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所属成套资源：2023-2024学年七年级数学下册讲练测（华东师大版）
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专题6.1 一元一次方程及等式的性质-2023-2024学年七年级数学下册讲练测（华东师大版）
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这是一份专题6.1 一元一次方程及等式的性质-2023-2024学年七年级数学下册讲练测（华东师大版），文件包含专题61一元一次方程及等式的性质举一反三华东师大版原卷版docx、专题61一元一次方程及等式的性质举一反三华东师大版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
专题6.1 一元一次方程及等式的性质【十大题型】 【华东师大版】 TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc24066" 【题型1 方程及一元一次方程的定义】 PAGEREF _Toc24066 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc17352" 【题型2 利用一元一次方程的定义求值】 PAGEREF _Toc17352 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc3062" 【题型3 方程的解】 PAGEREF _Toc3062 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc10839" 【题型4 列方程】 PAGEREF _Toc10839 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc38" 【题型5 利用等式的性质变形】 PAGEREF _Toc38 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc27344" 【题型6 等式的性质的应用】 PAGEREF _Toc27344 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc10686" 【题型7 利用等式的性质解方程】 PAGEREF _Toc10686 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc26276" 【题型8 方程的解中的遮挡问题】 PAGEREF _Toc26276 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc8084" 【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 PAGEREF _Toc8084 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc20429" 【题型10 方程的解的规律问题】 PAGEREF _Toc20429 \h 16 【知识点1 方程及一元一次方程的定义】 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）一元一次方程的定义： 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 【题型1 方程及一元一次方程的定义】 【例1】（2022•顺德区模拟）下列等式中不是一元一次方程的是（ ） A．2x﹣5＝21 B．40+5x＝100 C．（1+147.30%）x＝8930 D．x（x+25）＝5850 【分析】利用一元一次方程方程的定义判断即可． 【详解】解：x（x+25）＝5850是一元二次方程， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 【变式1-1】（2022秋•博白县期末）下列式子中是方程的是（ ） A．5x+4 B．3x﹣5＜7 C．x﹣2＝6 D．3×2﹣1＝5 【分析】根据方程的定义，含有未知数的等式是方程，判断即可． 【详解】解：A.5x+4，不是方程，故A不符合题意； B.3x﹣5＜7是一元一次不等式，故B不符合题意， C．x﹣2＝6，是方程，故C符合题意； D.3×2﹣1＝5，不是方程，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2022秋•盐城校级期中）下列方程（1）x3=2；（2）5x﹣2＝2x﹣（3﹣2x）；（3）xy＝5；（4）3x+1=−2；（5）x2﹣x＝1；（6）x＝0中一元一次方程有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）． 【详解】解：（1）x3=2、（6）x＝0符合一元一次方程的定义，属于一元一次方程； （2）由5x﹣2＝2x﹣（3﹣2x）得到：x+1＝0，符合一元一次方程的定义，属于一元一次方程； （3）xy＝5中含有2个未知数，属于二元二次方程； （4）3x+1=−2不是整式方程； （5）x2﹣x＝1的未知数的最高次数是2，属于一元二次方程． 综上所述，属于一元一次方程的个数是3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【变式1-3】（2009•江东区质检）在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈（1）中，属于一次方程的序号填入圆圈（2）中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分． ①3x+5＝9：②x2+4x+4＝0；③2x+3y＝5：④x2+y＝0；⑤x﹣y+z＝8：⑥xy＝﹣1． 【分析】根据一次方程与一元一次方程的定义即可解答． 【详解】解：（1）一元方程，①3x+5＝9②x2+4x+4＝0； （2）一次方程①3x+5＝9⑤x﹣y+z＝8③2x+3y＝5； （3）既属于一元方程又属于一次方程的是①3x+5＝9． 【点睛】此题很简单，关键是熟知一次方程与一元一次方程的定义即可解答． 【题型2 利用一元一次方程的定义求值】 【例2】（2022•市中区模拟）若方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m﹣1|的值为（ ） A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2 【分析】根据一元一次方程的定义知m2﹣1＝0，且﹣m﹣1≠0，据此可以求得代数式|m﹣1|的值． 【详解】解：由已知方程，得 （m2﹣1）x2﹣（m+1）x+2＝0． ∵方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是关于x的一元一次方程， ∴m2﹣1＝0，且﹣m﹣1≠0， 解得，m＝1， 则|m﹣1|＝0． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1． 【变式2-1】（2022秋•婺源县期末）已知方程x2k-1+k＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（ ） A．﹣1 B．1 C．12 D．−12 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．根据定义可列出关于k的方程，求解即可． 【详解】解：由一元一次方程的特点得，2k﹣1＝1， 解得：k＝1， ∴一元一次方程是：x+1＝0 解得：x＝﹣1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【变式2-2】（2010秋•江阴市校级期末）如果（a﹣2）x|a|-1﹣2＝0是一元一次方程，那么a是 ﹣2 ． 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此可得出关于a的式子，进而求出a的值． 【详解】解：由题意，得|a|−1=1a−2≠0， 解得：m＝﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的次数是1，一次项系数不等于0，这是这类题目考查的重点． 【变式2-3】（2022秋•鄂州月考）（3a+2b）x2+ax+b＝0是关于x的一元一次方程，且x有唯一解，则x＝ 1.5 ． 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．高于一次的项系数是0，据此可得出3a+2b＝0且a≠0，再用b表示a，代入原方程，即可得出x的值． 【详解】解：方程（3a+2b）x2+ax+b＝0是关于x的一元一次方程，且有唯一解， 则3a+2b＝0且a≠0， 因为a=−23b，b≠0， 把a=−23b代入ax+b＝0，得 −23bx+b＝0， 所以，−23x+1＝0， 解得x＝1.5． 故答案为：1.5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【知识点2 方程的解】 方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 【题型3 方程的解】 【例3】（2010秋•温州期末）若关于x的方程mx＝4﹣x的解是整数，则非负整数m的值为 0或1或3 ． 【分析】先用m的代数式表示x的值，再根据方程的解是整数，求非负整数m的值即可． 【详解】解：由方程mx＝4﹣x，得：x=4m+1， ∵方程的解是整数， ∴非负整数m的值为0或1或3． 故答案为：0或1或3． 【点睛】本题主要考查了方程解的定义，关键会用m的代数式表示方程的解． 【变式3-1】（2008秋•番禺区期末）已知关于x的方程4ax+5＝﹣3﹣a的解为x=12，则3a+5的值为 ﹣3 ． 【分析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，从而可求出a的值，然后将其代入求值式即可得到答案． 【详解】解：方法1：把x=12代入方程，得：4×12a+5＝﹣3﹣a， 解得：a=−83． ∴3a+5＝3×（−83）+5＝﹣3． 方法2：把x=12代入方程，得：4×12a+5＝﹣3﹣a，即2a+5＝﹣3﹣a，3a+5＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 【变式3-2】（2022秋•锦江区校级期末）对于正整数n，阶乘符号n!表示从n到1的整数的乘积（例如：6!＝6×5×4×3×2×1），则满足方程5!•9!＝N！•12的N的值为 10 ． 【分析】根据阶乘符号n!表示从n到1的整数的乘积，进行计算即可． 【详解】解：∵5!•9!＝N！•12， ∴5×4×3×2×1•9!＝N！•12， ∴12×10•9!＝N！•12， ∴10!＝N!， ∴N＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了方程的解，有理数的混合运算，熟练掌握阶乘符号n!表示从n到1的整数的乘积，进行计算是解题的关键． 【变式3-3】（2022春•黔江区期末）已知关于x的方程2x﹣3=m3+x的解满足|x|＝1，则m的值是（ ） A．﹣6 B．﹣12 C．﹣6或﹣12 D．6或12 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．就得到一个关于m的方程，解方程就可求出m． 【详解】解：∵|x|＝1∴x＝±1 当x＝1时，代入方程得：2﹣3=m3+1， 解得：m＝﹣6； 当x＝﹣1时，代入方程得：﹣2﹣3=m3−1， 解得：m＝﹣12 ∴m＝﹣6或﹣12 故选：C． 【点睛】本题主要考查了方程解的定义，已知|x|＝1即已知方程的解是±1，方程的解实际就是得到了两个关于m的方程． 【题型4 列方程】 【例4】（2022秋•泗水县期末）一根细铁丝用去23后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为 x−23x＝2 ． 【分析】设铁丝的原长为xm，用去全长的23后还剩2m，根据题意可得出数量关系式：铁丝的全长﹣铁丝全长×23=剩下铁丝的长度，据此可列出方程． 【详解】解：设铁丝的原长为xm， 由题意，得：x−23x＝2． 故答案为：x−23x＝2． 【点睛】本题考查学生利用数量关系式列方程，培养学生的分析能力． 【变式4-1】（2022秋•南岗区期末）列等式表示“x的三分之一减y的差等于6”是 13x−y=6 ． 【分析】本题需先根据已知条件“x的三分之一减y的差等于6”，列出等式，即可求出答案． 【详解】解：根据已知条件：“x的三分之一减y的差等于6”， 得：13x−y=6， 故答案为：13x−y=6． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，在解题时要根据已知条件列出等式是本题的关键． 【变式4-2】（2022秋•雨花区校级期末）某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为15m，设宽为xm，列方程为 2（x+x+15）＝210 ． 【分析】先表示出长，再根据长方形的周长公式列出方程即可． 【详解】解：设宽为xm，则长为（x+15）m， 根据题意得，2（x+x+15）＝210． 故答案为：2（x+x+15）＝210． 【点睛】本题考查了一元一次方程，主要利用了长方形的周长公式． 【变式4-3】（2022秋•越秀区校级月考）一件衣服打八折后，售价为88元，设原价为x元，可列方程为 0.8x＝88 ． 【分析】根据打八折后售价等于88元列式即可． 【详解】解：设原价为x元， 根据题意得，0.8x＝88． 故答案为：0.8x＝88． 