【暑假初高衔接】初三数学暑假预习-专题21《全称量词与存在量词》讲学案

全称量词与存在量词

一、全称量词与全称命题

全称量词

全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.

常见全称量词：“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.通常用符号“”表示，读作“对任意”.

全称命题

全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题.

一般形式：“对中任意一个，有成立”，

记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.

PS：有些全称命题在文字叙述上可能会省略了全称量词，例如：（1）“末位是0的整数，可以被5整除”；（2）“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”；（3）“负数的平方是正数”；都是全称命题.

要点二、存在量词与特称命题

存在量词

定义：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.

常见存在量词：“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.通常用符号“ ”表示，读作“存在 ”.

特称命题

特称命题：含有存在量词的命题，叫做特称命题.

一般形式：“存在中一个元素，有成立”，

记作：，（其中为给定的集合，是关于的语句）.

（1）一个特称命题中也可以包含多个变量，例如：存在使.

（2）有些特称命题也可能省略了存在量词.

（3）同一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述

要点三、 含有量词的命题的否定

对含有一个量词的全称命题的否定

全称命题：，

的否定：，；

从一般形式来看，全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”，它的否定并不是简单地对结论部分p(x)进行否定，还需对全称量词进行否定，使之成为存在量词，也即“任意”的否定为“，”.

对含有一个量词的特称命题的否定 

特称命题：，

的否定：，；

从一般形式来看，特称命题“，”，它的否定并不是简单地对结论部分进行否定，还需对存在量词进行否定，使之成为全称量词，也即“，”的否定为“，”.

PS：

(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；

(2)命题的否定与命题的否命题是不同的. 

（3）正面词：等于、大于、小于、是、都是、至少一个、至多一个、小于等于；

否定词：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、 一个也没有、 至少两个 、 大于等于.

要点四、全称命题和特称命题的真假判断

①要判定全称命题“，”是真命题，必须对集合M中的每一个元素x，证明成立；要判定全称命题“，”是假命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得不成立，即举一反例即可.

②要判定特称命题“，”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使得成立即可；要判定特称命题“，”是假命题，必须证明在集合M中，使 成立得元素不存在.

例1：判断下列命题是全称命题还是特称命题.

（1）xR，x2+1≥1；

（2）所有素数都是奇数；

（3）有些整数只有两个正因数.

【解析】

（1）有全称量词“任意”，是全称命题；

（2）有全称量词“所有”，是全称命题；

（3）有存在量词“有些”；是特称命题。

例2：写出下列命题的否定并判断真假

（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；

（2）p：每一个非负数的平方都是正数；

（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于；

【解析】（1）存在未位数字是0或5的整数但它不能被5整除，假命题；

（2）存在一个非负数的平方它不是正数，真命题；

（3）任何一个三角形它的内角和都不大于180°，真命题；

例3：已知，，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

【解析】，

q:x2-2x+1-m2≤0[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0，

又∵m>0，

∴不等式的解为1-m≤x≤1+m，

∵是的必要而不充分条件”的等价命题即逆否命题为“p是q的充分不必要条件”，

∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)的解集的子集，

，

∴实数m的取值范围是.

巩固练习

一、单选题

1．下列语句不是全称量词命题的是（       ）

A．任何一个实数乘以零都等于零

B．自然数都是正整数

C．高一(一)班绝大多数同学是团员

D．每一个实数都有大小

【答案】C

【解析】

由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句，如果含有存在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案进行分析，即可得到答案．

【详解】

A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；

B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；

C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；

D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．

故选：C.

【点睛】

本题考查的知识点是全称命题和特称命题的定义，熟练掌握全称命题和特称命题的定义是解答本题的关键．

2．设，命题“存在，使方程有实根”的否定是（       ）

A．对，方程无实根 B．对，方程有实根

C．对，方程无实根 D．对，方程有实根

【答案】A

【解析】

【分析】

只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.

【详解】

由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是

对，方程无实根

故选：A

3．设命题，则的否定为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由特称命题的否定可直接得到结果.

【详解】

命题，则的否定为：.

故选：B

【点睛】

全称量词命题的否定是特称（存在）量词命题，特称（存在）量词命题的否定是全称量词命题．

4．下列结论中，错误的是（       ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．已知命题，则

C．若复合命题是假命题，则都是假命题

D．命题“若，则的逆否命题“若，则

【答案】C

【解析】

对A，可利用子集法确定；对B,D直接利用定义；对C，根据复合命题的真假判断；

【详解】

对A， 或，所以“”“”，反之不成立，故A正确；

对B，D都是可以直接判断为正确的.

对C，复合命题假，只需至少有一假就可以了，所以C错误.

故选：C.

二、多选题

5．已知下列说法：

①命题“，”的否定是“，”；

②命题“，，”的否定是“，，”；

③“”是“”的充分不必要条件；

④命题：对任意，总有.

其中说法错误的是（       ）

A．① B．② C．③ D．④

【答案】ACD

【解析】

【分析】

①根据特称命题的否定是全称命题即可判断；②根据全称命题的否定是特称命题即可判断；③根据必要条件和充分条件的概念即可判断；④判断命题的真假.

【详解】

对于①，命题“，”的否定是“，”，故错误；

对于②，命题“，，”的否定是“，，”，正确；

对于③，“”是“”的必要不充分条件，故错误；

对于④，当时，故错误.

故选：ACD.

6．下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有

A．

B．所有的正方形都是矩形

C．

D．至少有一个实数，使

【答案】AC

【解析】

【分析】

通过原命题的否定为全称量词命题且为真命题，确定原命题是特称量词命题且为假命题，根据此结论逐项分析.

