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，
当，即时，在上单调递增，所以，
所以当时，的最大值为；
当时，的最大值为；
当时，的最大值为.
13．（2022春·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)最大值为米

【分析】对于小问1，根据离地面的最大值米、最小值米和周期为分钟，求出、、，再代入点解得.
对于小问2，令，解出即得答案.
对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式、，
写出两人距离地面的高度差为米，由时间的取值范围，化简求出最大值.
【详解】（1）由题意，（其中）
摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，
所以，得，
又函数周期为分钟，所以，

又，
所以，又，所以，
所以.
（2），
所以，整理，因为，所以，
所以,解得（分钟）.
（3）经过分钟后甲距离地面的高度为，
乙与甲间隔的时间为分钟，
所以乙距离地面的高度为，
所以两人离地面的高度差

当或时，即或分钟时，取最大值为米.
14．（2022秋·湖南长沙·高一雅礼中学校考期末）已知函数的部分图象如图所示：

（1）求的解析式；
（2）将的图象上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象求方程在的实数解.
【答案】（1）；（2）或或.
【解析】（1）先根据函数图象确定出的最小正周期，再根据最小正周期的计算公式求解出的值，然后代入点结合的范围求解出的值，从而的解析式可求；
（2）先根据图象变换求解出的解析式，然后根据得到关于的方程，结合，求解出的值即为方程的实数解.
【详解】（1）因为由图象可知，所以且，所以，
所以，代入点，所以且，所以，
所以；
（2）的图象上所有的点横坐标缩短到原来的后得到的函数解析式为：，
因为，所以，又因为，所以，
所以或或，所以或或，
所以方程在的实数解为：或或.
【点睛】思路点睛：根据的图象求解函数解析式的步骤：
（1）根据图象的最高点可直接确定出的值；
（2）根据图象的对称轴、对称中心确定出函数的最小正周期，再利用最小正周期的计算公式求解出的值；
（3）代入图象中非平衡位置的点，结合的范围求解出，则函数解析式可求.
15．（2022秋·湖南湘潭·高一湘潭一中校联考期末）已知函数（，）的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；
(2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围；
(3)求实数a和正整数n，使得（）在上恰有2021个零点.
【答案】(1)
(2)
(3)当时，；当时，

【分析】（1）根据图象的特点，通过的周期和便可得到的解析式；
（2）通过换元转化为一元二次不等式的恒成立问题，根据二次函数的特点得到，然后解出不等式即可；
（3）将函数的零点个数问题，转化为的图象与直线的交点个数问题，然后分析在一个周期内与的交点情况，根据的取值情况分类讨论即可
【详解】（1）根据图象可知，且，的周期为：
解得：，此时，
，且
可得：
解得：
故
（2）当时，
令，又恒成立
等价于在上恒成立
令，
则有：开口向上，且，只需即可满足题意
故实数m的取值范围是
（3）由题意可得：的图象与直线在上恰有2021个零点
在上时，，分类讨论如下：
①当时，的图象与直线在上无交点；
②当时，的图象与直线在仅有一个交点，此时的图象与直线在上恰有2021个交点，则；
③当或时，的图象与直线在上恰有2个交点，的图象与直线在上有偶数个交点，不会有2021个交点；
④当时，的图象与直线在上恰有3个交点，此时才能使的图象与直线在上有2021个交点.
综上，当时，；当时，.
16．（2022秋·湖南怀化·高一统考期末）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；
(2)若，求的最值以及取得最值时相应的的值.
【答案】(1)
(2)时，，时，

【分析】（1）根据图像先确定，再根据周期确定，代入特殊点确定，即可得到函数解析式；
（2）将作为一个整体，求出其取值范围，进而求得函数最值，以及相应的x的值.
(1)
由图知，，
，即，
得， 所以，
又 ，所以， ,
即，由得，
所以.
(2)
由得 ，
所以当，即时，，
当，即时，.
17．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)求函数的图象沿轴向左平移个单位长度得到函数的图象，求在区间的最值.
【答案】(1)，
(2)，