【点睛】本题考查了方程的定义，理解打折的意义是解题的关键． 【知识点3 等式的性质】 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【题型5 利用等式的性质变形】 【例5】（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） A．若ac=bc，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b C．若a2＝b2，则a＝b D．若−13x＝6，则x＝﹣2 【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、若ac=bc，则a＝b，故A符合题意； B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意； C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意； D、−13x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【变式5-1】（2022•杭州）设x，y，c是有理数，正确的是（ ） A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则xc=yc D．若x2c=y3c，则2x＝3y 【分析】根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意； B、两边都乘以c，故B符合题意； C、c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意； D、两边乘6c，得到，3x＝2y，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键． 【变式5-2】（2022•安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且b=45a+15c，则下列结论正确的是（ ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b） 【分析】根据等式的基本性质，对已知等式进行变形即可． 【详解】解：∵b=45a+15c， ∴5b＝4a+c， 在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a， 在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c． 故选：D． 【点睛】本题主要考查等式的基本性质，结合已知条件及选项，对等式进行合适的变形是解题关键． 【变式5-3】（2022•镇海区校级二模）下列等式变形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果4a＝7b，那么a7=b4，其中正确的有（ ） A．（1）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 【分析】根据等式的性质以及绝对值的性质即可判断． 【详解】解：（1）∵ax＝ay， 当a≠0时，x＝y， 故（1）选项不符合题意； （2）∵a+b＝0， ∴a＝﹣b， ∴a2＝（﹣b）2， 即a2＝b2， 故（2）选项符合题意； （3）∵|a|＝|b|， ∴a＝±b， 故（3）选项不符合题意； （4）∵4a＝7b， 两边同时除以28，可得a7=b4， 故（4）选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的基本性质以及绝对值的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【题型6 等式的性质的应用】 【例6】（2022•石家庄模拟）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ） A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0） B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0） C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0） D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不为0） 【分析】根据等式的性质解答即可． 【详解】解：观察图形，是等式a+c＝b+c的两边都减去c（a，b，c均不为0），利用等式性质1，得到a＝b， 即如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）． 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键． 【变式6-1】（2022•河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ） A． B． C． D． 【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案． 【详解】解：设的质量为x，的质量为y，的质量为：a， 假设A正确，则，x＝1.5y，此时B，C，D选项中都是x＝2y， 故A选项错误，符合题意． 故选：A． 【变式6-2】（2022•芦淞区模拟）有质量分别为11克和17克的砝码若干个，在天平上称出质量为3克的物体，至少要用 13 个这样的砝码． 【分析】由11×8﹣17×5＝3，则可知用11g的砝码8个，17g的砝码5个，即可求解． 【详解】解：∵11×8＝88，17×5＝85， ∴88﹣85＝3， ∴用11g的砝码8个，17g的砝码5个， ∴至少用13个， 故答案为13． 【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 【变式6-3】（2022•利津县一模）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？处只放“■”那么应放“■”（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】首先根据图示可知，2×〇＝△+□（1），〇+□＝△（2），据此判断出〇、△与□的关系，然后判断出结果． 【详解】解：根据图示可得， 2×〇＝△+□①， 〇+□＝△②， 由①、②可得， 〇＝2□，△＝3□， ∴〇+△＝2□+3□＝5□， 故选：A． 【题型7 利用等式的性质解方程】 【例7】（2022秋•饶平县校级期末）利用等式的性质解方程： （1）5+x＝﹣2 （2）3x+6＝31﹣2x． 【分析】（1）在等式的两边同时减去5； （2）在等式的两边同时加上（2x﹣6），然后再除以5． 【详解】（1）5+x＝﹣2 5+x﹣5＝﹣2﹣5 x＝﹣7； （2）3x+6＝31﹣2x 3x+6+2x﹣6＝31﹣2x+2x﹣6 5x＝25 x＝5． