人教A版高中数学必修第一册第4章4-5-3函数模型的应用课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第4章4-5-3函数模型的应用课时学案，共19页。

4.5.3　函数模型的应用 1．会利用已知函数模型解决实际问题．(数学运算) 2．能建立函数模型解决实际问题．(数学建模) 3．了解拟合函数模型并解决实际问题．(数据分析) 兔子是一种可爱的动物，尤其很受小朋友的喜爱．但是这样的兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． 兔子为什么会如此快地从几只增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量呈对数增长． 知识点　常见函数模型 思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)银行利率、细胞分裂等增长率问题可以用指数函数模型来表述． (　　) (2)在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型． (　　) (3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型． (　　) (4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了． (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3) ×　(4) × 类型1　利用已知函数模型解决实际问题 【例1】　(2022·江西赣州月考)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0DGG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　) A．72　　　B．74　　　C．76　　　D．78 B　[由于L＝L0DGG0，所以L＝0.5×DG18， 依题意0.4＝0.5×D1818，则D＝45，L＝0.5×45G18． 由L＝0.5×45G18<0.2，得 G>18log4525＝18lg5-lg2lg5-2lg2＝181-2lg21-3lg2≈73.9， 所以所需的训练迭代轮数至少为74次．故选B．] 　已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值． [跟进训练] 1．(2022·河南新乡期中)塑料主要分为可降解塑料和不可降解塑料，其中不可降解塑料大概要100年才能完全分解，而可降解塑料只需5～8年就可完全分解．现有某种可降解塑料的分解率y与时间x(月)近似满足函数关系式y＝mnx(其中m，n为非零常数)．当经过28个月时，这种可降解塑料的分解率为10%，当经过56个月时，这种可降解塑料的分解率为50%，则这种可降解塑料完全分解(分解率为100%)至少需要经过(参考数据：取lg 2＝0.3)(　　) A．86个月　　B．80个月　　C．68个月　　D．60个月 C　[由题意得0.1＝mn28，0.5＝mn56， 得m＝0.02，n＝5128 ， 所以y＝0.02×5x28．令y＝0.02×5x28＝1，得5x28＝50，所以x＝28log550＝28(log525＋log52)＝282+lg2lg5＝282+lg21-lg2＝68． 故选C．] 类型2　自建确定性函数模型解决实际问题 【例2】　(2022·浙江杭州期末)根据专家对高一学生上课注意力进行的研究，发现注意力集中程度的指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0，12]时，曲线是二次函数图象的一部分，其中顶点A(10，80)，且过点B(12，78)；当t∈(12，40]时，曲线是函数p＝loga(t－7)＋79(00，故x≥lg3lg1.08， 故x≥lg3lg108100＝lg3lg108-2， 因为lg 108＝lg (33×22)＝3lg 3＋2lg 2，所以 x≥lg33lg3+2lg2-2≈0.477 13×0.477 1+2×0.301-2≈14.3．约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上． 类型3　拟合数据构建函数模型解决实际问题 【例3】　(2022·厦门期末)在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖速度在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢．在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量y(单位：百万个)与培养时间x(单位：时)的关系为： 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ①y＝alog2x＋b，②y＝ax-3＋b，③y＝2x－a＋b． (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)利用(4，4)和(8，4.5)这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到5百万个． [解]　(1)依题意，所选函数必须满足三个条件： ①定义域包含[2，＋∞)； ②增函数； ③随着自变量的增加，函数值的增长速度变小． 因为函数y＝ax-3＋b的定义域为[3，＋∞)，x＝2时无意义，故不符合实际的函数模型；函数y＝2x－a＋b随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，故不符合实际的函数模型．因为函数y＝alog2x＋b可以同时符合上述条件，所以应该选择函数y＝alog2x＋b． (2)依题意知alog24+b＝2a+b＝4， alog28+b＝3a+b＝4.5， 解得a＝12，b＝3，所以y＝12log2x＋3． 令y＝12log2x＋3≥5，解得x≥16． 所以，至少再经过14个小时，细菌数量达到5百万个． 　函数拟合与预测的一般步骤 (1)根据原始数据、表格，绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线． (3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． [跟进训练] 3．数据显示，某新创业的IT公司2022年上半年五个月的收入情况如表所示： 根据上述数据，在建立该公司2022年月收入y(万元)与月份x的函数模型时，给出两个函数模型y＝x12与y＝2x3供选择． (1)你认为哪个函数模型较好，建立坐标系画出散点图，并结合散点图简单说明理由； (2)试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月开始，该公司的月收入会超过100万元？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1；月份取整数) [解]　(1)根据表格提供的数据，画出散点图以及函数y＝x12与y＝2x3的图象： 观察发现，这些点基本上是落在函数y＝2x3图象上或附近，因此用y＝2x3这一函数模型． (2)当2x3＝100时，2x＝300， ∵28＝256<300，29＝512>300，且1≤x≤12，x∈N，∴x＝9， ∴大约在9月份该公司的月收入会超过100万元． 1．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的散点图．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是(　　) A．y＝2t　　B．y＝2t2　　C．y＝t3　　D．y＝log2t D　[由题图知，该函数可能是y＝log2t．故选D．] 2．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2021年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m，则从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是(　　) A．y＝0.95x50·m B．y＝1-0.05x50 ·m C．y＝0.9550-x·m D．y＝(1－0.0550-x)·m A　[设北冰洋每年冬季冰雪覆盖面积为上一年的q%．由题意可知(q%)50＝0.95，所以q%＝0.95150，所以从2021年起，x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式为y＝0.95x50·m．故选A．] 3．在一次数学实验中，采集到如下一组数据： 则下列函数(其中a，b为待定系数)中，与x，y的函数关系最接近的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝bx C．y＝ax2＋b D．y＝bx B　[散点图如图： 由散点图可知，此函数图象不是直线，排除A；此函数图象是上升的，是增函数，排除C，D．故选B．] 4．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)． 4　[设至少要洗x次，则1-34x≤1100， 所以x≥1lg2≈3.322， 所以至少需清洗4次．] 回顾本节知识，自主完成以下问题： 解决函数应用问题的基本步骤是什么？ [提示]　利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图： 课时分层作业(四十)　函数模型的应用 一、选择题 1．据统计，第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)近似满足y＝alog3(x＋2)．观测发现第1年有越冬白鹤3 000只，估计第7年有越冬白鹤(　　) A．4 000只 B．5 000只 C．6 000只 D．7 000只 C　[由题意，得3 000＝alog3(1＋2)，得a＝3 000，所以当x＝7时，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000．故选C．] 2．如果某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是(　　) A．711　　　B．712　　　C．127－1　　　D．117－1 D　[设月平均增长率为x，1月份的产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝117，故x＝117－1．故选D．] 3．月球距离地球大约38万千米．有人说，在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，其厚度就可以大于或等于月球距离地球的距离．那么至少对折的次数n是(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3.8≈0.6)(　　) A．40　　　B．41　　　C．42　　　D．43 C　[设对折n次时，纸的厚度为y(单位：毫米)， 由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，则y＝0.1×2n． 令y＝0.1×2n≥38×104×106，即2n≥3.8×1012， 所以lg 2n≥lg 3.8＋12，即n≥12.60.3＝42， 所以至少对折的次数n是42．故选C．] 4．(2022·浙江杭州期末)为预防病毒感染，学校每天定时对教室进行喷洒消毒．已知教室内每立方米空气中的含药量y(单位：mg)随时间x(单位：h)的变化如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为y＝18x-a(a为常数)，则(　　) A．当0≤x≤0.2时，y＝4x B．当x>0.2时，y＝18x-0.1 C．2330小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25 mg以下 D．1315小时后，教室内每立方米空气中的含药量降低到0.25 mg以下 D　[当0≤x≤0.2时，设y＝kx，则1＝0.2k，故k＝5，即y＝5x，故A错误；当x>0.2时，把(0.2，1)代入到y＝18x-a中可得180.2-a＝1，∴a＝0.2，即y＝18x-0.2，故B错误； 令18x-0.2<0.25，即123x-0.6<122，∴3x－0.6>2，解得x>1315，故C错误，D正确．故选D．] 5．(多选)假设某市2019年全年用于垃圾分类的资金为5 000万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元的年份可能是(参考数据：lg 1.2≈0.079，lg 2≈0.301)(　　) A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年 CD　[设经过n年之后该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元， 则投入的资金为y＝5 000×(1＋20%)n， 由题意可得：y＝5 000×(1＋20%)n>12 800， 即1.2n>2.56， ∴n lg 1.2>lg 2.56＝lg 28－2， ∴n>lg28-2lg1.2≈8×0.301-20.079≈5.16， ∵n∈Z， ∴n≥6， 即从2025年开始该市全年用于垃圾分类的资金超过1.28亿元．故选CD．] 二、填空题 6．牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛(允许的最大值)调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3 000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3 ≈0.477) 188　[设经过x个周期后细菌含量超标， 即3 000×2x>2 000 000， 即2x>2 0003， 所以x>log22 0003＝lg2000-lg3lg2＝lg2+3-lg3lg2≈9.4， 而20×9.4＝188，因此经过188分钟就不宜再饮用．] 7．(2022·吉林长春十一中期末)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数．如果在前5 h消除了10%的污染物，那么10 h后还剩________的污染物． 81%　[由题意可知，0.9P0＝P0e-5k，所以e-5k＝0.9． 所以10小时后污染物含量P＝P0e-10k＝P0(e-5k)2＝P0×0.92＝0.81P0， 即10小时后还剩81%的污染物．] 8．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据： 现有如下4个模拟函数： ①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x． 请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________． ④　[画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④． ] 三、解答题 9．中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．经过研究发现，在25℃室温下，设茶水温度从85℃开始，经过x分钟后的温度为y℃，则满足y＝kax＋25(k∈R，00)，②y＝k·1.2x＋b(k>0)，③y＝klog2x15+2＋n(k>0)供选择． (1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由，再根据所给信息求出函数的解析式； (2)求每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼多少分钟．(注：2≈1.414，结果保留整数) [解]　(1)第一步：分析题中每个模型的特点． 对于模型一，当k>0时，匀速增长； 对于模型二，当k>0时，先慢后快增长； 对于模型三，当k>0时，先快后慢增长． 第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型． 从题图可知应选择先快后慢增长的函数模型，故选y＝klog2x15+2＋n． 第三步：把已知的两点代入选好的模型中，得到函数解析式． 将(0，0)，(30，3)代入解析式， 得k+n＝0， klog24+n＝3，即k+n＝0， 2k+n＝3， 解得k＝3，n＝－3， 即y＝3log2x15+2－3． 第四步：验证模型是否合适． 当x＝90时，y＝3log2(6＋2)－3＝6， 满足每天得分最高不超过6分的条件． 所以函数的解析式为y＝3log2x15+2－3． (2)由y＝3log2x15+2－3≥4.5， 得log2x15+2≥2.5＝log2252， 得x15+2≥252＝42≈5.656，得x≥54.84， 所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟． 一次函数模型y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)二次函数模型y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数函数模型y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)幂函数模型y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)分段函数模型y＝ax+bx