【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再求其最小正周期和单调增区间即可；
（2）根据（1）中所求，结合函数图像平移求得，再利用整体法即可求得函数的最值.
（1）
，
∴最小正周期，
当即时单调递增，
∴函数的增区间为；
（2）
由题可知：，
当时，，
，
，.
18．（2022秋·湖南长沙·高一长沙麓山国际实验学校校考期末）已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为.
(1)当时，求函数的最大值和最小值；
(2)将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据题意可得，从而可求得，再根据正弦函数的性质结合整体思想即可得出答案；
（2）求出平移后的函数的解析式，再根据正余弦函数的奇偶性即可得出答案.
【详解】（1）解：因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，所以，所以，
所以，
当时，，
所以当时，函数取得最小值，
当时，函数取得最大值，
所以；
（2）解：函数的图象向左平移个单位后，
得到函数，
因为为偶函数，
所以，
所以，
又因为，所以.
19．（2022春·湖南衡阳·高一校联考期末）函数的部分图像如图所示．

(1)求的解析式；
(2)将的图像向右平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，求的解析式．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据图像易得，再求出周期可求出，再利用即可求出；
（2）先求出平移后的解析式，再求出的解析式即可.
（1）
由函数图像可得，，所以，则，
又，所以，即，
因为，所以，
所以；
（2）
将的图像向右平移个单位，可得，
再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得.
20．（2022秋·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）已知函数的图象关于点对称．
(1)求，m的值；
(2)将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域．
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）由二倍角公式降幂后，由余弦函数的对称性可求得值；
（2）由图象变换得出的表达式，再由余弦函数值域得结论．
【详解】（1），
依题意可得，，，
则，．
（2）由（1）知，则．
当时，，
则，
故在上的值域为．
21．（2022秋·湖南岳阳·高一统考期末）设函数的最小正周期为，其中.
(1)求函数的递增区间；
(2)求函数在上的值域.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数的解析式，利用周期求出的值，然后利用整体代换思想以及正弦函数的单调性即可求解；
（2）由，可求出，并进而求出的值域.
(1)
由已知，解析式可化简为

∵的最小正周期为，且，∴，解得，
∴，设，
∵函数的递增区间是，
由，得.
∴函数的递增区间是；
(2)
当时，..
∴，故函数在上的值域是.
22．（2022秋·湖南·高一统考期末）（1）若，求的值；
（2）已知锐角，满足，若，求的值.
【答案】（1）5；（2）.
【分析】（1）根据给定条件化正余的齐次式为正切，再代入计算作答.
（2）根据给定条件利用差角的余弦公式求出，结合角的范围求出即可作答.
【详解】（1）因，所以.
（2）因，是锐角，则，，又，，
因此，，，
则，
显然，于是得：，解得，
所以的值为.
23．（2022秋·湖南·高一统考期末）已知.
(1)若，，求x的值；
(2)若，求的最大值和最小值.
【答案】(1)或；
(2)的最大值和最小值分别为：，.

【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数，再利用给定的函数值及x的范围求解作答.
(2)求出函数相位的范围，再结合正弦函数的性质计算作答.
(1)
依题意，，
由，即得：，而，即，
于是得或，解得或，
所以x的值是或.
(2)
由(1)知，，当时，，
则当，即时，，当，即时，，
所以的最大值和最小值分别为：，.
24．（2022秋·湖南·高一校联考期末）已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)单调递增区间为
(2)

【分析】（1）先利用三角函数恒等变换公式将函数变形为，然后由可求出其单调增区间，
（2）先求出函数在上的值域，即，从而可得进而可求出的取值范围
(1)



