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专题01 质数那些事
展开阅读与思考
一个大于1的自然数如果只能被1和本身整除,就叫作质数(也叫素数);如果能被1和本身以外的自然数整除,就叫作合数;自然数1既不是质数,也不是合数,叫作单位数.这样,我们可以按约数个数将正整数分为三类:
关于质数、合数有下列重要性质:
1.质数有无穷多个,最小的质数是2,但不存在最大的质数,最小的合数是4.
2.1既不是质数,也不是合数;2是唯一的偶质数.
3.若质数|,则必有|或|.
4.算术基本定理:任意一个大于1的整数N能唯一地分解成个质因数的乘积(不考虑质因数之间的顺序关系):
N= ,其中,为质数,为非负数(=1,2,3,…,).
正整数N的正约数的个数为(1+)(1+)…(1+),所有正约数的和为(1++…+)(1++…+)…(1++…+).
例题与求解
【例1】已知三个质数,,满足+++=99,那么的值等于_________________.
(江苏省竞赛试题)
解题思想:运用质数性质,结合奇偶性分析,推出,,的值.
【例2】若为质数,+5仍为质数,则+7为( )
A.质数B.可为质数,也可为合数
C.合数D.既不是质数,也不是合数
(湖北省黄冈市竞赛试题)
解题思想:从简单情形入手,实验、归纳与猜想.
【例3】求这样的质数,当它加上10和14时,仍为质数.
(上海市竞赛试题)
解题思想:由于质数的分布不规则,不妨从最小的质数开始进行实验,另外,需考虑这样的质数是否唯一,按剩余类加以深入讨论.
【例4】⑴ 将1,2,…,2 004这2 004个数随意排成一行,得到一个数,求证:一定是合数.
⑵ 若是大于2的正整数,求证:-1与+1中至多有一个质数.
⑶ 求360的所有正约数的倒数和.
(江苏省竞赛试题)
解题思想:⑴将1到2 004随意排成一行,由于中间的数很多,不可能一一排出,不妨找出无论怎样排,所得数都有非1和本身的约数;⑵只需说明-1与+1中必有一个是合数,不能同为质数即可;⑶逐个求解正约数太麻烦,考虑整体求解.
【例5】设和是正整数,≠,是奇质数,并且,求+的值.
解题思想:由题意变形得出整除或,不妨设.由质数的定义得到2-1=1或2-1=.由≠及2-1为质数即可得出结论.
【例6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数,则称它是一个“绝对质数”[如2,3,5,7,11,13(31),17(71),37(73),79(97),113(131,311),199(919,991),337(373,733),…都是质数].求证:绝对质数的各位数码不能同时出现数码1,3,7,9.
(青少年国际城市邀请赛试题)
解题思想:一个绝对质数如果同时含有数字1,3,7,9,则在这个质数的十进制表示中,不可能含有数字0,2,4,5,6,8,否则,进行适当排列后,这个数能被2或5整除.
能力训练
A级
1.若,,,为整数,=1997,则=________.
2.在1,2,3,…,这个自然数中,已知共有个质数,个合数,个奇数,个偶数,则(-)+(-)=__________.
3.设,为自然数,满足1176=,则的最小值为__________.
(“希望杯”邀请赛试题)
4.已知是质数,并且+3也是质数,则-48的值为____________.
(北京市竞赛试题)
5.任意调换12345各数位上数字的位置,所得的五位数中质数的个数是 ( )
A.4B.8C.12D.0
在2 005,2 007,2 009这三个数中,质数有 ( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
(“希望杯”邀请赛试题)
7.一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后,所得的数比原来的数大9,这样的两位中,质数有()
A.1个B.3 个C.5个D.6 个
(“希望杯”邀请赛试题)
8.设,,都是质数,并且+=,<.求.
9.写出十个连续的自然数,使得个个都是合数.
(上海市竞赛试题)
10.在黑板上写出下面的数2,3,4,…,1 994,甲先擦去其中的一个数,然后乙再擦去一个数,如此轮流下去,若最后剩下的两个数互质,则甲胜;若最后剩下的两个数不互质,则乙胜,你如果想胜,应当选甲还是选乙?说明理由.
(五城市联赛试题)
11.用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地,选用边长为cm规格的地砖,恰用块,若选用边长为cm规格的地砖,则要比前一种刚好多用124块,已知,,都是正整数,且(,)=1,试问这块地有多少平方米?
(湖北省荆州市竞赛试题)
B级
1.若质数,满足5+7=129,则+的值为__________.
2.已知,均为质数,并且存在两个正整数,,使得=+,=×,则的值为__________.
3.自然数,,,,都大于1,其乘积=2 000,则其和++++的最大值为__________,最小值为____________.
(“五羊杯”竞赛试题)
4.机器人对自然数从1开始由小到大按如下的规则染色:凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色,不合上述要求的自然数都染成黄色,若被染成红色的数由小到大数下去,则第1 992个数是_______________.
(北京市“迎春杯”竞赛试题)
5.若,均为质数,且满足+=2 089,则49-=_________.
A.0 B.2 007C.2 008D.2 010
(“五羊杯”竞赛试题)
6.设为质数,并且7+8和8+7也都为质数,记=77+8,=88+7,则在以下情形中,必定成立的是()
A.,都是质数B.,都是合数
C.,一个是质数,一个是合数 D.对不同的,以上皆可能出现
(江西省竞赛试题)
7.设,,,是自然数,并且,求证:+++一定是合数.
(北京市竞赛试题)
8.请同时取六个互异的自然数,使它们同时满足:
⑴ 6个数中任意两个都互质;
⑵ 6个数任取2个,3个,4个,5个,6个数之和都是合数,并简述选择的数符合条件的理由.
9.已知正整数,都是质数,并且7+与+11也都是质数,试求的值.
(湖北省荆州市竞赛试题)
10. 41名运动员所穿运动衣号码是1,2,…,40,41这41个自然数,问:
(l) 能否使这41名运动员站成一排,使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数?
(2) 能否让这41名运动员站成一圈,使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数?若能办到,请举出一例;若不能办到,请说明理由.
专题01 质数那些事_答案: 这是一份专题01 质数那些事_答案,共3页。
专题01 斜中半(解析版): 这是一份专题01 斜中半(解析版),共19页。
专题01 统计与概率(试卷+答案): 这是一份专题01 统计与概率(试卷+答案),文件包含专题01统计与概率答案docx、专题01统计与概率试卷docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共12页, 欢迎下载使用。