【寒假作业】（人教A版2019）高中数学 高一数学寒假巩固提升训练 专题01+与集合与常用逻辑用语有关的参数问题（七大考点）-讲义

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：根据元素与集合的关系求参数
考点二：根据集合中元素的个数求参数
考点三：根据集合的包含关系求参数
考点四：根据两个集合相等求参数
考点五：根据集合的交、并、补求参数
考点六：根据充分与必要条件的求参数取值范围
考点七：根据命题的真假求参数的取值范围
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为：和.
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.
（4）常见数集和数学符号
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合应满足.
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.
（2）真子集（prper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”.
（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．
（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．
（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．
4、集合的运算性质
（1），，．
（2），，．
（3），，．
5、充分条件、必要条件、充要条件
（1）定义
如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．
（2）从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）．
6、全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．
（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．
7、含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，．
（2）存在量词命题的否定为．
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．
1、若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3、．
4、,．
5、从集合与集合之间的关系上看
设．
（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件．
6、常见的一些词语和它的否定词如下表
（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例．
（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题．
考点剖析
考点一：根据元素与集合的关系求参数
例1．（2023·全国·高一期末）已知关于x的不等式的解集为S．若且，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例2．（2023·湖南益阳·高一校考阶段练习）已知集合，若集合中所有整数元素之和为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·广东江门·高一江门市第一中学校考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．或1C．3D．
例4．（2023·河南郑州·高一校联考期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点二：根据集合中元素的个数求参数
例5．（2023·江苏南京·高一南京市秦淮中学校联考期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ．
例6．（2023·西藏林芝·高一校考期末）集合中只有一个元素，则实数的值是 .
例7．（2023·浙江绍兴·高一统考期中）集合中只含有1个元素，则实数a的取值是 ．
例8．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是 .（用集合表示）
考点三：根据集合的包含关系求参数
例9．（2023·广东佛山·高一佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
例10．（2023·湖北宜昌·高一校联考期中）已知集合，.
(1)求集合和；
(2)集合，若，求实数的取值范围.
例11．（2023·辽宁阜新·高一阜新市高级中学校考阶段练习）设集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)设，若且，求实数的取值范围.
例12．（2023·江西宜春·高一校考期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围.
考点四：根据两个集合相等求参数
例13．（2023·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）已知，，若集合，则的值为 ．
例14．（2023·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）已知集合若，则 .
例15．（2023·福建泉州·高一福建省南安市侨光中学校考阶段练习）若，则 .
考点五：根据集合的交、并、补求参数
例16．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，.
(1)若，求；
(2)已知，求实数的取值范围.
例17．（2023·全国·高三专题练习）设全集，集合，．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
例18．（2023·安徽安庆·高一校考阶段练习）已知全集为，函数的定义域为集合，集合或．
(1)求；
(2)若，，求实数的取值范围．
例19．（2023·广西梧州·高一校考期中）已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}．
(1)当a＝2时，求，；
(2)若＝R，求a的取值范围．
考点六：根据充分与必要条件的求参数取值范围
例20．（2023·江苏南京·高一校联考期中）在①，②“”是“”的充分条件，③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解.
已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若______，求实数的取值范围.
例21．（2023·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知函数，设集合，集合．
(1)若，求实数k的取值范围；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数k的取值范围．
例22．（2023·湖北·高一校联考期中）已知集合，或，为实数集．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围．
例23．（2023·广西梧州·高一苍梧中学校考阶段练习）已知集合
(1)求集合A，B；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
例24．（2023·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）已知全集，集合.
(1)当时，求；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
考点七：根据命题的真假求参数的取值范围
例25．（2023·浙江宁波·高一效实中学校考期中）（1）若，，求实数a的取值范围；
（2）若，，求实数x的取值范围．
例26．（2023·山东淄博·高一山东省淄博第四中学校考阶段练习）设全集，集合，集合．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围．
例27．（2023·宁夏吴忠·高一校考阶段练习）已知集合
(1)若，求实数的取值范围.
(2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.
例28．（2023·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期中）设函数.
(1)若命题：是假命题，求的取值范围；
(2)若存在成立，求实数的取值范围.
过关检测
一、单选题
1．（2023·北京·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
6．（2023·湖北·高一洪湖市第一中学校联考期中）已知集合，若，则的值是（ ）
A．0B．3C．D．3，0
7．（2023·湖南长沙·高一宁乡一中校考阶段练习）若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（ ）
A．7B．6C．5D．4
二、多选题
8．（2023上·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特一中校考阶段练习）下列命题是真命题的有（ ）
A．“，”的否定为“，”.
B．“且”是“”的充分不必要条件.
C．“”是“”的必要不充分条件.
D．“”的充要条件是“”.
9．（2023上·浙江·高一校联考期中）若集合，满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2023上·河南省直辖县级单位·高一济源高中校考阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（ ）
A．若，则实数的取值范围是
B．若，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是
D．若，则实数的取值范围是
三、填空题
11．（2023·江苏·高一校联考阶段练习）已知集合的子集至多有两个，则实数的取值范围是
12．（2023·广东梅州·高一大埔县虎山中学校考期中）若集合的所有子集个数是，则的值是
13．（2023·上海徐汇·高一上海中学校考期中）若集合有且仅有一个元素，则实数 ．
14．（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合，其中，则实数 .
15．（2023·湖南怀化·高一沅陵县第一中学校考阶段练习）已知集合，且，若，则实数
16．（2023·浙江·高一浙江省普陀中学校联考期中）已知集合，集合;若 ，则 ；
四、解答题
17．（2023·江苏常州·高一常州市第一中学校考期中）已知集合，
(1)求集合中的所有整数；
(2)若，求实数的取值范围.
18．（2023·四川成都·高一成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考期中）已知集合，集合．
(1)求和；
(2)设，若，求实数a的取值范围．
19．（2023·四川成都·高一树德中学校考期中）设全集，集合，．
(1)求图中阴影部分表示的集合；
(2)已知集合，是否存在实数使得，若存在，求的取值范围．若不存在，说明理由．
20．（2023·河北石家庄·高一河北师范大学附属中学校考阶段练习）已知全集，集合．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
21．（2023·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）已知集合或，．
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，且，求实数m的取值范围．
22．（2023·陕西西安·高一陕西师大附中校考阶段练习）已知集合，.
(1)当时，求；
(2)若，求实数a的取值范围.
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
或
原词语
等于
大于
小于
是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于
小于等于
大于等于
不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有