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高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用8.2 函数与数学模型课堂教学ppt课件
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这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第8章 函数应用8.2 函数与数学模型课堂教学ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了习题82，应用与建模等内容，欢迎下载使用。
8 . 2 函数与数学模型
函数可以刻画事物变化过程中有依赖关系的两个变量之间的关系，我们能运用函数的概念与性质有效地解决问题.例如，要研究气温的变化规律，从气象台温度记录仪上收集到如下信息 (图 8-2-1)，怎样来研究气温的变化状况呢?
我们是这样来研究的：(1) 分别用数(数量) T(单位：℃)，(单位：h) 来刻画温度和时间的状态，就得到两个数集，例如，t 的范围为[0，24]，T 的范围为[－2，9].
●不同的数学模型之间有什么区别?●怎样建立函数模型去解决实际问题?
8.2.1几个函数模型的比较
不同的函数模型可以刻画不同的自然现象，不同函数的“变化趋势”也不同. 对不同函数的“变化趋势”的研究和比较，可以加深我们对自然现象的理解.
(1) 用计算器或计算机计算下列各值：
1.012，1.013，1.014，0.992，0.993，0.994.
解：1.012＝1.020 1， 0.992＝0.9801， 1.013＝1.030 301， 0.993＝0.970 299， 1.014＝1.040 604 01， 0.994＝0.960 596 01.
猜测一下，1.01365大概是多少?0.99365大概是多少?
(2) 用计算器或计算机计算下列各值：
1.12，1.13，1.14，0.9，0.92，0.94.
猜测一下，1.1100大概是多少? 1.1260大概是多少?猜测一下，0.9100大概是多少? 0.91000大概是多少?
解：1.12＝1.21， 0.92＝0.81， 1.013＝1.030 301， 0.993＝0.970 299， 1.014＝1.040 604 01， 0.994＝0.960 596 01.
(3) 用计算器或计算机计算一下(1)(2)中的结果，与你的猜测进行比较，谈谈你对“指数爆炸”的理解.
解：1.01365≈37.8， 0.99365≈0.03， 1.1100≈13 781， 0.9100≈2.656×10－5， 1.1260≈57 822 669 934， 0.91000≈1.748×10 －46.
一、“指数爆炸”的含义：
(1) 在同一个直角坐标系中画出下列 4 个函数在区间(0，＋∞) 上的图象：y＝2x，y＝x2，y＝x0.5，y＝ lg2x.
结合这 4 个函数的图象，比较它们随着 x 的增大函数值增长的快慢，并指出：当x 的值足够大(x＞16)的时候，这4 个函数的值的大小关系；
解 这4个函数的图象如图8-2-2所示.
由图8-2-2可知：当0＜x＜2时，0＜x＜2＜4；当x＝2时，2x＝x2＝4；当2＜x＜4时，4＜2＜x＜16；当x＝4时，2x＝x2＝16；
当x＞4时，16＜x2＜2.对应地，当 0＜x＜4时，0＜lg2x＜x0.5＜2；
当x＝4时，x0.5－lg2x＝2；当4＜x＜16时，2＜x0.5＜lg2x＜4；当x＝16时，x0.5＝lg2x＝4；当x＞16 时，x0.5＞lg2x.
可以发现：当 x 的值足够大(x＞16)时，这 4 个函数值的大小关系是2x＞x2＞x0.5＞lg2x.
(2) 先想象下列两组函数图象之间的关系，再用数值验算，提出更一般的猜想.① y＝1.01x与y＝x100；② y＝x0.25与y＝lgx.
解 ①可以想象，在区间 (0，＋∞) 上，函数 y＝1.01x 与 y＝x10 的图象都是随着 x 的增大而上升的，函数值的大小有如下特征： 当0＜x＜1时，1.01x＞x10； 当2≤x≤9000时，1.01x＜x10，
例如，当 x＝9 000时， 1.019000 ≈7.8×1038，9 00010≈3.5×1039，显然 1.019000 ＜9 00010；当 x ≥ 10 000 时，1.01x＞x10，例如，当x＝10000时， 1.0110000≈1.6×1043，10 00010 ≈ 1040，显然 1.0110000 ＞ 10 00010.
②可以想象，在区间 (0， ＋∞) 上，函数 y＝x与y＝lgx的图象都是随着x 的增大而上升的，函数值的大小有如下特征： 当0＜x＜10时，x0.1＞1＞lg x； 当30≤x＜1010时，x0.1＜lgx， 例如，当x＝30时，300.1≈1.405 1，lg 30≈1.477 1， 显然 300.1 ＜ lg 30；
当 x＝10 时，x0.1＝lgx＝10；当 x＞10 时，x0.1＞lg x，例如，当x＝1011 时，(1011)0.1≈12.59，lg1011≈11，显然(1011)0.1＞lg1011.因此，我们可以得到更一般的猜想：对于指数函数 y＝a (a＞1)，幂函数 y＝xa(a＞0)和对数函数y＝lgax (a＞1)，当x足够大时，总有ax＞xa＞lgax.
(3) 借助图形计算器或计算机，作出下列两组函数的图象，验证你在(2)中的猜想.① y＝2x与y＝x100；②y＝x0.25与y＝lg2x.
解 借助图形计算器或计算机，观察函数 y＝2x，y＝x100 的图象(图 8-2-3)，可以发现：当x的值从 0 开始增大时，随着 x 的增大，当0≤x≤1时，2x＞x100；之后很快有 2x＜x100，直到 x＞997 时，总有2x＞x100.
同样，借助图形计算器或计算机，观察函数 y＝x0.25，y＝lg2x 的图象(图8-2-4)，可以发现：当从4 开始增大时，一直有x0.25＜lg2x，直到x＞65536时，总有 x0.25＞lg2x.