【详解】

由条件可知：原命题为特称量词命题且为假命题，所以排除BD；

又因为，，所以AC均为假命题，

故选AC.

【点睛】

（1）含一个量词的命题的否定方法：改变量词，否定结论；

（2）常见的：含有全部、都、所有等词时，对应的是全称命题；含有存在、有一个等词对应的是特称命题.

7．下列说法中正确的个数是（       ）

A．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；

B．命题“”是全称量词命题；

C．命题“，”是存在量词命题．

D．命题“不论取何实数，方程必有实数根”是真命题；

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据存在量词命题和全称量词命题的定义判断ABC，根据判别式判断D.

【详解】

A中命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题,故A错误；

B中命题“ ”是全称量词命题,故B正确；

C中命题“,”是存在量词命题,故C正确；

D中选项中当时，即当时，方程没有实数根,因此，此命题为假命题.

故选：BC

8．使“”成立的必要不充分条件是（       ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】BCD

【解析】

根据不等式的关系结合必要不充分条件分别进行判断即可．

【详解】

解：若，，则，

，

，即，则不一定成立；故错误，

若，当，，，有成立，反之不一定成立；故满足条件．

，由得，

，，即

则成立，故满足条件，

若，当，，，有成立，反之不一定成立；故满足条件．

故选：BCD．

【点睛】

本题主要考查充分条件与必要条件，属于基础题．

三、填空题

9．命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是__________．

【答案】存在一个无理数，它的平方不是有理数

【解析】

【分析】

根据全称命题的否定形式，即可求解结论.

【详解】

存在一个无理数，它的平方不是有理数，

全称性命题的否定是先改变量词，然后否定结论，

故所求的否定是“存在一个无理数，它的平方不是有理数”．

故答案为：存在一个无理数，它的平方不是有理数

【点睛】

本题考查命题的否定形式，要注意量词之间的转化，属于基础题.

10．已知命题，.若为假命题，则的取值范围为___________

【答案】

【解析】

【分析】

首先写出命题的否命题，根据为假命题即可得出为真命题即可求出的取值范围.

【详解】

为假命题

为真命题，故

在 的最小值为

∴

故答案为：

11．已知命题“”是假命题，则实数m的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

求得原命题的否定，根据其为真命题，即可结合二次不等式恒成求得参数范围

【详解】

若命题“”是假命题，则“”为真命题，

显然时，不满足题意，

故只需满足，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据含量词命题的真假求参数范围的问题，涉及二次不等式在上恒成立求参数的问题，属综合基础题.

12．若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意可知，命题“，使得成立”是真命题，可得出，结合基本不等式可解得实数的取值范围．

【详解】

若命题“，使得成立”是假命题，

则有“，使得成立”是真命题.

即，则，

又，当且仅当时取等号，故．

故答案为：

四、解答题

13．已知命题p：，命题q：.

（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；

（3）若命题p、q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）或；（3）或.

【解析】

（1）p为真命题，可得判别式；

（2）q为真命题，可得判别式；

（3）m的范围为（1）和（2）中m的并集.

【详解】

（1）若命题p：为真命题，

则，

解得.

（2）若命题q：为真命题，

则，

解得或.

（3）若命题p、q至少有一个为真命题，

则，或，或，

∴或.

14．已知集合

（1）若，求实数m的取值范围.

（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；

（2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案

【详解】

解：（1）①当B为空集时，成立.

②当B不是空集时，∵，，∴

综上①②，.

（2），使得，∴B为非空集合且.

当时，无解或，，

∴.

15．选择合适的量词、，加在的前面，使其成为一个真命题：

（1）；

（2）；

（3）是偶数；

（4）若x是无理数，则是无理数；

（5）这是含有三个变量的语句，用表示

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】

根据勾股定理等知识，用全称量词和存在量词改写命题，使其成为真命题即可.

【详解】

（1），.

（2），；，都是真命题.

（3），x是偶数；

（4），若x是无理数，则是无理数；例如.

（5），b，，有.

【点睛】

本题主要考查了用全称量词和存在量词改写命题，属于中档题.

16．设命题对任意，不等式恒成立；命题q：存在，使得不等式成立.

（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）（2）或

【解析】

【分析】

（1）命题为真，只需，根据一次函数的单调性，转化为求关于的一元二次不等式；

（2）命题为真，只需，根据二次函数的性质，求出的范围，依题意求出真假，和假真时，实数m的取值范围.

【详解】

（1）对于命题p：对任意，不等式恒成立，

而，有，，，

所以p为真时，实数m的取值范围是；

（2）命题q：存在，使得不等式成立，

只需，而，，，，

即命题q为真时，实数m的取值范围是，

依题意命题一真一假，

若p为假命题， q为真命题，则，得；

若q为假命题， p为真命题，则，得，

综上，或.

【点睛】

本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题.

17．已知集合，

（1）若命题是真命题，求m的取值范围；

（2）命题是真命题，求m的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）由命题是真命题得，再根据集合关系求解即可；

（2）由命题是真命题得，故，进而得，再根据集合关系求解即可得答案.

【详解】

解：（1）因为命题是真命题，所以，

当时，，解得；

当时，，解得.

综上，m的取值范围为.

（2）因为是真命题，所以，

所以，即，所以，

所以只需满足即可，即.

故m的取值范围为.

【点睛】

本题考查根据命题真假求参数取值范围，解题的关键在于将命题关系转化为集合关系，考查化归转化思想，是中档题.

18．设证明:的充要条件是.

【答案】见解析

【解析】

分别证明充分性与必要性即可.

【详解】

证明:(1)充分性:如果,

那么,

.

(2)必要性:如果,

那么,

,.

由(1)(2)知,的充要条件是.

【点睛】

本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.