新教材数学苏教版必修第一册第1章 1.2 第2课时　全集、补集 课件

第2课时　全集、补集

知识点1　补集

(1)定义：设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为∁SA(读作“A在S中的补集”)．

(2)符号表示

∁SA＝{x|x∈S，且xA}．

(3)图形表示：

(4)补集的性质

①∁S∅＝S，②∁SS＝∅，③∁S(∁SA)＝A．

知识点2　全集

如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U．

两个不同的集合A、B在同一个全集U中的补集可能相等吗？

[提示]　不可能相等．因为集合A、B是两个不同的集合，所以必定存在元素在集合A的补集中，但不在集合B的补集中．

补集符号∁SA有三层含义：

(1)A是S的一个子集，即A⊆S；

(2)∁SA表示一个集合，且∁SA⊆S；

(3)∁SA是S中所有不属于A的元素构成的集合．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)全集一定含有任何元素．               (　　)

(2)集合∁RA＝∁QA．               (　　)

(3)一个集合的补集一定含有元素． (　　)

(4)研究A在S中的补集时，A可以不是S的子集． (　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．已知全集U＝{－1,0,1}，且∁UA＝{0}，则A＝(　　)

A．{－1,1}　　　　　　 B．{－1,0,1}

C．{0,1}     D．{－1,0}

A　[∵U＝{－1,0,1}，∁UA＝{0}，∴A＝{－1,1}．]

3．若集合A＝{x|x>1}，则∁RA＝________．

{x|x≤1}　[∵A＝{x|x>1}，∴∁RA＝{x|x≤1}．]

类型1　全集与补集

【例1】　(1)已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________．

(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁UA＝________．

(1){2,3,5,7}　(2){x|x<－3或x＝5}　[(1)A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，

∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，

∴B＝{2,3,5,7}．

(2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．

由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3或x＝5}．]

常见补集的求解方法

1列举求解.适用于全集U和集合A可以列举的简单集合.

2画数轴求解.适用于全集U和集合A是不等式的解集.

3利用Venn图求解.

1．(1)若全集U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，则∁UA等于(　　)

A．{x|0<x<2}　　　　　 B．{x|0≤x<2}

C．{x|0<x≤2}     D．{x|0≤x≤2}

(2)设全集U＝{1,2,6,8,9}，集合A＝{1，|a－6|,9}，∁UA＝{6,8}，则a的值是(　　)

A．4   B．8

C．－4或8   D．4或8

(1)C　(2)D　[(1)∵U＝{x|－2≤x≤2}，A＝{x|－2≤x≤0}，

∴∁UA＝{x|0<x≤2}，故选C．

(2)A＝∁U(∁UA)＝{1,2,9}＝{1，|a－6|,9}，

∴|a－6|＝2，解得a＝4或8，故选D．]

类型2　补集与子集的综合应用

【例2】　已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|a＋1≤x≤2a－1}且A⊆∁UB，求实数a的取值范围．

[思路点拨]　首先应对B是否为空集进行讨论，得出∁UB，然后再利用A⊆∁UB得关于a的不等式求解即可．

[解]　若B＝∅，则a＋1>2a－1，所以a<2．

此时∁UB＝R，所以A⊆∁UB；

若B≠∅，则a＋1≤2a－1，即a≥2，

此时∁UB＝{x|x<a＋1，或x>2a－1}，

由于A⊆∁UB，如图，

则a＋1>5，所以a>4，

所以实数a的取值范围为a<2或a>4．

[母题探究]

(变条件)若将本例中的“A⊆∁UB”改为“B⊆∁UA”，求实数a的取值范围．

[解]　∁UA＝{x|x<－2或x>5}．

因为B⊆∁UA，

当a＋1>2a－1，即a<2时，B＝∅，B⊆∁UA．

当a＋1≤2a－1，即a≥2时，B≠∅．

所以2a－1<－2或a＋1>5，

即a>4，

综上，a的取值范围为a<2或a>4．

1．解决此类问题应注意以下几点

(1)空集作为特殊情况，不能忽略；

(2)数形结合方法更加直观易懂，尽量使用；

(3)端点值能否取到，应注意分析．

2．U是由集合A与∁UA的全体元素所构成，对于某一个元素a，a∈A与a∈∁UA中恰好只有一个成立，即集合中的元素具有确定性．

2．全集U＝R，A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}．

(1)求∁UA，∁UB；

(2)若集合C＝{x|x>a}，A⊆C，求a的取值范围．

[解]　(1)因为A＝{x|3≤x<10}，B＝{x|2<x≤7}，

所以借助于数轴知∁UA＝{x|x<3，或x≥10}，

∁UB＝{x|x≤2，或x>7}．

(2)要使A⊆C，只需a<3即可．

所以a的取值范围为{a|a<3}．

1．设全集为U，M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，则U等于(　　)

A．{0,2,4,6} B．{0,2,4}

C．{6}      D．∅

A　[∵M＝{0,2,4}，∁UM＝{6}，

∴U＝{0,2,4,6}，故选A．]

2．(多选题)设集合S＝{x|x>－2}，集合A⊆∁RS，则集合A中的元素可能是(　　)

A．－2　　　　B．2　　　　C．－3　　　　D．3

AC　[因为S＝{x|x>－2}，

所以∁RS＝{x|x≤－2}，故选AC．]

3．已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}．用列举法表示集合∁SA＝________．

{(0,0)}　[∁SA＝{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}．]

4．已知集合A＝{x|3≤x≤7，x∈N}，B＝{x|4<x≤7，x∈N}，则∁AB＝________．

{3,4}　[由题意知A＝{3,4,5,6,7}，B＝{5,6,7}，∴∁AB＝{3,4}．]

5．已知U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2，m}，且∁UA＝{1,3,5}，则m＝________．

4　[由已知m∈U，且m∁UA，故m＝2或4．又A＝{2，m}，由元素的互异性知m≠2，故m＝4．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．求集合的补集前提是什么？同一集合在不同全集下的补集相同吗？

[提示]　求集合的补集前提是必须明确全集．同一集合在不同全集下的补集不同．

2．本节课主要学习哪些内容？通过内容的学习，哪些核心素养有所提高？

[提示]　补集和全集的概念及运算．数学运算．

3．本节课主要运用了哪些数学方法？你认为哪些地方易出错？

[提示]　数形结合．求补集时忽视全集，求参数时忽视端点的取舍．