由此，我们进一步验证了(2) 中的猜想：当 足够大时，总有ax＞xa＞lgax.
二、三种函数的增长速度的比较
对于指数函数 y＝ax(a＞1)，幂函数 y＝xα (α＞0) 和对数函数 y＝lgax (a＞1)，当 x 足够大时，总有_______________.
(1)本质： 通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的差异.(2)应用： 根据现实的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.
在三种函数增长关系的结论中，怎样理解“总会存在一个x0”?
提示：因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，三种函数以不同的速度增加. 使函数值相等的值可视为临界点就是x0，因此可以理解为自变量足够大时一定会出现x0.当然x0不唯一，比x0大的任意一个实数也可以作为x0.
2. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.
3. 有一组实验数据如表所示：
解析：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变.
1. 下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( ) A. y＝100B. y＝100x C. y＝1.01x D. y＝lg2x
解析：结合函数 y＝100，y＝100x，y＝1.01x及 y＝lg2x 的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是 y＝1.01x.
2. 如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N. 当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t的函数关系的图象是( )
3. 三个变量 y1，y2，y3 随着变量x的变化情况如表：
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( ) A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2
解析 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律.
4. 函数 y＝x2与函数 y＝x lg x在区间 (0，＋∞) 上增长较 快的一个是___________.
解析：当x变大时，x 比 lg x 增长要快， 所以 x2 要比 x lg x 增长的要快.
5. 某电脑公司六年来电脑年产量y(台)与生产时间x(年)的函数关系如图.有下列说法：① 前三年产量增长速度越来越快；② 前三年产量增长速度越来越慢；③ 后三年这种产品停止生产；④ 后三年产量保持不变.其中说法正确的是_______.(填序号)
练 习
1. 利用计算器或计算机，计算下表中与 的值对应的函数 y＝0.99x与 y＝1.01x 的 值 (精确到 0.000 1)：
2. 利用图形计算器或计算机，在同一个直角坐标系中画出下列各组两个函数在区间 (0， ＋∞) 上的图象，并结合函数的图象，比较它们随着 x 的增大函数值增长的快慢，并指出当 x 的值足够大的时候，这两个函数值的大小关系.
(1) y＝10x，y＝x100；
(2) y＝x0.6，y＝lg1.5x；
(3) y＝1.01x，y＝x2；
(4) y＝x－2，y＝2－x.
解 y＝10x 红色图象，y＝x100蓝色图象.
在 (0，＋∞) 上，y＝10x的图象初期在 y＝x100 的图象的上方，随着x的增大图象变化到 y＝x100 的图象的下方，当x的值足够大，图象又变化到 y＝x100 的图象的上方，
即相对于 y＝x100来说，y＝10x的图象增长的速度先快后慢，当x的值足够大，y＝10x的图象增长的速度越来越快，并远远超过 y＝x100 的增长速度.
解 y＝x0.6 红色图象，y＝lg1.5x蓝色图象.
在(0，＋∞)上，y＝x0.6 的图象起点高，所以初期图象在 y＝lg1.5x 的上方，相对于 y ＝lg1.5x 来说，y＝x0.6 的图象增长的速度先慢后快，随着的增大，y＝x0.6 的图象变化到 y＝lg1.5x 的图象的下方，当x的值足够大，图象又变化到y＝lg1.5x的图象的上方.
解 y＝1.01x 红色图象，y＝x2 蓝色图象.
在(0， ＋∞)上，y＝1.01x 的图象初期在 y 的图象的上方，随着x的增大图象变化到 y＝x2 的图象的下方，当 x 的值足够大，图象又变化到 y＝x2 的图象的上方，即相对于 y＝x2 来说，y＝1.01x 的图象增长的速度先快后慢，当x的值足够大，y＝1.01x 的图象增长的速度越来越快，并远远超过 y＝x2 的增长速度.
解 y＝x－2红色图象，y＝2－x 蓝色图象.
y＝x－2和 y＝2－x在 (0，＋∞) 上都是单调递减的函数，y＝2－x的图象初期在 y＝x－2 的图象的下方，随着x的增大图象变化到y＝x－2的图象的上方，当x的值足够大，图象又变化到 y＝x－2 的图象的下方，即相对于y＝x－2来说， y＝2－x的图象减小的速度先慢后快，当x的值足够大， y＝2－x 的图象减小的速度越来越快，并远远超过 y＝x－2 的减小速度.
8.2.2函数的实际应用
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具. 利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题.
●怎样建立函数模型，解决实际问题?●怎样选择合适的数学模型刻画客观世界的变化规律?
某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200 万元，生产每台计算机的可变成本为 3 000 元，每台计算机的售价为5 000 元.分别写出总成本 C (单位：万元)单位成本 P (单位：万元)、销售收入 R (单位：万元)以及利润 L (单位：万元)关于总产量 x (单位：台)的函数关系式.
解：总成本与总产量的关系为C＝200＋0.3x，x∈N*. 单位成本与总产量的关系为P＝200x＋0.3，x∈N*. 销售收入与总产量的关系为R＝0.5x，x∈N*. 利润与总产量的关系为L＝R－C＝0.2x－200，x∈N*.
在经济学中，函数 f(x) 的边际函数 Mf(x) 定义为 Mf(x) ＝ f(x＋1)－f(x). 某公司每月最多生产100 台报警系统装置，生产 x 台(x∈N*) 的收入函数为 R(x)＝3000x－20x (单位：元)，其成本函数为 C(x)＝500x＋4000 (单位：元)，利润是收入与成本之差. (1) 求利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x)； (2) 利润函数 P(x) 与边际利润函数 MP(x) 是否具有相同的最大值?
