【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-2.3《二次函数与一元二次方程、不等式》同步讲学案

2．3　二次函数与一元二次方程、不等式 知识点一　一元二次不等式的概念 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点四 解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； ②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； ③有根求根； ④根据图象写出不等式的解集. 知识点五 解分式不等式 (1)eq \f(fx,gx)>0⇔f(x)·g(x)>0； (2)eq \f(fx,gx)≤0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(fx·gx≤0，,gx≠0；)) (3)eq \f(fx,gx)≥a⇔eq \f(fx－agx,gx)≥0. 知识点六 一元二次不等式恒成立问题 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max； k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 题型一、解不含参数的一元二次不等式 1．解不等式： = 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴.  = 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵.  = 3 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑶.  = 4 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑷.  = 5 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑸  = 6 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑹；  = 7 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑺. 【详解】  = 1 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑴ 所以 ，即解集为.  = 2 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑵等价于等价于，解得：或，所以不等式的解集为；  = 3 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑶，， ， 所以原不等式的解集为.  = 4 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑷设函数，令，则，即函数的图象与x轴无公共点， 又二次函数图象开口向下，不等式恒成立， 所以不等式的解集是：R.  = 5 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑸因为，所以的解集为.  = 6 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑹，可得， ∴不等式解集为.  = 7 \* GB2 \* MERGEFORMAT ⑺原不等式造价变形为，即， 设函数，则函数的图象与x轴交点的横坐标为或， 又二次函数图象开口向上，由得：得或， 所以不等式的解集是：. 2．解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1)或；(2) 【详解】(1)因为， 所以方程有两个不等实根x1＝－1，x2＝－3. 所以原不等式的解集为或. (2)因为， 所以方程 有两个相等实根x1＝x2＝ 所以原不等式的解集为. 3．已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，即，解得，即， 又，所以； 故选：C 题型二、解含有参数的一元二次不等式 1．解关于的不等式： 【详解】方程的解为，， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 2．解关于的不等式：. 【详解】①当时，原不等式可化为：,可得不等式的解集为， ②当时，原不等式可化为：， 不等式的解集为：； ③当时，原不等式可化为：, 当时，不等式的解集为：, 当时，不等式的解集为：, 当时，不等式的解集为:. 3．解下列关于x的不等式 (1)； (2)； (3)； 【详解】(1)因为，即， 所以，解得 ∴原不等式的解集为. (2)因为， 若，即，解得或， 当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为； 当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为； 当，即，解得时，所以原不等式的解集为； 当，即，解得或时，方程有两不相等实数根、，由，解得或，所以原不等式的解集为； (3)因为，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 题型三、由一元二次不等式的解确定参数 1．不等式的解集为，则__________． 【答案】 【详解】由已知，关于的二次方程的两根分别为、，且， 所以，，解得. 故答案为：. 2．已知函数，的解集为或， (1)求a､b的值； (2)若对一切，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【详解】(1)∵的解集为或 ∴-2，b为方程的两个根 ∴，解得 (2)由（1）可知， ∴不等式在R上恒成立， 等价于在R上恒成立，即， ∴ ∴m的取值范围为 3．已知不等式的解集为，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由不等式的解集知：和是方程的两根，. 故选：A. 题型四、一元二次方程根的分布问题 1．方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【详解】的两个根都大于 ，解得 可求得实数的取值范围为 故答案为： 2．若一元二次方程的两根都是负数，求k的取值范围为___________. 【答案】 【详解】首先，设方程的两根为，则， 所以，又，解得． 故答案为：． 题型五、一元二次不等式与二次函数的关系 1．当时，请填下表： 【详解】 2．二次函数（）的部分对应值如下表： 则关于的不等式的解集为______. 【答案】（或） 【详解】代入，可得，再代入和，可得，得， 所以，解得. 故答案为：或 3．已知，设集合，若，求的取值范围. 【答案】. 【详解】因为，所以不等式有解； 即有解， 当时，不成立，所以不符合题意； 当时，，解集为，不符合题意； 当即或时，有解，符合题意； 当时，若不等式有解，则， 解得：或， 综上所述：的取值范围为. 题型六、解分式不等式 1．（1）. (2). (3)． (4). 【详解】（1）原不等式化为： 方程的2个解为， 根据函数的图像，可知：原不等式解集为. （2）由得，∴，解得， 故不等式的解集为. (3)依题意：,,,,解集为. (4)原不等式可变形为，即， 设函数，由得或，即函数的图象与x轴交点的横坐标为或， 又二次函数图象开口向上，由，且得：，所以不等式的解集是：. 2．解不等式： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)或；(2)；(3). 【详解】(1)由，可得， ∴，解得或， 所以原不等式的解集为或. (2)由可得，， ∴，解得， 所以原不等式的解集为. (3)，原不等式化为：，解得：， 所以的解集是. 