高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第1章 集合本章综合与测试课时训练

本章达标检测

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.若集合U={1,2,3,4},M={2,3},则∁UM=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.{1,4} B.{1,3} C.{2,3} D.{3,4}

2.若集合A={0,2,3},则满足{0}⊆M⊆A的集合M共有(　　)

A.3个 B.4个 C.6个 D.8个

3.某校运动会上,高一(1)班共有28名同学参加比赛,其中15人参加游泳比赛,8人参加田径比赛,14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有2人,没有人同时参加三项比赛,则同时参加田径比赛和球类比赛的人数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

4.下列表示中正确的个数是(　　)

①0∉⌀;②⌀⊆{1,2};③={3,4};④若A⊆B,则A∩B=A.

A.0 B.1 C.2 D.3

5.若集合A=,集合B={x||x|≤5,x∈Z},则集合A∪B中的元素个数为(　　)

A.11 B.13 C.15 D.17

6.设集合A={x|x<2或x≥4},集合B={x|x<a},若(∁RA)∩B≠⌀,则a的取值范围是(　　)

A.a<2 B.a>2 C.a≤2 D.a≥2

7.设集合M={x|x-m<0},N={y|y=(x-1)2-1,x∈R},若M∩N=⌀,则实数m的取值范围是(　　)

A.m≥-1 B.m>-1

C.m≤-1 D.m<-1

8.用C(A)表示非空集合A中的元素的个数,定义A*B=|C(A)-C(B)|,若A={-1,1},B={x|(ax2+3x)·(x2+ax+2)=0},设实数a的所有可能取值构成集合S,若A*B=1,则C(S)=(　　)

A.1 B.2 C.3 D.5

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.

在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.已知集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x≤a},若A∩B=⌀,则实数a的取值集合可以为(　　)

A.{a|a<2} B.{a|a<-1}

C.{a|a≤-1} D.{a|a<-2}

10.若A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是(　　)

A.{1,8} B.{2,3} C.{1} D.{2}

11.若集合P={1,2,3},Q={x|2≤x≤3},则下列结论中正确的有(　　)

A.P⊆Q B.P∩Q=P

C.(P∩Q)⊆P D.(∁RQ)∩P={1}

12.若集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},则使A∪B=A的实数m的取值范围可以是(　　)

A.{m|-3≤m≤4} B.{m|-3<m<4}  C.{m|2<m<4} D.{m|m≤4}

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答

案填在题中横线上)

13.若集合A=,则集合A的子集的个数是　　　. 

14.已知集合A={1,a2,4},B={2a,0},若A∩B≠⌀,则实数a的值为　　　　. 

15.已知集合U={1,2,…,n},n∈N*,设集合A同时满足下列三个条件:①A⊆U;②若x∈A,则2x∉A;③若x∈∁UA,则2x∉∁UA.

(1)当n=4时,满足条件的集合A可以是　　　　(写出一个即可). 

(2)当n=7时,满足条件的集合A的个数为　　　　. 

16.设P1P2P3…P8是平面直角坐标系中的一个正八边形,点Pi的坐标为(xi,yi)(i=1,2,…,8),若集合A={y|存在i∈{1,2,…,8},使得y=yi},则集合A中元素的个数可能为　　　　(写出所有可能的值). 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知集合A={x|-1<x<4},集合B={x|-1≤x≤3}.

(1)求集合A∩B,A∪B;

(2)设集合C={x|m≤x≤m+2},若C∩(A∪B)=C,求实数m的取值范围.

18.(本小题满分12分)已知集合A={x|x2-3x-10=0},B={x|x<-1或x>5},C={a≤x≤a+3}.

(1)求A∪B;

(2)若B∩C=⌀,求实数a的取值范围.

19.(本小题满分12分)已知集合A={x|-2<x<4},集合B={x|m-1<x<2m+1}.

(1)当m=2时,求A∪B;

(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.

20.(本小题满分12分)已知集合A={x|x2+x-2=0},集合B={x|x2+ax+a+3=0},若A∩B=B,求实数a的取值集合.

21.(本小题满分12分)设集合A={x|-2<x<4},集合B={x|x2-3ax+2a2=0}.

(1)求使A∩B=B的实数a的取值范围;

(2)是否存在实数a,使A∩B≠⌀成立?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分12分)已知集合P中元素的个数为3n(n∈N*),且元素均为正整数,将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A,B,C,即P=A∪B∪C,A∩B=⌀,A∩C=⌀,B∩C=⌀,其中A={a1,a2,…,an},B={b1,b2,…,bn},C={c1,c2,...cn},若集合A,B,C中的元素满足c1<c2<…<cn,ak+bk=ck,k=1,2,…,n,则称集合P为“完美集合”.

(1)若集合P={1,2,3},Q={1,2,3,4,5,6},判断集合P和集合Q是不是“完美集合”,并说明理由;

(2)已知集合P={1,x,3,4,5,6}为“完美集合”,求正整数x的值.

答案全解全析

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一、单项选择题

1.A　因为U={1,2,3,4},M={2,3},所以∁UM={1,4}.故选A.