(1) 求利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x)；
解 由题意知，x∈[1，100]，且 x∈N*. P(x)＝R(x)－C(x)＝3000x－20x2－(500x＋4 000) ＝－20x2＋2500x－4000， MP(x)＝P(x＋1)－P(x) ＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1) －4000－ (－20x2＋2500x－4 000) ＝ 2 480－40x.
(2) 利润函数 P(x) 与边际利润函数 MP(x) 是否具有相同的最大值?
例5 中边际利润函数 MP(x) 当1时取最大值，说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大，即生产第二台报警系统装置利润最大. MP(x)＝2480－40x 是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比在减少.
通过上述 3个例子，我们可以看出，解决实际问题通常按
的程序进行，其中建立数学模型是关键.
1. 某地高山上温度从山脚起每升高 100 m 降低 0.6℃. 已知山顶的温度是14.6 ℃ ，山脚的温度是 26 ℃. 问：此山有多高?
解 设从山脚起每升高x百米时，温度为y摄氏度根据题意得 y＝26－0.6x，山顶温度是14.6摄氏度，代入得14.6＝26－0.6x.∴x＝19 (百米)，∴山的相对高度是1900米.
2. 某车站有快、慢两种车，始发站距终点站 7.2km，慢 车到终点站需16 min，快车比慢车晚发车 3 min，且行 驶 10 min 后到达终点站. 试分别写出两车所行路程关 于慢车行驶时间的函数关系式. 两车在何时相遇?相遇 时距始发站多远?
解 慢车所行路程 y1与时间 x的函数关系式为 y1 ＝ 0.45x (0 ＜x≤16)，
4. 某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了 300 元，回来后发现有 12 个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按每个高出成本价 1元售出售完后共赚得 78 元. 问：这两椰子原来共有多少个?
5. 已知镭经过 100 年剩留原来的 95.76%，设质量为1的镭经过年后的剩留量为y，则 x，y的函数关系是怎样的? 试写出.
解 设镭的年衰减率为r，镭开始的质量为1， 则一年后镭的剩留量为：1－1×r＝1－r， 二年后镭的剩留量为：(1－r)－(1－r)r＝(1－r)2， 三年后镭的剩留量为： (1－r)2－(1－r)2r＝(1－r)3， ······
1. 已知某产品今年年产量是 m 件，计划以后每年的产量 比上一年增加 20%，写出 x 年后该产品的年产量 y 与 x 之间的函数关系式.
解 1年后，年产量为 y＝m·(1＋20%)＝1.2m (件)； 2年后，年产量为 y＝1.2m·(1＋20%)＝1.22m (件)；
3年后，年产量为 y＝1.22m·(1＋20%)＝1.23m (件)；······x年后年产量为 y＝m·1.2x(件).所以x年后该产品的年产量y与x之间的函数关系式为y＝m·12x(x∈N*)
3. 一种放射性元素，最初质量为1000g，按每年10%衰减.
(1) 写出 x 年后这种放射性元素质量 y 与 之间的函数 关系式；(2) 求这种放射性元素的半衰期(放射性物质的质量衰 减为原来的一半所需要的时间). (精确到 0.1)
(1) 写出 x 年后这种放射性元素质量 y 与 之间的函数 关系式；
解 最初的质量为1000g， 经过1年，y＝1000(1－10%) ＝1000×0.9， 经过2年，y＝1000(1－10%)2＝1000×0.92， 经过x年，y＝1000(1－10%)3＝1000×0.9x， 所以年x后这种放射性元素质量y与x之间的函数关系是y＝1000×0.9x，x＞0.
(2) 求这种放射性元素的半衰期(放射性物质的质量衰 减为原来的一半所需要的时间). (精确到 0.1)
4. 某工厂第一季度某产品月生产量分别为 10 000 件、 12 000 件13 000 件为了估测以后每个月的产量，以这 3 个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产 量 y (单位：件) 与月份 x 的关系. 模拟函数可以选用二 次函数或函数 y＝abx＋c(其中a，b，c 为常数)已知4月 份的产量为13 600件，问：用以上哪个函数作为模拟 函数较好?为什么?
解 选二次函数作为模拟函数时，设 f(x)＝px2＋qx＋r (p≠ 0).
故 f(x)＝－500x2＋3500x＋7000. f(x)＝500x＋3500x＋7000. f(4)＝－500×4＋3500×4＋7000＝13000(件).
经比较可知，13500件比13000件更接近于4月份的产量13600件，故选用指数型函数 y＝－ 8000×0.5x＋14000 作为模拟函数较好.
5. 甲、乙两家电子商店同时上市一批移动硬盘原价 800 元/个. 为了促销，甲商店推出如下优惠政策：买 1个，单价为 780 元；买 2个，单价为 760元······依此类推，每多买1个，则单价减少 20 元，但价格底线为440 元/个商店一律按原价的 75%降价促销. 某单位需购买一批该型号的移动硬盘问：选择去哪一家商店购买，才能使得花费较少?
y乙＝800×0.75x＝600x，当x＝10时，y甲＝y乙；当1≤x≤10时，y甲－y乙＝200x－20x2＝20x(10－x)＞0，∴ y甲＞ y乙.当x＞10时， y甲－y乙＝20x(10－x)＜0，∴ y甲＜ y乙. 综上可知：当个数大于10个时，在甲商店买便宜；当个数小于10个时，在乙商店买便宜；当买10个时，两商店一样.
6. 某建材实验室在做陶粒混凝土强度实验中，考察每立方米混凝土的水泥用量 x (单位：kg) 对 28 天后的混凝土抗压强度 y (单位：kg/m) 的影响，测得如下数据：
试建立适当的数学模型回答以下问题：
(1) 每立方米混凝土中增加 1 kg 水泥时，可提高抗压强度多少?