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质． 等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立； 2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 【变式7-1】（2022秋•柳江区期中）利用等式的性质解方程并检验：2−14x=3． 【分析】1、根据等式的基本性质解题； 2、检验时，把所求的未知数的值代入原方程，使方程左右两边相等的值才是方程的解． 【详解】解：根据等式性质1，方程两边都减去2， 得：−14x=1， 根据等式性质2，方程两边都乘以﹣4， 得：x＝﹣4， 检验：将x＝﹣4代入原方程，得：左边=2−14×(−4)=3，右边＝3， 所以方程的左右两边相等，故x＝﹣4是方程的解． 【点睛】本题主要考查了利用等式的基本性质解方程． 等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式． 【变式7-2】（2022秋•盂县期中）用等式性质解下列方程： （1）4x﹣7＝13 （2）3x+2＝x+1． 【分析】（1）利用等式的基本性质分别化简得出即可； （2）利用等式的基本性质分别化简得出即可． 【详解】解：（1）4x﹣7＝13 移项得：4x＝20， 方程两边同时除以4得： x＝5； （2）3x+2＝x+1 移项得：3x﹣x＝﹣2+1， 合并同类项得： 2x＝﹣1， 解得：x=−12． 【点睛】此题主要考查了等式的性质，熟练利用等式的性质得出是解题关键． 【变式7-3】（2022秋•三门县期中）利用等式的性质解方程： （1）5﹣x＝﹣2 （2）3x﹣6＝﹣31﹣2x． 【分析】（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案． 【详解】解：（1）两边都减5，得﹣x＝﹣7， 两边都除以﹣1，得 x＝7； （2）两边都加（2x+6），得 5x＝﹣25， 两边都除以5，得 x＝﹣5． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【题型8 方程的解中的遮挡问题】 【例8】（2022秋•玉田县期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1−x−●5，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是 1 ． 【分析】●用a表示，把x＝1代入方程得到一个关于a的方程，解方程求得a的值． 【详解】解：●用a表示，把x＝1代入方程得1＝1−1−a5， 解得：a＝1． 故答案是：1． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键． 【变式8-1】（2022秋•红河州期末）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是 4 ． 【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字． 【详解】解：把x＝2代入方程，得2+▲＝6， 解得▲＝4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式8-2】（2022秋•巴彦县期末）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可． 【详解】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得 2×（9﹣3）﹣■＝9+1， 解得■＝2； 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的解，掌握代入计算法是解题关键． 【变式8-3】（2022秋•郫都区期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了﹣2x+●＝3x，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝﹣1，于是他判断●的值应为 ﹣5 ． 【分析】●用a表示，把x＝1代入方程得到一个关于a的方程，解方程求得a的值． 【详解】解：●用a表示， 把x＝﹣1入方程得：2+a＝﹣3， 解得：a＝﹣5． 故答案是：﹣5． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键． 【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 【例9】（2022秋•雨花区期末）x＝2是方程ax﹣4＝0的解，检验x＝3是不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解． 【分析】x＝3不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解，理由为：由x＝2为已知方程的解，把x＝2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可． 【详解】解：x＝3不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解，理由为： ∵x＝2是方程ax﹣4＝0的解， ∴把x＝2代入得：2a﹣4＝0， 解得：a＝2， 将a＝2代入方程2ax﹣5＝3x﹣4a，得4x﹣5＝3x﹣8， 将x＝3代入该方程左边，则左边＝7， 代入右边，则右边＝1， 左边≠右边， 则x＝3不是方程4x﹣5＝3x﹣8的解． 【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式9-1】（2022春•崇明区期末）x＝1 是 方程x2+3＝3x+1的解．（填“是”或“不是”） 【分析】将x＝1代入到方程的左右两边，看是否相等，即可得出答案． 【详解】解：当x＝1时， x2+3＝12+3＝4， 3x+1＝3+1＝4， ∴x＝1是方程的解， 故答案为：是． 【变式9-2】（2022秋•雨花区校级期末）判断括号内未知数的值是不是方程的根： （1）x2﹣3x﹣4＝0（x1＝﹣1，x2＝1）； （2）（2a+1）2＝a2+1（a1＝﹣2，a2=−43）． 【分析】利用方程解的定义找到相等关系．即将未知数分别代入方程式看是否成立． 【详解】解：（1）当x1＝﹣1时，左边＝1+3﹣4＝0＝右边，则它是该方程的根； 当x2＝1时，左边＝1﹣3﹣4＝﹣6≠右边，则它不是该方程的根； （2）当a1＝﹣2时，左边＝（﹣4+1）2＝9，右边＝4+1＝5，左边≠右边，则它不是该方程的根； 当a2=−43时，左边＝（−43×2+1）2=259，右边＝（−43）2+1=259，左边＝右边，则它是该方程的根． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 【变式9-3】（2022秋•莱山区期末）有下列方程：①13x＝1；②2x﹣3＝1；③23x−32=37；④（x+1）（x+2）＝12；⑤2x−2x=3；⑥2[3x﹣（x﹣3）]﹣3＝11．其中，x＝2是其解的方程有 ②④⑤⑥ ．（填序号） 【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】解：当x＝2时，①的左边=13×2=23，右边＝1，左边≠右边，所以x＝2不是①的解； 当x＝2时，②的左边＝2×2﹣3＝1，右边＝1，左边＝右边，所以x＝2是②的解； 当x＝2时，③的左边=23×2−32=−16，右边=37，左边≠右边，所以x＝2不是③的解； 当x＝2时，④的左边＝3×4＝12，右边＝12，左边＝右边，所以x＝2是④的解； 当x＝2时，⑤的左边＝2×2﹣1＝3，右边＝3，左边＝右边，所以x＝2是⑤的解； 当x＝2时，⑥的左边＝2[3×2﹣（2﹣3）]﹣3＝11，左边＝右边，所以x＝2是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 【点睛】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【题型10 方程的解的规律问题】 【例10】（2022春•卫辉市期中）一列方程如下排列： x4+x−12=1的解是x＝2， x6+x−22=1的解是x＝3， x8+x−32=1的解是x＝4， … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017的方程： x4034+x−20162=1 ． 【分析】根据观察，可发现规律：第一个的分子是x分母是解的二倍，第二个分子是x减比解小1的数，分母是2，可得答案． 【详解】解：由一列方程如下排列： x4+x−12=1的解是x＝2， x6+x−22=1的解是x＝3， x8+x−32=1的解是x＝4， 得第一个的分子是x分母是解的二倍，第二个分子是x减比解小1的数，分母是2， 解是x＝2017的方程：x4034+x−20162=1， 故答案为：x4034+x−20162=1． 【点睛】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键． 【变式10-1】（2002•烟台）先阅读下列一段文字，然后解答问题． 已知：方程x−1x=112的解是x1＝2，x2=−12；方程x−1x=223的解是x1＝3，x2=−13； 方程x−1x=334的解是x1＝4，x2=−14；方程x−1x=445的解是x1＝5，x2=−15． 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x−1x=101011的解，并写出检验． 【分析】认真观察题中的式子，找出规律，再做猜想． 【详解】解：猜想：方程x−1x=101011的解是x1＝11，x2=−111． 检验：当x＝11时，左边＝11−111=101011=右边， 当x=−111时，左边=−111+11＝101011=右边． 【点睛】此题是探求规律题，读懂题意，寻找规律是关键． 【变式10-2】（2022秋•莘县校级月考）有一系列方程，第1个方程是x4−（x﹣2）＝1，解为x=43；第2个方程是x5−（x﹣3）＝1，解为x=104；第3个方程是x6−（x﹣4）＝1，解为x=185，…，根据规律第7个方程x10−（x﹣8）＝1，解为 x=709 ． 【分析】根据已知三个方程的特点及解的特点得到一般性规律，即可确定出第7个方程的解． 【详解】解：根据题意得到第n个方程为x22+n−1−(x−n−1)=1，解为：x=n2+3nn+2（n为正整数）， ∴第7个方程x10−（x﹣8）＝1，解为x=72+7×37+2=709． 故答案为：x=709． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 【变式10-3】（2022春•方城县期中）已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3，x2=23； 又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4，x2=24； 又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5，x2=25； …， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c，x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． （1）关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1＝ 11 和x2＝ 211 ； （2）已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？ 【分析】（1）根据上述的结论方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c，x2=2c，即可猜想得到答案； （2）可以把x﹣1看作一个整体，即方程两边同时减去1，得x﹣1+2x−1=11+211，然后根据猜想得到x﹣1＝11，x﹣1=211，进一步求得方程的解． 【详解】解：（1）根据猜想的结论，则x1＝11，x2=211； （2）原方程可以变形为x﹣1+2x−1=11+211， 则x﹣1＝11，x﹣1=211． 则x1＝12，x2=1311． 【点睛】此题要能够根据探索得到的结论进行分析求解，能够运用换元法进行求解，有一定难度．
专题6.1 一元一次方程及等式的性质【十大题型】 【华东师大版】 TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc24066" 【题型1 方程及一元一次方程的定义】 PAGEREF _Toc24066 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc17352" 【题型2 利用一元一次方程的定义求值】 PAGEREF _Toc17352 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc3062" 【题型3 方程的解】 PAGEREF _Toc3062 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc10839" 【题型4 列方程】 PAGEREF _Toc10839 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc38" 【题型5 利用等式的性质变形】 PAGEREF _Toc38 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc27344" 