2.B　因为A={0,2,3},{0}⊆M⊆A,所以M={0}或M={0,2}或M={0,3}或M={0,2,3}.共4个.故选B.

3.D　由题意画出Venn图(如图所示):

只参加游泳比赛的人数为15-3-2=10,同时参加田径和球类比赛的人数为8+14-(28-10)=4.

4.D　①元素与空集的关系是不属于,正确;②空集是任一集合的子集,正确;③集合前后不相等,一个是由方程的根构成的集合,只有一个元素,一个是由两个实数构成的集合,故不正确;④根据集合子集的概念知,若A⊆B,则A∩B=A,正确.故正确的个数是3,故选D.

5.C　集合A=={4,5,6,7,8,9},

B={x||x|≤5,x∈Z}={-5,-4,-3,-2,…,5},

故A∪B={-5,-4,-3,-2,…,9},所以集合A∪B中的元素个数为15.

6.B　由集合A={x|x<2或x≥4},得∁RA={x|2≤x<4},

又集合B={x|x<a}且(∁RA)∩B≠⌀,则a>2.

7.C　因为M={x|x-m<0},N={y|y=(x-1)2-1,x∈R},

所以M=(-∞,m),N=[-1,+∞),

又因为M∩N=⌀,所以m≤-1.

8.D　因为A={-1,1},有两个元素,A*B=1,所以B中有一个或者三个元素.

当B中有一个元素时,(ax2+3x)·(x2+ax+2)=0有一个解,可得a=0.

当B中有3个元素时,(ax2+3x)·(x2+ax+2)=0有三个不同的解,其中x1=0,x2=-.

当x2+ax+2=0有两个相等的实数时,Δ=a2-8=0,可得a=±2;

当x2+ax+2=0有两个不等的实数根且其中一个为0或者-时也满足条件,

此时x3=,显然x3,x4不等于0,

所以或者,

解得a=3或a=-3.

综上所述,a的取值集合为{0,2,-3,3},所以C(S)=5.

二、多项选择题

9.BD　如图所示,

要使A∩B=⌀,则a<-1,所以满足条件的集合是{a|a<-1}的子集,只有B,D符合.

10.AC　∵A⊆B,A⊆C,∴A⊆(B∩C),

∵B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},

∴B∩C={1,8},∴A⊆{1,8},

结合选项可知A,C满足题意.

11.CD　对于选项A,集合P中的元素1∉Q,故A错误;对于选项B,P∩Q={2,3},故B错误;对于选项C,因为P∩Q={2,3},P={1,2,3},显然(P∩Q)⊆P,故C正确;对于选项D,∁RQ={x|x<2或x>3},(∁RQ)∩P={1},故D正确.故选CD.

12.ABCD　∵A∪B=A,∴B⊆A.

①若B不为空集,则m+1<2m-1,解得m>2.

∵A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},

∴m+1≥-2,且2m-1≤7,解得-3≤m≤4.

此时2<m≤4.

②若B为空集,则m+1≥2m-1,解得m≤2,符合题意.

综上,实数m满足m≤4即可.故选ABCD.

三、填空题

13.答案　8

解析　令5-x=1,2,3,6,解得x=4,3,2,-1,因为x∈N,所以x=2,3,4,所以A={2,3,4}.所以集合A的子集的个数是23=8.

14.答案　

解析　∵A∩B≠⌀,且元素之间互异,

∴a≠0.

①当2a=1时,a=,此时集合A=,集合B={1,0},符合题意;

②当2a=4时,a=2,此时集合A={1,4,4},不满足集合中元素的互异性,舍去;

③当2a=a2时,a=0(舍去)或a=2,当a=2时不满足集合中元素的互异性.

综上所述,a=.

15.答案　(1){1,4}(从{1,4},{1,3,4},{2},{2,3}中任写一个即可)　(2)16

解析　(1)当n=4时,集合U={1,2,3,4},

由①A⊆U;②若x∈A,则2x∉A;③若x∈∁UA,则2x∉∁UA,可知:

当1∈A时,2∉A,即2∈∁UA,则4∉∁UA,即4∈A,但元素3与集合A的关系不确定,故A={1,4}或A={1,3,4};

当2∈A时,4∉A,2∉∁UA,则1∈∁UA,即1∉A,元素3与集合A的关系不确定,

故A={2}或A={2,3}.

综上,满足条件的集合A是{1,4}或{1,3,4}或{2}或{2,3}.

(2)当n=7时,集合U={1,2,3,4,5,6,7}.

由①A⊆U;②若x∈A,则2x∉A;③若x∈∁UA,则2x∉∁UA,可知:

1,4必须同属于A,此时2属于A的补集,或1,4必须同属于A的补集,此时2属于A;

当3属于A时,6属于A的补集;当3属于A的补集时,6属于A;元素5,7没有限制.

所以满足条件的集合为{1,3,4},{1,3,4,5},{1,3,4,7},{1,3,4,5,7},{2,6,5},{2,6,7},{2,6,5,7},{1,4,6},{1,4,5,6},{1,4,6,7},{1,4,5,6,7},{2,3,5},{2,3,7},{2,3,5,7},{2,3},{2,6},共16个.