解：画出散点图，如图所示
由散点图可设函数解析式为y＝kx＋b.取(160，58.3)，(260，89.7) 代入解得 k＝0.314，b＝8.06，所以近似方程为y＝0.314x＋8.06，所以每立方米混凝土中增加1kg水泥时，可提高抗压强度0.314 kg/m2；
(2) 当 x＝225 (kg) 时，y 的预测值是多少?
解 当x＝225(kg) 时， y＝0.314×225＋8.06＝78.71kg/m2， 即y的预测值是78.71kg/m2.
7. 某公司今年头 6 个月的月利润如下表所示：
假定短期内利润增长基本符合对数规律，预测一下今年 7，8 两个月的月利润各是多少.
解：由题意设利润随月份增长的函数解析式为y＝klgax＋b，
8. (写作题) 到学校附近的农村、工厂、商店、机关作调 查，了解函数模型在生产生活中的应用，收集一些生 活中的函数模型 (指数函数、对数函数幂函数分段函 数等) 实例，并做出分析，写成调查报告.
解 我国现有人口约13亿.如果今后能将人口平均增长率控制在1%，x为年份，y(亿)为人口数.
分段函数：某城市出租汽车收费标准为：当行程不超过3km时，收费7元；行程超过3km，但不超过10km时，在收费7元的基础上，超过3km的部分每公里收费1.0元，不足1km的按1km算；超过10km时，超过部分除每公里收费1.0元外，再加收50%的回程空驶费，求车费 y (元) 与路程 x (km) 之间的函数解析式
问题 生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温.研究表明，消耗的能量 E 与通过心脏的血流量Q成正比. 根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比，表1给出了一些动物体重与脉搏率对应的数据.
(1) 根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型；(2) 建立脉搏率与体重关系的数学模型；(3) 根据表 1，作出动物的体重和脉搏率的散点图，验证所建立的数学模型.
简化假设 为了建立数学模型，需要了解一些生物学概念，例如，血流量 Q 是单位时间流过的血量，脉博率 f 是单位时间心跳的次数；还需要知道一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量 q 与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比.
建立模型 (1) 因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量 E 与身体的表面积 S 成正比，即 E＝p1S. 又因为动物体内消耗的能量 E 与通过心脏的血流量 Q 成正比，即 E＝p2Q. 由此可得 Q＝S，其中 p1，p2 和 p为均为正的比例系数.
(3) 我们用 Excel作出数据的散点图：在工作表中输入数据，选中数据区，按“插入/图表/散点图”的顺序作出散点图(图 1).
右击数据点，选择“添加趋势线”，在 6 种类型中分别选择指数幂、二次多项式等趋势线，根据显示的“R平方值”，选择最大的一个. 因此，采用幂函数模型，在“选项”中选定“显示公式”和“显示 R平方值”复选框，得到图 2.
可以看出，得到的拟合模型 f＝1790.9 W－0.298 与(2)中建立的数学模型接近.
(2) 当所给的数据差异较大时，可以对已知数据取对数，从而使变换后的数据变得“均匀”，有利于发现趋势或规律.
本例中将体重 W 与脉搏率分别取自然对数后作出的散点图如图 3 所示. 直观地看出，变换后的数据点分布均匀，并近似地在一条直线上.
(3) 数据拟合是研究变量之间的关系，并给出近似数学表达式的一种方法. 根据拟合模型,我们还可以对某变量进行预测或控制. 在解决数据拟合问题时，首先应作出数据的散点图，然后通过观察散点的趋势选用相应的模型进行拟合. 为使散点图更清晰，可将数据适当简化或变换.
下表给出了八大行星与冥王星离太阳的距离和它们运行的周期，试建立这两组数据之间的关系.
解：在Excel表格中作出散点图，添加趋势线显示公式(模拟函数)，
一次函数模型为 y＝14.928x－4584.3，二次函数模型为 y＝0.0015x2＋6.410 9x－799.11.
音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.——G莱布尼茨
传说毕达哥拉斯很喜欢弹古希腊的七弦琴，他发现，当弦的粗细不变时，拨弄弦弹出的声音音高取决于各弦的长度，当弦的长度成简单的整数比时，它就发出和谐的声音.
从那时起，音乐的研究与数学连成了一体，数学家和音乐家都试图弄清音乐声音的本质，扩大音乐与数学两者之间的联系.
先考虑由音叉发出的简单的声音.
有些声音悦耳动听，有些声音则叫人无法忍受. 同一个音符，为什么小提琴和钢琴发出的声音传到耳朵里会有不同的效果呢? 观察发现，所有声音的图象都呈现周期性.
我们可以用小提琴和单簧管的声音图象加以证实，也可以用 father 一词中a 的声音的图象来证实，如图1所示.
如图 1所示的这种具有周期性的声音，在整体上来说是悦耳的称为音乐声音.
1807年，法国著名数学家傅里叶 (Furier.1768-1830) 用一个幼粹的数学定理表述了这种规则特征：代表任何周期性声音的公式是形如 Asinωt 的简单正弦函数之和，而且这些正弦函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍. 比如说图1中的小提琴的声音图象公式基本上是y＝0.06sin1000πt－0.02sin2 000πt－0.0lsin3 000πt.
首先，这个公式是简单的正弦表达式之和：其次，第 1项的频率是500，第2项的频率是1000，第3项的频率是1500. 因此，第2项和第3项的频率是最低频率的整数倍，这些简单三角函数的图象如图 2 所示.
例如，一个音质与上面的小提琴音质完全相同的声音，能够由 3个具有适当相关音量的、每个频率分别为 500，1 000，1500 的音叉同时发声而产生.因此，从理论上来讲，完全可以由音叉来演奏贝多芬第九交响曲.
