数学八年级上册第十二章 全等三角形12.3 角的平分线的性质教学ppt课件

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12.3 角的平分线的性质 (第2课时)
理解角平分线的判定定理.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF，∠EDB= 60°，则∠EBF= °，BE= .
2. 角的平分线的性质，写出推理形式。
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等：三条件：1.角的平分线；2.点在该平分线上；3.垂直线段长度距.
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥OA于D,PE⊥OB于E，
思考：类比平行线的判定与性质，怎样判定一个点在角的平分线上？
问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
猜想：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
证明：几何命题证明要经过那些步骤 ？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的平分线上.
∴点P在∠AOB 的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）
判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上两相条件：1.位置关系：点在角的内部；2.数量关系：该点到角两边的距离相等定理作用：判断点是否在角平分线上
∵ PD⊥OA于D,PE⊥OB于E， PD = PE.
∴ OP 是∠AOB的平分线，
例1.如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵ DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴ ∠DEB＝∠DFC＝90°. 在△BDE和△CDF中， ∠BDE＝∠CDF ∠DEB＝∠DFC BE＝CF ∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴ DE＝DF.又 ∵ DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴ AD平分∠BAC.
例2.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴ PD=PE.同理 PE=PF.∴ PD=PE=PF即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
在△ABC的中，角平分线BM，CN相交于点P∵ PD⊥AB 于D, PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∴ PD=PE=PF，
1.如图，△ABC求作：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：如图，过点P分别作PF，PG，PH垂直于直线 AC，AB，BC，垂足分别为F，G，H. ∵ BD是△ABC的∠ABC的外角的平分线，点 P在BD上， ∴ PG＝PH(角的平分线上 的点到角的两边的距离相等)． 同理PF＝PH， ∴ PG＝PH＝PF，即点P到三边AB，BC，CA 所在直线的距离相等．
例2 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与 ∠ACB的外角的平分线CE相 交于点P.求证：点P到 三边AB，BC，CA所在直线的距离相等.
角平分线的 判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
判断一个点是否在角的平分线上
三角形的角平分线相交于内部一点，该点到三角形三边的距离相等
1.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是(　　) A．点M B．点N C．点P D．点Q
2. 如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(　　) A．AF平分BC B．AF平分∠BAC C．AF⊥BC D．以上结论都正确
3. 如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ______________.
4. 已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.
证明：∵OD平分线∠POQ，∴∠AOD=∠BOD.在△AOD与△BOD中，∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，∴△AOD≌△BOD.∴∠ADO=∠BDO.∵CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM=CN.
5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.