【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题20《充分条件与必要条件》讲学案

充分条件与必要条件

一、充分条件、必要条件、充要条件的概念

1. 符号与的含义

“若，则”为真命题，记作：；

“若，则”为假命题，记作：.

2. 充分条件、必要条件与充要条件

①若，称是的充分条件，是的必要条件.

②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.

PS：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.

①“若，则”为真命题；

②是的充分条件；

③是的必要条件

以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.

二、充分条件、必要条件与充要条件的判断

从逻辑推理关系看

命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系

①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；

②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；

③若，且，即，则、互为充要条件；

④若，且，则是的既不充分也不必要条件.

从集合与集合间的关系看

若p：x∈A，q：x∈B，

①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；

②若A是B的 真子集，则是的充分不必要条件；

③若A=B，则、互为充要条件；

④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.

PS：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：

①确定哪是条件，哪是结论；

②尝试用条件推结论，

③再尝试用结论推条件，

④最后判断条件是结论的什么条件.

三、充要条件的证明

要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）

对于命题“若，则”

①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；

②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；

③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.

例1：若: ， : ，则是的什么条件？

解：∵: 或, :

∴且,∴是的必要不充分条件．

例2：已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，则p是q的（     ）

A充分不必要条件    B必要不充分条件

C充要条件          D既不充分也不必要条件

【解析】q：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q：-1<x<3.　

如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，

从图中看PQ， pq，但qp，所以选择（A）.

例3：设x、y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.

【解析】

（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，

于是|x+y|=|x|+|y|

如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，

当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.

当x＜0，y＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.

总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.

（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，

即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，

∴xy≥0.

综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0．

例4：已知若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.

【答案】

【解析】由解得，

又由解得，

p是q的充分不必要条件，所以

或

解得．

巩固练习

一、单选题

1．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（       ）

A． B．

C．  D．

2．“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

4．“关于x的不等式ax2+ax-1<0的解集为R”的一个必要不充分条件是（       ）

A．-4≤a≤0 B．-4<a≤0

C．-4≤a<0 D．-4<a<0

二、多选题

5．使成立的一个充分条件可以是（       ）

A． B．

C． D．

6．一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（       ）

A． B．

C． D．

7．下列叙述中正确的是（       ）

A．，若二次方程无实根，则

B．若，则“”的充要条件是“”

C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

D．“”是“”的充分不必要条件

8．设全集，则下面四个命题中是“”的充要条件的命题是（       ）

A． B． C． D．

三、填空题

9．若“”是““的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____.

10．已知，且q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________．

11．下列不等式：

①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.

其中可以作为“x2<1”的一个充分条件的所有序号为________．

12．命题p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）是命题q：x2+3x﹣4＜0成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为____.

四、解答题

13．已知,,若是的必要不充分条件,求实数的取值范围.

14．已知集合，集合.

(1)若；求实数m的取值范围；

(2)命题，命题，若p是q的充分条件，求实数m的取值集合.

15．已知A＝{x|x2﹣6x+8≤0}，B＝{x| ≥0}，C＝{x|x2﹣mx+6＜0}且“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

16．已知P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．

（1）若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围；

（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

17．已知全集为，集合，.

（1）若，求实数a的取值范围；

（2）从下面所给的三个条件中选择一个，说明它是的什么条件（充分必要性）.

①；②；③.

18．判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，如果是，写出这些命题的否定，并说明这否定的真假，不必证明；如果不是全称量词命题和存在量词命题，则不用写出否命题，只需判断合题真假，并给出证明.

（1）存在实数x，使得；

（2）有些三角形是等边三角形；

（3）方程的每一个根都不是奇数.

（4）若，则的充要条件是.