数学必修 第一册2.2 充分条件、必要条件、冲要条件课后测评

2.2　充分条件、必要条件、充要条件

基础过关练

题组一　充分条件、必要条件、充要条件的判断

1.若x∈R,则“|x|>1”是“x>1”的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

2.(2019海南东方民族中学高一月考)“k>0”是“一次函数y=kx+b(k,b是常数)的值随x的增大而增大”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.(2019江苏青阳中学月考)若集合A={1,m2},B={3,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4.(2019江苏江宁高级中学月考)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的(　　)

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

5.“A∩B={2}”是“2∈A且2∈B”的　　　　　　条件. 

题组二　充分条件、必要条件、充要条件的探究

6.(2019江苏东台中学月考)使得“x>0”成立的一个充分不必要条件是(　　)

A.|x|>1 B.x2>0

C.≤2 D.≥0

7.设全集为U,在下列条件中,是“B⊆A”的充要条件的有(　　)

①A∪B=A;②(∁UA)∩B=⌀;③∁UA⊆∁UB;④A∪∁UB=U.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

8.“x>5”的一个充分不必要条件可以是　　　　. 

9.求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.

题组三　利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的值(取值范围)

10.(2019江苏木渎中学月考)若条件p:|x|<2,条件q:x<a,且p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是(　　)

A.[2,+∞) B.(-∞,2]

C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]

11.(2019江苏徐州高级中学阶段检测)已知p:0<x<3,q:a-2≤x≤a,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-1,0) B.[2,3] C.(2,3) D.[-1,0]

12.(2019四川树德中学月考)已知A={x|y=},B={x|x≤m+1},若x∈A是x∈B的必要条件,则实数m的取值范围是　　　　. 

13.(2019江苏苏州月考)已知集合A={x|x<4},B={x|x<a}.若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　. 

14.(2019江苏宜兴官林中学期中)已知集合A={x∈R|0<ax+1≤3}(a≠0),集合B={x∈R|-1<x≤2}.若命题p:x∈A,命题q:x∈B,且p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

能力提升练

题组一　充分条件、必要条件、充要条件的判断

1.(2019江苏响水高级中学月考,)唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望,不到蓬莱不是仙.”其中后一句“是仙”是“到蓬莱”的(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

2.(2019江苏南京第十三中学期中,)若x∈R,则“2<x<3”是“|x-2|<1”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

3.(多选)(2019山东济南外国语学校高一期中,)对任意实数a,b,c,给出下列命题,其中真命题是(　　)

A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件

B.“a>b”是“a2>b2”的充分条件

C.“a<5”是“a<3”的必要条件

D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件

4.(2019江苏太湖高级中学月考,)如果对于任意实数x,[x]表示不超过x的最大整数.例如[3.27]=3,[0.6]=0,那么“[x]=[y]”是“|x-y|<1”的(　　)

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5.(2019江苏通州西亭中学月考,)若a∈R,则“a=2”是“集合{(x,y)|y=x+a}∩{(x,y)|y=a|x|}的子集恰有4个”的(　　)

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

6.(2019江苏徐州第三中学月考,)若全集为R,数集A,B在数轴上如图所示,则“x∉B”是“x∈A”的　　　　条件. 

题组二　充分条件、必要条件、充要条件的探究

7.(2019广东中山高级中学月考,)若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},则B是A的真子集的一个充分不必要的条件是(　　)

A.m∈ B.m≠0

C.m∈ D.m∈

8.(多选)(2019山东济南外国语学校高一月考,)一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件可以是(　　)

A.n=4 B.n=-5

C.n=-1 D.n=-12

9.(2019江苏智贤高级中学月考,)证明:一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.

题组三　利用充分条件、必要条件、充要条件求参数的值(取值范围)

10.(2019江苏如皋中学期中,)已知命题p:A={x|2<x<3},命题q:B=.若命题q是p的必要不充分条件,则a的取值范围是(　　)

A.a<2 B.a≤2

C.a<4 D.a≤4

11.(2019江苏南通一中高二期中,)若不等式|x-m|<1成立的一个充分不必要条件是≤x≤,则实数m的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

12.(2019江苏高淳高级中学期中,)若“x>k”是“<1”的充分不必要条件,则实数k的取值范围是　　　　. 

