专题02 数的整除性

这是一份专题02 数的整除性，共6页。试卷主要包含了数的整除性常见特征，整除的基本性质，求整数被4除的余数，并说理理由等内容，欢迎下载使用。

阅读与思考
设，是整数，≠0，如果一个整数使得等式=成立，那么称能被整除，或称整除，记作|，又称为的约数， 而称为的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识：
1．数的整除性常见特征：
①若整数的个位数是偶数，则2|；
②若整数的个位数是0或5，则5|；
③若整数的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|(或9|)；
④若整数的末二位数是4(或25)的倍数，则4|(或25|)；
⑤若整数的末三位数是8(或125)的倍数，则8|(或125|)；
⑥若整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|．
2．整除的基本性质
设，，都是整数，有：
①若|，|，则|；
②若|，|，则|(±)；
③若|，|，则[，]|；
④若|，|，且与互质，则|；
⑤若|，且与互质，则|．特别地，若质数|，则必有|或|．
例题与求解
【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．
(“五羊杯”竞赛试题)
解题思想：自然数能同时被2和3整除，则能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．
【例2】已知，是正整数(＞)，对于以下两个结论：
①在＋，，－这三个数中必有2的倍数；
②在＋，，－这三个数中必有3的倍数．其中 ( )
A．只有①正确B．只有②正确
C．①，②都正确D．①，②都不正确
(江苏省竞赛试题)
解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数能被198整除，求，的值．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：198=2×9×11，整数能被9，11整除，运用整除的相关特性建立，的等式，求出，的值．
【例4】已知，，都是整数，当代数式7＋2＋3的值能被13整除时，那么代数式5＋7－22的值是否一定能被13整除，为什么？
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
解题思想：先把5＋7－22构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．
【例5】如果将正整数M放在正整数左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数的最小值，使得存在互不相同的正整数，，…，，满足对任意一个正整数，在，，…，中都至少有一个为的“魔术数”．
(2013年全国初中数学竞赛试题)
解题思想：不妨设(=1，2，3，…，；=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为的“魔术数”．根据题中条件，利用(是的位数)被7除所得余数，分析的取值．
【例6】一只青蛙，位于数轴上的点，跳动一次后到达，已知，满足|－|=1，我们把青蛙从开始，经－1次跳动的位置依次记作：，，，…，．
⑴ 写出一个，使其，且＋＋＋＋>0；
⑵ 若=13，=2 012，求的值；
⑶ 对于整数(≥2)，如果存在一个能同时满足如下两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．求整数(≥2)被4除的余数，并说理理由．
(2013年“创新杯”邀请赛试题)
解题思想：⑴．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证＋＋＋＋>0．只需将“向右”安排在前即可．
⑵若=13，=2 012，从经过1 999步到．不妨设向右跳了步，向左跳了步，则，解得可见，它一直向右跳，没有向左跳．
⑶设同时满足两个条件：①=0；②＋＋＋…＋=0．由于=0，故从原点出发，经过(－1)步到达，假定这(－1)步中，向右跳了步，向左跳了步，于是=－，＋=－1，则＋＋＋…＋=0＋()＋()＋…()=2(＋＋…＋)－[()＋()＋…＋()]=2(＋＋…＋)－．由于＋＋＋…＋=0，所以(－1)=4(＋＋…＋)．即4|(－1)．
能力训练
A级
1．某班学生不到50人，在一次测验中，有的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则有________人不及格．
2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．
(上海市竞赛试题)
3．一个五位数能被11与9整除，这个五位数是________．
4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是()
A．532B．665 C．133 D．798
5．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是()
A．1 B．2 C．3 D．6
(江苏省竞赛试题)
6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有()
A．12个B．18个 C．20个 D．30个
(“希望杯”邀请赛试题)
7．五位数是9的倍数，其中是4的倍数，那么的最小值为多少？
(黄冈市竞赛试题)
8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字，使得三位数，，，能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．
(上海市竞赛试题)
9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
B级
1．若一个正整数被2，3，…，9这八个自然数除，所得的余数都为1，则的最小值为_________，的一般表达式为____________．
(“希望杯”邀请赛试题)
2．已知，都是正整数，若1≤≤≤30，且能被21整除，则满足条件的数对(，)共有___________个．
(天津市竞赛试题)
3．一个六位数能被33整除，这样的六位数中最大是__________．
4．有以下两个数串同时出现在这两个数串中的数的个数共有( )个．
A．333B．334C．335D．336
5．一个六位数能被12整除，这样的六位数共有()个．
A．4 B．6C．8D．12
6．若1 059，1 417，2 312分别被自然数除时，所得的余数都是，则－的值为( )．
A．15B．1C．164D．174
7．有一种室内游戏，魔术师要求某参赛者相好一个三位数，然后，魔术师再要求他记下五个数：，，， ，，并把这五个数加起来求出和N．只要讲出的大小，魔术师就能说出原数是什么．如果N=3 194，请你确定．
(美国数学邀请赛试题)
8．一个正整数N的各位数字不全相等，如果将N的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N，则称N为“拷贝数”，试求所有的三位“拷贝数”．
(武汉市竞赛试题)
9．一个六位数，如将它的前三位数字与后三位数字整体互换位置，则所得的新六位数恰为原数的6倍，求这个三位数．
(“五羊杯”竞赛试题)
10．一个四位数，这个四位数与它的各位数字之和为1 999，求这个四位数，并说明理由．
(重庆市竞赛试题)
11．从1，2，…，9中任取个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部)，它们的和能被10整除，求的最小值．
(2013年全国初中数学竞赛试题)