专题02 数的整除性_答案

这是一份专题02 数的整除性_答案，共2页。试卷主要包含了b＝0提示， n被4除余数为0或1，1 2，19 提示，719 895提示，A提示等内容，欢迎下载使用。

例2 C 提示：关于②的证明：对于a，b若至少有一个是3的倍数，则ab是3的倍数．若a，b都不是3的倍数，则有：(1)当a＝3m＋1，b＝3n＋1时，a－b＝3(m－n)；(2)当a＝3m＋1，b＝3n＋2时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)当a＝3m＋2，b＝3n＋1时，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)当a＝3m＋2，b＝3n＋2时，a－b＝3(m－n).
例3 a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．
例4 设x，y，z，t是整数，并且假设5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c) ＋13(ya＋zb＋tc).比较上式a，b，c的系数，应当有，取x＝－3，可以得到y＝2，z＝1，t＝－1，
则有13 (2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，则5a＋7b－22c就能被13整除．
例5 考虑到“魔术数”均为7的倍数，又a1，a2，…，an互不相等，不妨设a1 ＜a2＜…＜an，余数必为1，2，3，4，5，6，0，设ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一个为m的“魔术数”，因为ai·10k＋m(k是m的位数)，是7的倍数，当i≤b时，而ai·t除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i＝7时，而ai·10k除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i＝7时，依抽屉原理，ai·10k与m二者余数的和至少有一个是7，此时ai·10k＋m被7整除，即n＝7．
例6 (1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0) (2)a1000＝13＋999＝1 012． (3)n被4除余数为0或1．
A级
1．1 2．3 143 3．39 798 4．A 5．C 6．B
7．五位数 EQ \\ac(\S\UP7(—),abcde)＝10× EQ \\ac(\S\UP7(—),abcd)＋e.又∵ EQ \\ac(\S\UP7(——),abcd) 为4的倍数．故最值为1 000，又因为 EQ \\ac(\S\UP7(—),abcde)为9的倍数．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此 EQ \\ac(\S\UP7(—),abcde)最小值为 10 008.
8．324 561提示：d＋f－e是11的倍数，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，
9．19 提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后两个数为8，4．
B级
1．2 521 a＝2 520n＋1(n∈N＋)
2．57
3．719 895提示：这个数能被33整除，故也能被3整除．于是，各位数字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．
4．B
5．B
6．A提示：两两差能被n整除，n＝179，m＝164．
7．由题意得 EQ \\ac(\S\UP7(—),acb)＋ EQ \\ac(\S\UP7(—),bac)＋ EQ \\ac(\S\UP7(—),bca)＋ EQ \\ac(\S\UP7(—),cab)＋ EQ \\ac(\S\UP7(—),cba)＝3 194，两边加上 EQ \\ac(\S\UP7(—),abc)．得222(a＋b＋c)＝3194＋ EQ \\ac(\S\UP7(—),abc) ∴222(a＋b＋c) ＝222×14＋86＋ EQ \\ac(\S\UP7(—),abc)．则 EQ \\ac(\S\UP7(—),abc)＋86是222的倍数．
且a＋b＋c＞14．设 EQ \\ac(\S\UP7(——),abc)＋86＝222n考虑到 EQ \\ac(\S\UP7(——),abc)是三位数，依次取n＝1，2，3，4.分别得出 EQ \\ac(\S\UP7(——),abc)的可能值为136，358，580，802，又因为a＋b＋c＞14．故 EQ \\ac(\S\UP7(——),abc)＝358．
8．设N为所求的三位“拷贝数”，它的各位数字分别为a，b，c(a，b，c不全相等)．将其数码重新排列后，设其中最大数为 EQ \\ac(\S\UP7(——),abc)，则最小数为 EQ \\ac(\S\UP7(——),cba)．故N＝ EQ \\ac(\S\UP7(——),abc)－ EQ \\ac(\S\UP7(——),cba)＝(100a＋10b＋c)－ (100c＋10b＋a)＝99(a－c)．
可知N为99的倍数．这样的三位数可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而这9个数中，只有954－ 459＝495.故495是唯一的三位“拷贝数”．
9．设原六位数为 EQ \\ac(\S\UP7(———),abcdef)，则6× EQ \\ac(\S\UP7(———),abcdef)＝ EQ \\ac(\S\UP7(———),defabc)，即6×(1000× EQ \\ac(\S\UP7(——),abc)＋ EQ \\ac(\S\UP7(——),def))＝1000× EQ \\ac(\S\UP7(——),def)＋ EQ \\ac(\S\UP7(——),abc)，所以994× EQ \\ac(\S\UP7(——),def)－5 999× EQ \\ac(\S\UP7(——),abc)，即142× EQ \\ac(\S\UP7(——),def)＝857× EQ \\ac(\S\UP7(——),abc)， ∵(142，857)＝1，∴ 142| EQ \\ac(\S\UP7(—),abc)，857| EQ \\ac(\S\UP7(——),def)，而 EQ \\ac(\S\UP7(——),abc)， EQ \\ac(\S\UP7(——),def)为三位数，∴ EQ \\ac(\S\UP7(—),abc)＝142， EQ \\ac(\S\UP7(——),def)＝857，故 EQ \\ac(\S\UP7(———),abcdef)＝142857．
10．设这个数为 EQ \\ac(\S\UP7(——),abcd)，则1 000a＋100b＋10c＋d＋a＋b＋c＋d＝1 999，即1 001a＋101b＋11c＋2d＝1 999，得a＝1，进而101b＋11c＋2d＝998，101b≥998－117－881，有b＝9，则11c＋2d＝89，而0≤2d≤18，71≤11c≤89，推得c＝7，d＝6，故这个四位数是1 976．
11．当n＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．当n＝5时，设a1a2，…，a5是1，2，…，9中的5个不同的数，若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则中不可能同时出现1和9，2和8，3和7，4和6，于是中必定有一个为5，若中含1，则不含9，于是，不含，故含6；不含,故含7；不含,故含8；但是5+7+8=20是10的倍数, 矛盾. 若中含9, 则不含1, 于是不含故含4; 不含故含3; 不含故含2; 但是是10的倍数, 矛盾. 综上所述,n的最小值为5