3．解不等式： (1)；(2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】(1)由可得，即，解得， 所以不等式的解集为。 (2)由，可得，即 ，解得 或 所以的解集为。 题型七、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】当时，恒成立，符合题意； 当时，由题意有，解得， 综上，. 故选：B. 2．（多选）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（       ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为为真命题， 所以或， 所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对， 所以是命题“”为真命题充要条件，B错， 所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对， 所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错， 故选：AC 3．一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，一元二次不等式对一切实数恒成立则 ， 即，解得 故选：B 题型八、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 1．已知函数． (1)若不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)若不等式的解集是实数集，求的取值范围； (3)时，，求的取值集合． 【详解】(1)因为不等式的解集是实数集， 所以，对恒成立， 当a=0时，，不成立， 当时，，解得． 综上：的取值范围是． (2)因为不等式的解集是实数集， 所以不等式对恒成立 当a=0时，，不成立， 当时，，解得． 综上：的取值范围是． (3)因为时，， 则即解得． 若，时，恒成立，符合要求． 所以的取值集合是． 2．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】恒成立， 即，对任意得恒成立， 令，， 当时，，不符题意，故， 当时，函数在上递增， 则，解得或（舍去）， 当时，函数在上递减， 则，解得或（舍去）， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 3．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题“”为假命题，其否定为真命题， 即“”为真命题． 令， 则，即，解得， 所以实数x的取值范围为. 故选：C 题型九、一元二次不等式在某区间上有解问题 1．已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，，即 ， 故问题转化为在上有解， 设，则，， 对于 ，当且仅当时取等号， 则，故 ， 故选：A 2．关于的不等式在内有解，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】在内有解，，其中； 设，则当时，， ，解得：，的取值范围为. 故答案为：. 3．设二次函数． （1）若方程有实根，则实数的取值范围是______； （2）若不等式的解集为，则实数的取值范围是______； （3）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是______． 【答案】     或.          【详解】对于（1），因为方程有实根，故，解得或. 对于（2），因为不等式的解集为，故，解得. 对于（3），不等式的解集为R，故，故. 题型十、一元二次不等式的应用 1．某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，得，即，∴，解得．又每盏的最低售价为15元，∴． 故选：B． 2．某学校欲在广场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米. (1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值； (2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值. 【详解】(1)设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为200平方米，得， 因为矩形草坪的长比宽至少多10米， 所以，又， 所以，解得， 所以宽的最大值为10米； (2)记整个绿化面积为S平方米，由题意得， ，当且仅当米时，等号成立，所以整个绿化面积的最小值为平方米 1．“”是“”的（       ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【详解】由，可得或 则由“”可以得到“”； 由“” 不能得到“” 则“”是“”的充分非必要条件 故选：A 2．求下列关于的不等式的解集： (1)； (2) 【详解】(1)由得，解得或， 故不等式的解集为或. (2)当时，原不等式即为，该不等式的解集为； 当时，，原不等式即为. ①若，则，原不等式的解集为或； ②若，则，原不等式的解集为或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 3．解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】(1)由题，即，解得或，即； (2)由题，解得或，即 4．求下列不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】(1)不等式等价于，解得. ∴不等式的解集为. (2)不等式等价于，解得或. ∴不等式的解集为. 5．解不等式： (1)； (2). 【答案】(1)；(2). 【详解】(1)不等式，可化为，解得或， 不等式的解集为； (2)不等式，可化为， 等价于，解得， 不等式的解集为. 6．若，解关于的不等式． 【答案】 【详解】原不等式等价于， 因，则，即，于是解得：， 所以原不等式的解集为. 7．已知函数，的解集为． (1)求的解析式； (2)当时，求的最大值． 【答案】(1)；(2) 【详解】(1)因为函数，的解集为， 那么方程的两个根是，，且， 由韦达定理有    所以． (2)， 由，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当时取等号， ∴当时，． 8．若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1， 设，根据二次函数的性质，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 9．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】当时，不等式为，满足题意； 当，需满足，解得， 综上可得，的取值范围为， 故答案为：. 10．若命题“关于的不等式的解集为R”是真命题，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【详解】因为命题“关于的不等式的解集为R”是真命题， 所以，解得，即. 故答案为： 11．若对于任意，都有成立，则实数m的取值范围是（          ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得对于恒成立，即 解得:. 故选：B. 12．