通过傅里叶定理，我们明白了一般的音乐声音的数学特征：各种声音都可以归于一些简单声音的基本组合，而这些简单声音在数学上又不会比简单的三角函数更复杂. 上面简单的描述表明，数学已经深深地渗入到音乐领域中了
8 . 2 函数与数学模型
函数可以刻画事物变化过程中有依赖关系的两个变量之间的关系，我们能运用函数的概念与性质有效地解决问题.例如，要研究气温的变化规律，从气象台温度记录仪上收集到如下信息 (图 8-2-1)，怎样来研究气温的变化状况呢?
我们是这样来研究的：(1) 分别用数(数量) T(单位：℃)，(单位：h) 来刻画温度和时间的状态，就得到两个数集，例如，t 的范围为[0，24]，T 的范围为[－2，9].
●不同的数学模型之间有什么区别?●怎样建立函数模型去解决实际问题?
8.2.1几个函数模型的比较
不同的函数模型可以刻画不同的自然现象，不同函数的“变化趋势”也不同. 对不同函数的“变化趋势”的研究和比较，可以加深我们对自然现象的理解.
(1) 用计算器或计算机计算下列各值：
1.012，1.013，1.014，0.992，0.993，0.994.
解：1.012＝1.020 1， 0.992＝0.9801， 1.013＝1.030 301， 0.993＝0.970 299， 1.014＝1.040 604 01， 0.994＝0.960 596 01.
猜测一下，1.01365大概是多少?0.99365大概是多少?
(2) 用计算器或计算机计算下列各值：
1.12，1.13，1.14，0.9，0.92，0.94.
猜测一下，1.1100大概是多少? 1.1260大概是多少?猜测一下，0.9100大概是多少? 0.91000大概是多少?
解：1.12＝1.21， 0.92＝0.81， 1.013＝1.030 301， 0.993＝0.970 299， 1.014＝1.040 604 01， 0.994＝0.960 596 01.
(3) 用计算器或计算机计算一下(1)(2)中的结果，与你的猜测进行比较，谈谈你对“指数爆炸”的理解.
解：1.01365≈37.8， 0.99365≈0.03， 1.1100≈13 781， 0.9100≈2.656×10－5， 1.1260≈57 822 669 934， 0.91000≈1.748×10 －46.
一、“指数爆炸”的含义：
(1) 在同一个直角坐标系中画出下列 4 个函数在区间(0，＋∞) 上的图象：y＝2x，y＝x2，y＝x0.5，y＝ lg2x.
结合这 4 个函数的图象，比较它们随着 x 的增大函数值增长的快慢，并指出：当x 的值足够大(x＞16)的时候，这4 个函数的值的大小关系；
解 这4个函数的图象如图8-2-2所示.
由图8-2-2可知：当0＜x＜2时，0＜x＜2＜4；当x＝2时，2x＝x2＝4；当2＜x＜4时，4＜2＜x＜16；当x＝4时，2x＝x2＝16；
当x＞4时，16＜x2＜2.对应地，当 0＜x＜4时，0＜lg2x＜x0.5＜2；
当x＝4时，x0.5－lg2x＝2；当4＜x＜16时，2＜x0.5＜lg2x＜4；当x＝16时，x0.5＝lg2x＝4；当x＞16 时，x0.5＞lg2x.
可以发现：当 x 的值足够大(x＞16)时，这 4 个函数值的大小关系是2x＞x2＞x0.5＞lg2x.
(2) 先想象下列两组函数图象之间的关系，再用数值验算，提出更一般的猜想.① y＝1.01x与y＝x100；② y＝x0.25与y＝lgx.
解 ①可以想象，在区间 (0，＋∞) 上，函数 y＝1.01x 与 y＝x10 的图象都是随着 x 的增大而上升的，函数值的大小有如下特征： 当0＜x＜1时，1.01x＞x10； 当2≤x≤9000时，1.01x＜x10，
例如，当 x＝9 000时， 1.019000 ≈7.8×1038，9 00010≈3.5×1039，显然 1.019000 ＜9 00010；当 x ≥ 10 000 时，1.01x＞x10，例如，当x＝10000时， 1.0110000≈1.6×1043，10 00010 ≈ 1040，显然 1.0110000 ＞ 10 00010.
②可以想象，在区间 (0， ＋∞) 上，函数 y＝x与y＝lgx的图象都是随着x 的增大而上升的，函数值的大小有如下特征： 当0＜x＜10时，x0.1＞1＞lg x； 当30≤x＜1010时，x0.1＜lgx， 例如，当x＝30时，300.1≈1.405 1，lg 30≈1.477 1， 显然 300.1 ＜ lg 30；
当 x＝10 时，x0.1＝lgx＝10；当 x＞10 时，x0.1＞lg x，例如，当x＝1011 时，(1011)0.1≈12.59，lg1011≈11，显然(1011)0.1＞lg1011.因此，我们可以得到更一般的猜想：对于指数函数 y＝a (a＞1)，幂函数 y＝xa(a＞0)和对数函数y＝lgax (a＞1)，当x足够大时，总有ax＞xa＞lgax.
(3) 借助图形计算器或计算机，作出下列两组函数的图象，验证你在(2)中的猜想.① y＝2x与y＝x100；②y＝x0.25与y＝lg2x.
解 借助图形计算器或计算机，观察函数 y＝2x，y＝x100 的图象(图 8-2-3)，可以发现：当x的值从 0 开始增大时，随着 x 的增大，当0≤x≤1时，2x＞x100；之后很快有 2x＜x100，直到 x＞997 时，总有2x＞x100.
同样，借助图形计算器或计算机，观察函数 y＝x0.25，y＝lg2x 的图象(图8-2-4)，可以发现：当从4 开始增大时，一直有x0.25＜lg2x，直到x＞65536时，总有 x0.25＞lg2x.
由此，我们进一步验证了(2) 中的猜想：当 足够大时，总有ax＞xa＞lgax.