【题型6 等式的性质的应用】 PAGEREF _Toc27344 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc10686" 【题型7 利用等式的性质解方程】 PAGEREF _Toc10686 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc26276" 【题型8 方程的解中的遮挡问题】 PAGEREF _Toc26276 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc8084" 【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 PAGEREF _Toc8084 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc20429" 【题型10 方程的解的规律问题】 PAGEREF _Toc20429 \h 16 【知识点1 方程及一元一次方程的定义】 （1）方程的定义：含有未知数的等式叫方程． 方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数． （2）一元一次方程的定义： 只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1． 【题型1 方程及一元一次方程的定义】 【例1】（2022•顺德区模拟）下列等式中不是一元一次方程的是（ ） A．2x﹣5＝21 B．40+5x＝100 C．（1+147.30%）x＝8930 D．x（x+25）＝5850 【分析】利用一元一次方程方程的定义判断即可． 【详解】解：x（x+25）＝5850是一元二次方程， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 【变式1-1】（2022秋•博白县期末）下列式子中是方程的是（ ） A．5x+4 B．3x﹣5＜7 C．x﹣2＝6 D．3×2﹣1＝5 【分析】根据方程的定义，含有未知数的等式是方程，判断即可． 【详解】解：A.5x+4，不是方程，故A不符合题意； B.3x﹣5＜7是一元一次不等式，故B不符合题意， C．x﹣2＝6，是方程，故C符合题意； D.3×2﹣1＝5，不是方程，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 【变式1-2】（2022秋•盐城校级期中）下列方程（1）x3=2；（2）5x﹣2＝2x﹣（3﹣2x）；（3）xy＝5；（4）3x+1=−2；（5）x2﹣x＝1；（6）x＝0中一元一次方程有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）． 【详解】解：（1）x3=2、（6）x＝0符合一元一次方程的定义，属于一元一次方程； （2）由5x﹣2＝2x﹣（3﹣2x）得到：x+1＝0，符合一元一次方程的定义，属于一元一次方程； （3）xy＝5中含有2个未知数，属于二元二次方程； （4）3x+1=−2不是整式方程； （5）x2﹣x＝1的未知数的最高次数是2，属于一元二次方程． 综上所述，属于一元一次方程的个数是3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【变式1-3】（2009•江东区质检）在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈（1）中，属于一次方程的序号填入圆圈（2）中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分． ①3x+5＝9：②x2+4x+4＝0；③2x+3y＝5：④x2+y＝0；⑤x﹣y+z＝8：⑥xy＝﹣1． 【分析】根据一次方程与一元一次方程的定义即可解答． 【详解】解：（1）一元方程，①3x+5＝9②x2+4x+4＝0； （2）一次方程①3x+5＝9⑤x﹣y+z＝8③2x+3y＝5； （3）既属于一元方程又属于一次方程的是①3x+5＝9． 【点睛】此题很简单，关键是熟知一次方程与一元一次方程的定义即可解答． 【题型2 利用一元一次方程的定义求值】 【例2】（2022•市中区模拟）若方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是关于x的一元一次方程，则代数式|m﹣1|的值为（ ） A．0 B．2 C．0或2 D．﹣2 【分析】根据一元一次方程的定义知m2﹣1＝0，且﹣m﹣1≠0，据此可以求得代数式|m﹣1|的值． 【详解】解：由已知方程，得 （m2﹣1）x2﹣（m+1）x+2＝0． ∵方程（m2﹣1）x2﹣mx﹣x+2＝0是关于x的一元一次方程， ∴m2﹣1＝0，且﹣m﹣1≠0， 解得，m＝1， 则|m﹣1|＝0． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念和解法．一元一次方程的未知数的指数为1． 【变式2-1】（2022秋•婺源县期末）已知方程x2k-1+k＝0是关于x的一元一次方程，则方程的解等于（ ） A．﹣1 B．1 C．12 D．−12 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．根据定义可列出关于k的方程，求解即可． 【详解】解：由一元一次方程的特点得，2k﹣1＝1， 解得：k＝1， ∴一元一次方程是：x+1＝0 解得：x＝﹣1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【变式2-2】（2010秋•江阴市校级期末）如果（a﹣2）x|a|-1﹣2＝0是一元一次方程，那么a是 ﹣2 ． 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此可得出关于a的式子，进而求出a的值． 【详解】解：由题意，得|a|−1=1a−2≠0， 解得：m＝﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的次数是1，一次项系数不等于0，这是这类题目考查的重点． 【变式2-3】（2022秋•鄂州月考）（3a+2b）x2+ax+b＝0是关于x的一元一次方程，且x有唯一解，则x＝ 1.5 ． 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．高于一次的项系数是0，据此可得出3a+2b＝0且a≠0，再用b表示a，代入原方程，即可得出x的值． 【详解】解：方程（3a+2b）x2+ax+b＝0是关于x的一元一次方程，且有唯一解， 则3a+2b＝0且a≠0， 因为a=−23b，b≠0， 把a=−23b代入ax+b＝0，得 −23bx+b＝0， 所以，−23x+1＝0， 解得x＝1.5． 故答案为：1.5． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【知识点2 方程的解】 方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 【题型3 方程的解】 【例3】（2010秋•温州期末）若关于x的方程mx＝4﹣x的解是整数，则非负整数m的值为 0或1或3 ． 【分析】先用m的代数式表示x的值，再根据方程的解是整数，求非负整数m的值即可． 【详解】解：由方程mx＝4﹣x，得：x=4m+1， ∵方程的解是整数， ∴非负整数m的值为0或1或3． 故答案为：0或1或3． 【点睛】本题主要考查了方程解的定义，关键会用m的代数式表示方程的解． 【变式3-1】（2008秋•番禺区期末）已知关于x的方程4ax+5＝﹣3﹣a的解为x=12，则3a+5的值为 ﹣3 ． 【分析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，从而可求出a的值，然后将其代入求值式即可得到答案． 【详解】解：方法1：把x=12代入方程，得：4×12a+5＝﹣3﹣a， 解得：a=−83． ∴3a+5＝3×（−83）+5＝﹣3． 方法2：把x=12代入方程，得：4×12a+5＝﹣3﹣a，即2a+5＝﹣3﹣a，3a+5＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点睛】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 【变式3-2】（2022秋•锦江区校级期末）对于正整数n，阶乘符号n!表示从n到1的整数的乘积（例如：6!＝6×5×4×3×2×1），则满足方程5!•9!＝N！•12的N的值为 10 ． 【分析】根据阶乘符号n!表示从n到1的整数的乘积，进行计算即可． 【详解】解：∵5!•9!＝N！•12， ∴5×4×3×2×1•9!＝N！•12， ∴12×10•9!＝N！•12， ∴10!＝N!， ∴N＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了方程的解，有理数的混合运算，熟练掌握阶乘符号n!表示从n到1的整数的乘积，进行计算是解题的关键． 【变式3-3】（2022春•黔江区期末）已知关于x的方程2x﹣3=m3+x的解满足|x|＝1，则m的值是（ ） A．﹣6 B．﹣12 C．﹣6或﹣12 D．6或12 【分析】方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．就得到一个关于m的方程，解方程就可求出m． 【详解】解：∵|x|＝1∴x＝±1 当x＝1时，代入方程得：2﹣3=m3+1， 解得：m＝﹣6； 当x＝﹣1时，代入方程得：﹣2﹣3=m3−1， 解得：m＝﹣12 ∴m＝﹣6或﹣12 故选：C． 【点睛】本题主要考查了方程解的定义，已知|x|＝1即已知方程的解是±1，方程的解实际就是得到了两个关于m的方程． 【题型4 列方程】 【例4】（2022秋•泗水县期末）一根细铁丝用去23后还剩2m，若设铁丝的原长为xm，可列方程为 x−23x＝2 ． 【分析】设铁丝的原长为xm，用去全长的23后还剩2m，根据题意可得出数量关系式：铁丝的全长﹣铁丝全长×23=剩下铁丝的长度，据此可列出方程． 【详解】解：设铁丝的原长为xm， 由题意，得：x−23x＝2． 故答案为：x−23x＝2． 【点睛】本题考查学生利用数量关系式列方程，培养学生的分析能力． 【变式4-1】（2022秋•南岗区期末）列等式表示“x的三分之一减y的差等于6”是 13x−y=6 ． 【分析】本题需先根据已知条件“x的三分之一减y的差等于6”，列出等式，即可求出答案． 【详解】解：根据已知条件：“x的三分之一减y的差等于6”， 得：13x−y=6， 故答案为：13x−y=6． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，在解题时要根据已知条件列出等式是本题的关键． 【变式4-2】（2022秋•雨花区校级期末）某校长方形的操场周长为210m，长与宽之差为15m，设宽为xm，列方程为 2（x+x+15）＝210 ． 【分析】先表示出长，再根据长方形的周长公式列出方程即可． 【详解】解：设宽为xm，则长为（x+15）m， 根据题意得，2（x+x+15）＝210． 故答案为：2（x+x+15）＝210． 【点睛】本题考查了一元一次方程，主要利用了长方形的周长公式． 【变式4-3】（2022秋•越秀区校级月考）一件衣服打八折后，售价为88元，设原价为x元，可列方程为 0.8x＝88 ． 【分析】根据打八折后售价等于88元列式即可． 【详解】解：设原价为x元， 根据题意得，0.8x＝88． 故答案为：0.8x＝88． 【点睛】本题考查了方程的定义，理解打折的意义是解题的关键． 【知识点3 等式的性质】 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【题型5 利用等式的性质变形】 【例5】（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ） A．若ac=bc，则a＝b B．若ac＝bc，则a＝b C．若a2＝b2，则a＝b D．若−13x＝6，则x＝﹣2 【分析】根据等式的性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、若ac=bc，则a＝b，故A符合题意； B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意； C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意； D、−13x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【变式5-1】（2022•杭州）设x，y，c是有理数，正确的是（ ） A．若x＝y，则x+c＝y﹣c B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则xc=yc D．若x2c=y3c，则2x＝3y 【分析】根据等式的性质，可得答案． 【详解】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意； B、两边都乘以c，故B符合题意； C、c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意； D、两边乘6c，得到，3x＝2y，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质并根据等式的性质求解是解题关键． 【变式5-2】（2022•安徽）设a，b，c为互不相等的实数，且b=45a+15c，则下列结论正确的是（ ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．a﹣b＝4（b﹣c） D．a﹣c＝5（a﹣b） 【分析】根据等式的基本性质，对已知等式进行变形即可． 