16.答案　4或5或8

解析　如图所示:

①当正八边形的一条边平行于x轴,或正八边形隔两个顶点的对角线平行于x轴,如P3P8∥P1P2∥x轴时,可得集合A={y1,y3,y4,y5},此时A中元素的个数为4.

②当正八边形隔一个顶点的对角线平行于x轴,或正八边形隔三个顶点的对角线平行于x轴,如P3P7∥P8P2∥x轴时,可得集合A={y1,y2,y3,y4,y5},此时A中元素的个数为5.

③当正八边形的一条边或任意一条对角线都与x轴不平行时,可得集合A={y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8},此时A中元素的个数为8.

综上可得,集合A中元素的个数可能为4或5或8.

四、解答题

17.解析　(1)∵A={x|-1<x<4},B={x|-1≤x≤3},

∴A∩B={-1<x≤3},(2分)

A∪B={-1≤x<4}.(4分)

(2)由(1)知A∪B={-1≤x<4}.

∵C∩(A∪B)=C,∴C⊆(A∪B).(6分)

∴(8分)

∴-1≤m<2,∴实数m的取值范围为[-1,2).(10分)

18.解析　(1)由x2-3x-10=(x+2)·(x-5)=0,可得x=-2或x=5,即A={-2,5},(2分)

又B={x|x<-1或x>5},

故A∪B={x|x<-1或x≥5}.(4分)

(2)由B∩C=⌀,得(8分)

解得-1≤a≤2.

即实数a的取值范围是[-1,2].(12分)

19.解析　(1)当m=2时,B={x|1<x<5},(2分)

所以A∪B={x|-2<x<5}.(4分)

(2)若A∩B=B,则B⊆A.(6分)

当B=Æ时,m-1≥2m+1,则m≤-2;(8分)

当B≠Æ时,解得-1≤m≤.(10分)

综上所述,m∈(-∞,-2]∪.(12分)

20.解析　由题意,A={x|x2+x-2=0}={-2,1}.

由A∩B=B,得B⊆A.

当B=⌀时,Δ=a2-4(a+3)<0,即a2-4a-12<0,解得-2<a<6;(4分)

当B≠⌀时,由B⊆A得B={-2}或{1}或{-2,1}.

若B={-2},则

即无实数解;(6分)

若B={1},则即故a=-2;(8分)

若B={-2,1},则

即无实数解.(10分)

综上可知,实数a的取值集合为{a|-2≤a<6}.(12分)

21.解析　(1)因为A∩B=B,所以B⊆A.

又A={x|-2<x<4},B={x|x2-3ax+2a2=0}={x|(x-a)·(x-2a)=0},

Δ=(-3a)2-4×1×2a2=a2≥0,所以x1=a,x2=2a.(2分)

①当Δ=0,即a=0时,x1=x2=0,所以B={x|x=0},B⊆A成立;

②当Δ>0,即a≠0时,由B⊆A,得所以-1<a<2且a≠0,

综上,a的取值范围为-1<a<2.(4分)

(2)存在.

因为A∩B≠⌀,A={x|-2<x<4},

所以①当a=0时,B={x|x=0},此时A∩B={0}≠⌀,所以a=0;

②当a>0时,0<x1<x2,若A∩B=⌀,则a≥4;

③当a<0时,x2<x1<0,若A∩B=⌀,则a≤-2.(8分)

所以A∩B=⌀时,a≤-2或a≥4,

所以A∩B≠⌀时,-2<a<4,(10分)

即存在实数a,使A∩B≠⌀成立,a的取值范围是-2<a<4.(12分)

22.解析　(1)对于集合P={1,2,3},取A={1},B={2},C={3},

满足P=A∪B∪C,A∩B=⌀,A∩C=⌀,B∩C=⌀,且a1+b1=c1,

所以集合P是“完美集合”.(2分)

若Q={1,2,3,4,5,6}为“完美集合”,则存在A,B,C,使得P=A∪B∪C,A∩B=⌀,A∩C=⌀,B∩C=⌀.

设A中各元素的和为M,B中各元素的和为N,C中各元素的和为L,

则有M+N+L=1+2+3+4+5+6=21,且M+N=L,所以L=,它不是整数,

故Q不是“完美集合”.(4分)

(2)因为P={1,x,3,4,5,6}为“完美集合”,由(1)可知x≥7,根据定义可知cn为P中的最大元素,故cn=x,(6分)

又C中各元素的和为,所以C中的另一个元素为,(8分)

它是1,3,4,5,6中的某个数,

因为A,B中各元素之和为,它必是1,3,4,5,6中去掉某个元素后余下4个元素的和,共有5种情形:13,14,15,16,18,对应的x的值为7,9,11,13,17.(10分)

当x=7时,C={6,7},A={1,3},B={5,4},满足;

当x=9时,C={5,9},A={1,3},B={4,6},满足;

当x=11时,C={4,11},A={1,5},B={3,6},满足;

当x=13或x=17时,C={3,13}或C={1,17},余下任何两个元素的和不超过11,不满足要求.

综上所述,x=7,9,11.(12分)