13.(2019江苏侯集中学月考,)已知集合M={x|x<-3或x>5},P={x|a≤x≤8}.

(1)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的充要条件;

(2)求实数a的一个值,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个充分不必要条件;

(3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要不充分条件(写出一个即可).

答案全解全析

2.2　充分条件、必要条件、

充要条件

基础过关练

1.B　因为|x|>1⇔x>1或x<-1,

所以|x|>1⇒/x>1,而x>1⇒|x|>1,

所以若x∈R,则“|x|>1”是“x>1”的必要不充分条件.

2.C　当k>0时,一次函数y=kx+b(k,b是常数)的值随x的增大而增大,反之也成立.故“k>0”是“一次函数y=kx+b(k,b是常数)的值随x的增大而增大”的充要条件.

3.A　根据题意,由于集合A={1,m2},B={3,4},当m=2时,可知A∩B={4},故由条件能推出结论,反之,当A∩B={4}时,m=2或m=-2,由结论不能推出条件,所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.

4.C　当a=3时,A⊆B,但当A⊆B时,a=2或a=3,所以“a=3”是“A⊆B”的充分不必要条件.

5.答案　充分不必要

解析　若A∩B={2},则2∈A且2∈B一定成立,

但是若2∈A且2∈B,则集合A和集合B中还可能有其他公共元素,即A∩B={2}不一定成立, 故“A∩B={2}”是“2∈A且2∈B”的充分不必要条件.

6.D　对于A选项,由|x|>1,得x<-1或x>1,则“|x|>1”是“x>0”成立的既不充分又不必要条件;对于B选项,由x2>0,得x≠0,则“x2>0”是“x>0”成立的必要不充分条件;对于C选项,由≤2,得x<0或x≥,则“≤2” 是“x>0”成立的既不充分又不必要条件;对于D选项,由≥0,得x≥1,则“≥0”是“x>0”成立的充分不必要条件.故选D.

7.D　①∵A∪B=A,

∴B⊆A,反之也成立,符合题意,结合Venn图可知②③④也符合题意,故选D.

8.答案　x>6(答案不唯一)

解析　设“x>5”的一个充分不必要条件是x>a,则a>5,所以“x>5”的一个充分不必要条件可以是“x>6”.

9.证明　充分性:当a+b+c=0时,c=-a-b.

∴ax2+bx+c=ax2+bx-(a+b)=(x-1)·(ax+a+b)=0.

∴方程ax2+bx+c=0有一个根为1;

必要性:∵ax2+bx+c=0有一个根为1,

∴x=1满足方程,代入得a+b+c=0.

综上,关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.

10.A　∵|x|<2,∴x∈(-2,2),

∵p是q的充分不必要条件,∴a≥2.

11.C　∵p是q的必要不充分条件,

∴所以2<a<3,

故实数a的取值范围是(2,3).

12.答案　(-∞,0]

解析　由已知,得A={x|y=}={x|x≤1},B={x|x≤m+1}.

∵x∈A是x∈B的必要条件,

∴B⊆A,

∴m+1≤1,解得m≤0,即实数m的取值范围是(-∞,0].

13.答案　(-∞,4)

解析　由题意,得集合B是集合A的真子集,又由A={x|x<4},B={x|x<a},则a<4,即实数a的取值范围是(-∞,4).

14.解析　由题意,得A⫋B.

由集合A得,-1<ax≤2.(※)

①当a>0时,

由(※)得A=,

若A⫋B,则或

解得a>1;

②当a<0时,有A=,

若A⫋B,则解得a<-2.

综上,所求实数a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞).

能力提升练

1.A　∵不到蓬莱⇒不是仙,∴是仙⇒到蓬莱,∴“是仙”是“到蓬莱”的充分条件,但“到蓬莱”是不是“仙”不确定,因此“是仙”是“到蓬莱”的充分不必要条件.

2.A　命题2<x<3⇒|x-2|<1为真命题,但|x-2|<1时-1<x-2<1⇒1<x<3.所以命题|x-2|<1⇒2<x<3为假命题.故“2<x<3”是“|x-2|<1”的充分不必要条件.