二、三种函数的增长速度的比较
对于指数函数 y＝ax(a＞1)，幂函数 y＝xα (α＞0) 和对数函数 y＝lgax (a＞1)，当 x 足够大时，总有_______________.
(1)本质： 通过数据运算、图象的变化归纳出三种函数的增长特点和增长速度的差异.(2)应用： 根据现实的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律.
在三种函数增长关系的结论中，怎样理解“总会存在一个x0”?
提示：因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，三种函数以不同的速度增加. 使函数值相等的值可视为临界点就是x0，因此可以理解为自变量足够大时一定会出现x0.当然x0不唯一，比x0大的任意一个实数也可以作为x0.
2. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.
3. 有一组实验数据如表所示：
解析：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变.
1. 下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是( ) A. y＝100B. y＝100x C. y＝1.01x D. y＝lg2x
解析：结合函数 y＝100，y＝100x，y＝1.01x及 y＝lg2x 的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是 y＝1.01x.
2. 如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N. 当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t的函数关系的图象是( )
3. 三个变量 y1，y2，y3 随着变量x的变化情况如表：
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( ) A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2
解析 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律.
4. 函数 y＝x2与函数 y＝x lg x在区间 (0，＋∞) 上增长较 快的一个是___________.
解析：当x变大时，x 比 lg x 增长要快， 所以 x2 要比 x lg x 增长的要快.
5. 某电脑公司六年来电脑年产量y(台)与生产时间x(年)的函数关系如图.有下列说法：① 前三年产量增长速度越来越快；② 前三年产量增长速度越来越慢；③ 后三年这种产品停止生产；④ 后三年产量保持不变.其中说法正确的是_______.(填序号)
练 习
1. 利用计算器或计算机，计算下表中与 的值对应的函数 y＝0.99x与 y＝1.01x 的 值 (精确到 0.000 1)：
2. 利用图形计算器或计算机，在同一个直角坐标系中画出下列各组两个函数在区间 (0， ＋∞) 上的图象，并结合函数的图象，比较它们随着 x 的增大函数值增长的快慢，并指出当 x 的值足够大的时候，这两个函数值的大小关系.
(1) y＝10x，y＝x100；
(2) y＝x0.6，y＝lg1.5x；
(3) y＝1.01x，y＝x2；
(4) y＝x－2，y＝2－x.
解 y＝10x 红色图象，y＝x100蓝色图象.
在 (0，＋∞) 上，y＝10x的图象初期在 y＝x100 的图象的上方，随着x的增大图象变化到 y＝x100 的图象的下方，当x的值足够大，图象又变化到 y＝x100 的图象的上方，
即相对于 y＝x100来说，y＝10x的图象增长的速度先快后慢，当x的值足够大，y＝10x的图象增长的速度越来越快，并远远超过 y＝x100 的增长速度.
解 y＝x0.6 红色图象，y＝lg1.5x蓝色图象.
在(0，＋∞)上，y＝x0.6 的图象起点高，所以初期图象在 y＝lg1.5x 的上方，相对于 y ＝lg1.5x 来说，y＝x0.6 的图象增长的速度先慢后快，随着的增大，y＝x0.6 的图象变化到 y＝lg1.5x 的图象的下方，当x的值足够大，图象又变化到y＝lg1.5x的图象的上方.
解 y＝1.01x 红色图象，y＝x2 蓝色图象.
在(0， ＋∞)上，y＝1.01x 的图象初期在 y 的图象的上方，随着x的增大图象变化到 y＝x2 的图象的下方，当 x 的值足够大，图象又变化到 y＝x2 的图象的上方，即相对于 y＝x2 来说，y＝1.01x 的图象增长的速度先快后慢，当x的值足够大，y＝1.01x 的图象增长的速度越来越快，并远远超过 y＝x2 的增长速度.
解 y＝x－2红色图象，y＝2－x 蓝色图象.
y＝x－2和 y＝2－x在 (0，＋∞) 上都是单调递减的函数，y＝2－x的图象初期在 y＝x－2 的图象的下方，随着x的增大图象变化到y＝x－2的图象的上方，当x的值足够大，图象又变化到 y＝x－2 的图象的下方，即相对于y＝x－2来说， y＝2－x的图象减小的速度先慢后快，当x的值足够大， y＝2－x 的图象减小的速度越来越快，并远远超过 y＝x－2 的减小速度.
8.2.2函数的实际应用
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具. 利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题.
●怎样建立函数模型，解决实际问题?●怎样选择合适的数学模型刻画客观世界的变化规律?
某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200 万元，生产每台计算机的可变成本为 3 000 元，每台计算机的售价为5 000 元.分别写出总成本 C (单位：万元)单位成本 P (单位：万元)、销售收入 R (单位：万元)以及利润 L (单位：万元)关于总产量 x (单位：台)的函数关系式.
解：总成本与总产量的关系为C＝200＋0.3x，x∈N*. 单位成本与总产量的关系为P＝200x＋0.3，x∈N*. 销售收入与总产量的关系为R＝0.5x，x∈N*. 利润与总产量的关系为L＝R－C＝0.2x－200，x∈N*.
在经济学中，函数 f(x) 的边际函数 Mf(x) 定义为 Mf(x) ＝ f(x＋1)－f(x). 某公司每月最多生产100 台报警系统装置，生产 x 台(x∈N*) 的收入函数为 R(x)＝3000x－20x (单位：元)，其成本函数为 C(x)＝500x＋4000 (单位：元)，利润是收入与成本之差. (1) 求利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x)； (2) 利润函数 P(x) 与边际利润函数 MP(x) 是否具有相同的最大值?
(1) 求利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x)；
解 由题意知，x∈[1，100]，且 x∈N*. P(x)＝R(x)－C(x)＝3000x－20x2－(500x＋4 000) ＝－20x2＋2500x－4000， MP(x)＝P(x＋1)－P(x) ＝－20(x＋1)2＋2 500(x＋1) －4000－ (－20x2＋2500x－4 000) ＝ 2 480－40x.