“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，则要满足，解得：， 因为，但 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 13．若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即函数的最小值小于0即可，， 故，解得： 故选：D 1．（1）解关于的不等式组：； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）解集为；（2）或. 【详解】（1）由可得， 所以不等式的解集为或. 因为方程的，所以不等式的解集为， 所以原不等式组的解集为； （2）由得，等价于， 所以，，解得或. 故原不等式的解集为或. 2．解下列关于x的不等式： (1)； (2)（）. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【详解】(1)由，得，即 则且，解得： (2)当时，原不等式，解的； 当时，原不等式，又 所以解集为； 当时，因为 所以解集为. 综上有，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 3．已知命题和命题，则p是q的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】命题即 命题即，所以，p是q的充分不必要条件 故选：A 4．已知函数 (1)若不等式的解集为空集，求m的取值范围 (2)若，的解集为，的最大值 【答案】(1)；(2) 【详解】(1)由题意，函数， 不等式的解集为空集等价于恒成立， 即，解得， 即m的取值范围为． (2)若，的解集为，所以有两个不同实根， 即是方程的两个实根，故，， 故同为负值， 则， 当且仅当时，即，时等号成立， 故的最大值为． 5．已知关于的方程的两个实根、，满足，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【详解】不妨令，其对称轴为，且的图像开口向上， 因为的两个实根、，满足， 所以，解得. 故实数的取值范围为. 故答案为：. 6．已知一元二次方程有一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【详解】令函数，则其图象开口向上，顶点坐标为，对称轴是，若二次函数有两个零点，则必有一个零点小于0，即小于1， 要使另一个零点比1大，则需满足，解得，即时，二次方程有一个根比1大，另一个根比1小.所以满足题意的实数a的取值范围是. 故答案为：． 7．若不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【详解】当时，不等式为满足题意； 当时，需满足，解得 综上可得，a的取值范围为， 故答案为： 8．若关于x的不等式的解集为R，求a的取值范围. 【答案】 【详解】关于的不等式的解集为. 当时，原不等式为，该不等式在上恒成立； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 9．已知命题p：“，”为真命题，则实数a的最大值是___． 【答案】 【详解】由题意，，恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即a的最大值是． 故答案为：. 10．若不等式对一切都成立，则a的最小值为（       ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】记， 要使不等式对一切都成立，则： 或或 解得或或，即. 故选：D 11．当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】． 【详解】由题意不等式对恒成立， 可设，， 则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是． 12．已知函数，若时，恒成立，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【详解】由题意，当时，恒成立， 等价于当时，恒成立， 进一步等价于，等价于， 设，， 由勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又当时，当时， ，， 故答案为：． 13．若时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【详解】对于任意的，不等式，即， 因此，对于任意的，恒成立， 当时，，，当且仅当，即时取“=”， 即当时，取得最小值4，则， 所以实数的取值范围是. 14．已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（       ） A． B． C．） D． 【答案】D 【详解】由题意，命题“，”是真命题 故，解得或. 则实数的取值范围是 故选：D. 15．已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】命题p：“，”，即， 设，对勾函数在时取得最小值为4，在时取得最大值为，故， 故选：B． 16．若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】存在，不等式成立， 则，能成立， 即对于，成立， 令，， 则，令， 所以当，单调递增， 当，单调递减， 又，所以， 所以. 故选：C 17．若，使成立，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【详解】由可得，， 因为，所以，根据题意，即可， 设，易知在单调递减，在单调递增， 所以， 所以， 故答案为： 18．若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 【解答】当时，不等式为有解，故，满足题意； 当时，若不等式有解， 则满足，解得或； 当时，此时对应的函数的图象开口向下，此时不等式总是有解， 所以， 综上可得，实数a的取值范围是. 19．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题意可知，不等式在上有解， ∴， ∴实数的取值范围为， 故答案为： 20．当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】不等式有解即不等式有解， 令，当时，， 因为当时，不等式有解，所以，实数的取值范围是. 故答案为： 21．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的，则V的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】第一次稀释后，药液浓度为， 第二次稀释后，药液浓度为， 依题意有，即，解得， 又，即，所以. 故选：B 22．某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为，已知此生产线年产量最大为220吨． （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本； （2）经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为40万元，且最大利润不超过1660万元，由该生产线年产量的最大值应为多少？ 【详解】（1）设每吨的平均成本为W， 则W= 当且仅当，即x=200（吨）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元． （2）由题意得， ， 解得，x≥230或x≤210 ∵00，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|xx2}eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1