令，解得.
故的单调递增区间为.
(2)
因为，所以，
所以，所以，即.
因为等价于，
所以若，则
解得，即的取值范围为.
25．（2022秋·湖南岳阳·高一统考期末）已知函数（其中）的最小正周期为．
(1)求，的单调递增区间；
(2)若时，函数有两个零点、，求实数的取值范围．
【答案】(1)和
(2)

【分析】（1）根据函数的最小正周期求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由的取值范围求出的取值范围，依题意可得与在上有两个交点，即可得到不等式，从而求出参数的取值范围.
【详解】（1）解：函数的最小正周期为且，
，，
由，解得，
的单调递增区间为和.
（2）解：当时，，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
函数在上有两个零点，
即与在上有两个交点，
，
.
26．（2022秋·湖南湘潭·高一湘潭一中校联考期末）已知，，.
(1)求，的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）先求出，再由同角三角函数基本关系求解即可；
（2）根据角的变换，再由两角差的余弦公式求解.
(1)
∵，∴.
∵，∴，
∴，且，解得，
∴，.
(2)
∵，，∴，
∴，
∴
.
27．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求使成立的的取值集合．
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）由三角恒等变换化简可得，解不等式可得函数的单调递减区间；
（2）由可得出，解之即可得解.
【详解】（1）解：
，
由，解得，
所以，函数的单调递减区间为.
（2）解：由可得，可得，
解得，
所以，使成立的的取值集合为.
28．（2022秋·湖南娄底·高一统考期末）已知，，，，求.
【答案】
【分析】由已知结合商数关系、平方关系求，根据的范围及平方关系求，最后由结合差角余弦公式求值即可.
【详解】因为，所以，又，可得或，
而，所以，
由，且，解得，
因为，，则，
所以，
所以.
29．（2022春·湖南·高一校联考期末）已知函数
(1)讨论函数的周期性和奇偶性；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)函数是周期为，为奇函数
(2)或

【分析】(1)根据两角和的正、余弦公式和同角三角函数的基本关系以及二倍角的正弦公式可得，结合、即可得出函数的周期与奇偶性；
(2)由(1)可得，结合角的取值范围即可求出结果.
(1)


，
因为

所以函数是周期为，为奇函数；
(2)
由，得，即
因为，所以，
于是或
故或
30．（2022秋·湖南株洲·高一株洲二中校考期末）已知，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据诱导公式化简整理，上下同除，计算即可得答案.
（2）根据题意及的范围，可求得的值，根据两角差的余弦公式，
可得的值，进而可得的值，根据两角和的正切公式，可得的值，即可得答案.
【详解】（1）∵，
∴，解得.
（2）∵，∴，且，
∴，
∴，
∴，则，
∴，
又∵，∴.
31．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期末）设函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时的值．
【答案】（1），；（2）见解析
【分析】（1）根据正弦函数性质求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）先确定取值范围，再根据正弦函数性质求最值及其对应自变量.
【详解】（1）函数的最小正周期为 ，
由的单调增区间是可得
，解得
故函数的单调递增区间是．
（2）设，则，
由在上的性质知，当时，即，；
当时，即， ．
【点睛】本题考查正弦函数周期、单调区间、最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
32．（2022秋·湖南衡阳·高一统考期末）已知函数，．
（1）求函数的值域；
（2）求不等式的解集；
（3）若关于的方程在恰有4个不同的解，求的取值范围．（直接给出答案，不用书写解答过程）．
【答案】（1）（2）（3）.
【分析】（1）设，则原函数可转化为关于的二次函数，求值域即可；
（2）根据同角三角函数基本关系，转化为，解关于的一元二次不等式；
（3）设，由正弦函数图象知当，时，与有4个交点，故需与有2个交点，且交点横坐标，，根据（1）及二次函数图象可得，且.
【详解】（1）设，
则函数，所以
，即函数的值域为.
（2）不等式化简得，
解得或（舍）
解得（或者为）
（3）.
【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，三角不等式，属于难题.