(2) 利润函数 P(x) 与边际利润函数 MP(x) 是否具有相同的最大值?
例5 中边际利润函数 MP(x) 当1时取最大值，说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大，即生产第二台报警系统装置利润最大. MP(x)＝2480－40x 是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比在减少.
通过上述 3个例子，我们可以看出，解决实际问题通常按
的程序进行，其中建立数学模型是关键.
1. 某地高山上温度从山脚起每升高 100 m 降低 0.6℃. 已知山顶的温度是14.6 ℃ ，山脚的温度是 26 ℃. 问：此山有多高?
解 设从山脚起每升高x百米时，温度为y摄氏度根据题意得 y＝26－0.6x，山顶温度是14.6摄氏度，代入得14.6＝26－0.6x.∴x＝19 (百米)，∴山的相对高度是1900米.
2. 某车站有快、慢两种车，始发站距终点站 7.2km，慢 车到终点站需16 min，快车比慢车晚发车 3 min，且行 驶 10 min 后到达终点站. 试分别写出两车所行路程关 于慢车行驶时间的函数关系式. 两车在何时相遇?相遇 时距始发站多远?
解 慢车所行路程 y1与时间 x的函数关系式为 y1 ＝ 0.45x (0 ＜x≤16)，
4. 某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了 300 元，回来后发现有 12 个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按每个高出成本价 1元售出售完后共赚得 78 元. 问：这两椰子原来共有多少个?
5. 已知镭经过 100 年剩留原来的 95.76%，设质量为1的镭经过年后的剩留量为y，则 x，y的函数关系是怎样的? 试写出.
解 设镭的年衰减率为r，镭开始的质量为1， 则一年后镭的剩留量为：1－1×r＝1－r， 二年后镭的剩留量为：(1－r)－(1－r)r＝(1－r)2， 三年后镭的剩留量为： (1－r)2－(1－r)2r＝(1－r)3， ······
1. 已知某产品今年年产量是 m 件，计划以后每年的产量 比上一年增加 20%，写出 x 年后该产品的年产量 y 与 x 之间的函数关系式.
解 1年后，年产量为 y＝m·(1＋20%)＝1.2m (件)； 2年后，年产量为 y＝1.2m·(1＋20%)＝1.22m (件)；
3年后，年产量为 y＝1.22m·(1＋20%)＝1.23m (件)；······x年后年产量为 y＝m·1.2x(件).所以x年后该产品的年产量y与x之间的函数关系式为y＝m·12x(x∈N*)
3. 一种放射性元素，最初质量为1000g，按每年10%衰减.
(1) 写出 x 年后这种放射性元素质量 y 与 之间的函数 关系式；(2) 求这种放射性元素的半衰期(放射性物质的质量衰 减为原来的一半所需要的时间). (精确到 0.1)
(1) 写出 x 年后这种放射性元素质量 y 与 之间的函数 关系式；
解 最初的质量为1000g， 经过1年，y＝1000(1－10%) ＝1000×0.9， 经过2年，y＝1000(1－10%)2＝1000×0.92， 经过x年，y＝1000(1－10%)3＝1000×0.9x， 所以年x后这种放射性元素质量y与x之间的函数关系是y＝1000×0.9x，x＞0.
(2) 求这种放射性元素的半衰期(放射性物质的质量衰 减为原来的一半所需要的时间). (精确到 0.1)
4. 某工厂第一季度某产品月生产量分别为 10 000 件、 12 000 件13 000 件为了估测以后每个月的产量，以这 3 个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产 量 y (单位：件) 与月份 x 的关系. 模拟函数可以选用二 次函数或函数 y＝abx＋c(其中a，b，c 为常数)已知4月 份的产量为13 600件，问：用以上哪个函数作为模拟 函数较好?为什么?
解 选二次函数作为模拟函数时，设 f(x)＝px2＋qx＋r (p≠ 0).
故 f(x)＝－500x2＋3500x＋7000. f(x)＝500x＋3500x＋7000. f(4)＝－500×4＋3500×4＋7000＝13000(件).
经比较可知，13500件比13000件更接近于4月份的产量13600件，故选用指数型函数 y＝－ 8000×0.5x＋14000 作为模拟函数较好.
5. 甲、乙两家电子商店同时上市一批移动硬盘原价 800 元/个. 为了促销，甲商店推出如下优惠政策：买 1个，单价为 780 元；买 2个，单价为 760元······依此类推，每多买1个，则单价减少 20 元，但价格底线为440 元/个商店一律按原价的 75%降价促销. 某单位需购买一批该型号的移动硬盘问：选择去哪一家商店购买，才能使得花费较少?
y乙＝800×0.75x＝600x，当x＝10时，y甲＝y乙；当1≤x≤10时，y甲－y乙＝200x－20x2＝20x(10－x)＞0，∴ y甲＞ y乙.当x＞10时， y甲－y乙＝20x(10－x)＜0，∴ y甲＜ y乙. 综上可知：当个数大于10个时，在甲商店买便宜；当个数小于10个时，在乙商店买便宜；当买10个时，两商店一样.
6. 某建材实验室在做陶粒混凝土强度实验中，考察每立方米混凝土的水泥用量 x (单位：kg) 对 28 天后的混凝土抗压强度 y (单位：kg/m) 的影响，测得如下数据：
试建立适当的数学模型回答以下问题：
(1) 每立方米混凝土中增加 1 kg 水泥时，可提高抗压强度多少?
解：画出散点图，如图所示
由散点图可设函数解析式为y＝kx＋b.取(160，58.3)，(260，89.7) 代入解得 k＝0.314，b＝8.06，所以近似方程为y＝0.314x＋8.06，所以每立方米混凝土中增加1kg水泥时，可提高抗压强度0.314 kg/m2；
(2) 当 x＝225 (kg) 时，y 的预测值是多少?