3.CD　对于A,因为“a=b”时,ac=bc成立.当ac=bc,c=0时,a=b不一定成立,所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故A错.对于B,a=-1,b=-2,满足a>b,但a2<b2,若a=-2,b=1,则a2>b2,但a<b,所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分又不必要条件,故B错.对于C,因为“a<3”时一定有“a<5”成立,所以“a<5”是“a<3”的必要条件,C正确.对于D,“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,D正确.故选CD.

4.B　若[x]=[y],可设[x]=a,[y]=a,a∈Z,x=a+b,y=a+c,b,c∈[0,1),∴x-y=b-c,

又∵b,c∈[0,1),∴-c∈(-1,0],b-c∈(-1,1), 即|x-y|<1成立,充分性成立;

若|x-y|<1,如x=1.5,y=2.4,满足|x-y|<1,但[x]=1,[y]=2,[x]≠[y],故必要性不成立.

所以“[x]=[y]”是“|x-y|<1”的充分不必要条件.

5.C　当a=2时,集合为{(x,y)|y=x+2}∩{(x,y)|y=2|x|},画出两个函数图象如图所示:

y=x+2与y=2|x|的图象有2个交点,所以{(x,y)|y=x+a}∩{(x,y)|y=a|x|}有两个元素,则有4个子集,所以充分性成立;

若集合{(x,y)|y=x+a}∩{(x,y)|y=a|x|}的子集恰有4个,则两个函数的图象必有2个交点,得满足条件的a的取值范围为a>1,所以必要性不成立.

综上可知, “a=2”是“集合{(x,y)|y=x+a}∩{(x,y)|y=a|x|}的子集恰有4个”的充分不必要条件.故选C.

6.答案　充分不必要

解析　由题图可知A∩B≠∅,A∪B=R,∴∁RB⊆A,

∴“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件.

7.D　由已知得A={x|x2+x-6=0}={2,-3},

若B=⌀,则B⫋A,此时m=0.

若B≠⌀,则B={2}或{-3},

当B={2}时,m=-;

当B={-3}时,m=.

所以满足B是A的真子集的m的取值集合为.由选项知使B⫋A的一个充分不必要条件是m∈.

8.BCD　设y=x2+4x+n,函数的图象是开口向上的抛物线,且对称轴为直线x=-2,

要使一元二次方程x2+4x+n=0有正数根,则满足当x=0时,y<0,即n<0.

所以一元二次方程x2+4x+n=0有正数根的充分不必要条件可以是选项B、C、D.

9.证明　充分性(由ac<0推证方程有一个正根和一个负根):

∵ac<0,∴一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0,

∴原方程一定有两个不相等的实数根,

不妨设为x1,x2,则x1x2=<0,

∴原方程的两个根异号,

即一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根.

必要性(由方程有一个正根和一个负根推证ac<0):

∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根,不妨设为x1,x2,

∴由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0,

此时Δ=b2-4ac>0,满足原方程有两个不相等的实数根.

综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0.

10.D　因为命题p:A={x|2<x<3},命题q:B=,命题q是p的必要不充分条件,所以不等式x>,即a<2x在x∈(2,3)上恒成立,

故a的取值范围是a≤4.故选D.

11.B　由不等式|x-m|<1,解得m-1<x<m+1,

因为不等式|x-m|<1成立的一个充分不必要条件是≤x≤,

则解得-,

故实数m的取值范围是.

12.答案　[3,+∞)

解析　解不等式<1,可得x<0或x>3.

由题意可得(k,+∞)⫋[(-∞,0)∪(3,+∞)],所以k≥3.

故实数k的取值范围是[3,+∞).

13.解析　(1)M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5,

所以实数a的取值范围是{a|-3≤a≤5}.

(2)由(1)知,M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是-3≤a≤5,

则{a|-3≤a≤5}的非空真子集都是M∩P={x|5<x≤8}的充分不必要条件.

a=0是所求的一个充分不必要条件.(答案不唯一)

(3)求实数a的取值范围,使它成为M∩P={x|5<x≤8}的一个必要不充分条件就是另求一个集合,且{a|-3≤a≤5}是所求集合的一个真子集.

当{a|a≤5}时,不一定有M∩P={x|5<x≤8},

但是M∩P={x|5<x≤8}时,必有a≤5,

故{a|a≤5}是所求的一个必要不充分条件.(答案不唯一)