解 当x＝225(kg) 时， y＝0.314×225＋8.06＝78.71kg/m2， 即y的预测值是78.71kg/m2.
7. 某公司今年头 6 个月的月利润如下表所示：
假定短期内利润增长基本符合对数规律，预测一下今年 7，8 两个月的月利润各是多少.
解：由题意设利润随月份增长的函数解析式为y＝klgax＋b，
8. (写作题) 到学校附近的农村、工厂、商店、机关作调 查，了解函数模型在生产生活中的应用，收集一些生 活中的函数模型 (指数函数、对数函数幂函数分段函 数等) 实例，并做出分析，写成调查报告.
解 我国现有人口约13亿.如果今后能将人口平均增长率控制在1%，x为年份，y(亿)为人口数.
分段函数：某城市出租汽车收费标准为：当行程不超过3km时，收费7元；行程超过3km，但不超过10km时，在收费7元的基础上，超过3km的部分每公里收费1.0元，不足1km的按1km算；超过10km时，超过部分除每公里收费1.0元外，再加收50%的回程空驶费，求车费 y (元) 与路程 x (km) 之间的函数解析式
问题 生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持体温.研究表明，消耗的能量 E 与通过心脏的血流量Q成正比. 根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比，表1给出了一些动物体重与脉搏率对应的数据.
(1) 根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型；(2) 建立脉搏率与体重关系的数学模型；(3) 根据表 1，作出动物的体重和脉搏率的散点图，验证所建立的数学模型.
简化假设 为了建立数学模型，需要了解一些生物学概念，例如，血流量 Q 是单位时间流过的血量，脉博率 f 是单位时间心跳的次数；还需要知道一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血量 q 与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成正比.
建立模型 (1) 因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内消耗的能量 E 与身体的表面积 S 成正比，即 E＝p1S. 又因为动物体内消耗的能量 E 与通过心脏的血流量 Q 成正比，即 E＝p2Q. 由此可得 Q＝S，其中 p1，p2 和 p为均为正的比例系数.
(3) 我们用 Excel作出数据的散点图：在工作表中输入数据，选中数据区，按“插入/图表/散点图”的顺序作出散点图(图 1).
右击数据点，选择“添加趋势线”，在 6 种类型中分别选择指数幂、二次多项式等趋势线，根据显示的“R平方值”，选择最大的一个. 因此，采用幂函数模型，在“选项”中选定“显示公式”和“显示 R平方值”复选框，得到图 2.
可以看出，得到的拟合模型 f＝1790.9 W－0.298 与(2)中建立的数学模型接近.
(2) 当所给的数据差异较大时，可以对已知数据取对数，从而使变换后的数据变得“均匀”，有利于发现趋势或规律.
本例中将体重 W 与脉搏率分别取自然对数后作出的散点图如图 3 所示. 直观地看出，变换后的数据点分布均匀，并近似地在一条直线上.
(3) 数据拟合是研究变量之间的关系，并给出近似数学表达式的一种方法. 根据拟合模型,我们还可以对某变量进行预测或控制. 在解决数据拟合问题时，首先应作出数据的散点图，然后通过观察散点的趋势选用相应的模型进行拟合. 为使散点图更清晰，可将数据适当简化或变换.
下表给出了八大行星与冥王星离太阳的距离和它们运行的周期，试建立这两组数据之间的关系.
解：在Excel表格中作出散点图，添加趋势线显示公式(模拟函数)，
一次函数模型为 y＝14.928x－4584.3，二次函数模型为 y＝0.0015x2＋6.410 9x－799.11.
音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受.——G莱布尼茨
传说毕达哥拉斯很喜欢弹古希腊的七弦琴，他发现，当弦的粗细不变时，拨弄弦弹出的声音音高取决于各弦的长度，当弦的长度成简单的整数比时，它就发出和谐的声音.
从那时起，音乐的研究与数学连成了一体，数学家和音乐家都试图弄清音乐声音的本质，扩大音乐与数学两者之间的联系.
先考虑由音叉发出的简单的声音.
有些声音悦耳动听，有些声音则叫人无法忍受. 同一个音符，为什么小提琴和钢琴发出的声音传到耳朵里会有不同的效果呢? 观察发现，所有声音的图象都呈现周期性.
我们可以用小提琴和单簧管的声音图象加以证实，也可以用 father 一词中a 的声音的图象来证实，如图1所示.
如图 1所示的这种具有周期性的声音，在整体上来说是悦耳的称为音乐声音.
1807年，法国著名数学家傅里叶 (Furier.1768-1830) 用一个幼粹的数学定理表述了这种规则特征：代表任何周期性声音的公式是形如 Asinωt 的简单正弦函数之和，而且这些正弦函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍. 比如说图1中的小提琴的声音图象公式基本上是y＝0.06sin1000πt－0.02sin2 000πt－0.0lsin3 000πt.
首先，这个公式是简单的正弦表达式之和：其次，第 1项的频率是500，第2项的频率是1000，第3项的频率是1500. 因此，第2项和第3项的频率是最低频率的整数倍，这些简单三角函数的图象如图 2 所示.
例如，一个音质与上面的小提琴音质完全相同的声音，能够由 3个具有适当相关音量的、每个频率分别为 500，1 000，1500 的音叉同时发声而产生.因此，从理论上来讲，完全可以由音叉来演奏贝多芬第九交响曲.
通过傅里叶定理，我们明白了一般的音乐声音的数学特征：各种声音都可以归于一些简单声音的基本组合，而这些简单声音在数学上又不会比简单的三角函数更复杂. 上面简单的描述表明，数学已经深深地渗入到音乐领域中了
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