【详解】解：∵b=45a+15c， ∴5b＝4a+c， 在等式的两边同时减去5a，得到5（b﹣a）＝c﹣a， 在等式的两边同时乘﹣1，则5（a﹣b）＝a﹣c． 故选：D． 【点睛】本题主要考查等式的基本性质，结合已知条件及选项，对等式进行合适的变形是解题关键． 【变式5-3】（2022•镇海区校级二模）下列等式变形：（1）如果ax＝ay，那么x＝y；（2）如果a+b＝0，那么a2＝b2；（3）如果|a|＝|b|，那么a＝b；（4）如果4a＝7b，那么a7=b4，其中正确的有（ ） A．（1）（4） B．（1）（2）（4） C．（1）（3） D．（2）（4） 【分析】根据等式的性质以及绝对值的性质即可判断． 【详解】解：（1）∵ax＝ay， 当a≠0时，x＝y， 故（1）选项不符合题意； （2）∵a+b＝0， ∴a＝﹣b， ∴a2＝（﹣b）2， 即a2＝b2， 故（2）选项符合题意； （3）∵|a|＝|b|， ∴a＝±b， 故（3）选项不符合题意； （4）∵4a＝7b， 两边同时除以28，可得a7=b4， 故（4）选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的基本性质以及绝对值的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【题型6 等式的性质的应用】 【例6】（2022•石家庄模拟）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ） A．如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0） B．如果a＝b，那么a+c＝b+c（a，b，c均不为0） C．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b（a，b，c均不为0） D．如果a＝b，那么ac＝bc（a，b，c均不为0） 【分析】根据等式的性质解答即可． 【详解】解：观察图形，是等式a+c＝b+c的两边都减去c（a，b，c均不为0），利用等式性质1，得到a＝b， 即如果a+c＝b+c，那么a＝b（a，b，c均不为0）． 故选：A． 【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键． 【变式6-1】（2022•河北）有三种不同质量的物体“”“”“”，其中，同一种物体的质量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是（ ） A． B． C． D． 【分析】直接利用已知盘子上的物体得出物体之间的重量关系进而得出答案． 【详解】解：设的质量为x，的质量为y，的质量为：a， 假设A正确，则，x＝1.5y，此时B，C，D选项中都是x＝2y， 故A选项错误，符合题意． 故选：A． 【变式6-2】（2022•芦淞区模拟）有质量分别为11克和17克的砝码若干个，在天平上称出质量为3克的物体，至少要用 13 个这样的砝码． 【分析】由11×8﹣17×5＝3，则可知用11g的砝码8个，17g的砝码5个，即可求解． 【详解】解：∵11×8＝88，17×5＝85， ∴88﹣85＝3， ∴用11g的砝码8个，17g的砝码5个， ∴至少用13个， 故答案为13． 【点睛】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 【变式6-3】（2022•利津县一模）如图，“●、■、▲”分别表示三种不同的物体，已知前两架天平保持平衡，要使第三架也保持平衡，如果在？处只放“■”那么应放“■”（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】首先根据图示可知，2×〇＝△+□（1），〇+□＝△（2），据此判断出〇、△与□的关系，然后判断出结果． 【详解】解：根据图示可得， 2×〇＝△+□①， 〇+□＝△②， 由①、②可得， 〇＝2□，△＝3□， ∴〇+△＝2□+3□＝5□， 故选：A． 【题型7 利用等式的性质解方程】 【例7】（2022秋•饶平县校级期末）利用等式的性质解方程： （1）5+x＝﹣2 （2）3x+6＝31﹣2x． 【分析】（1）在等式的两边同时减去5； （2）在等式的两边同时加上（2x﹣6），然后再除以5． 【详解】（1）5+x＝﹣2 5+x﹣5＝﹣2﹣5 x＝﹣7； （2）3x+6＝31﹣2x 3x+6+2x﹣6＝31﹣2x+2x﹣6 5x＝25 x＝5． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质． 等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立； 2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 【变式7-1】（2022秋•柳江区期中）利用等式的性质解方程并检验：2−14x=3． 【分析】1、根据等式的基本性质解题； 2、检验时，把所求的未知数的值代入原方程，使方程左右两边相等的值才是方程的解． 【详解】解：根据等式性质1，方程两边都减去2， 得：−14x=1， 根据等式性质2，方程两边都乘以﹣4， 得：x＝﹣4， 检验：将x＝﹣4代入原方程，得：左边=2−14×(−4)=3，右边＝3， 所以方程的左右两边相等，故x＝﹣4是方程的解． 【点睛】本题主要考查了利用等式的基本性质解方程． 等式性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式； 等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式． 【变式7-2】（2022秋•盂县期中）用等式性质解下列方程： （1）4x﹣7＝13 （2）3x+2＝x+1． 【分析】（1）利用等式的基本性质分别化简得出即可； （2）利用等式的基本性质分别化简得出即可． 【详解】解：（1）4x﹣7＝13 移项得：4x＝20， 方程两边同时除以4得： x＝5； （2）3x+2＝x+1 移项得：3x﹣x＝﹣2+1， 合并同类项得： 2x＝﹣1， 解得：x=−12． 【点睛】此题主要考查了等式的性质，熟练利用等式的性质得出是解题关键． 【变式7-3】（2022秋•三门县期中）利用等式的性质解方程： （1）5﹣x＝﹣2 （2）3x﹣6＝﹣31﹣2x． 【分析】（1）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案； （2）根据等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立，可得答案． 【详解】解：（1）两边都减5，得﹣x＝﹣7， 两边都除以﹣1，得 x＝7； （2）两边都加（2x+6），得 5x＝﹣25， 两边都除以5，得 x＝﹣5． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母），等式仍成立． 【题型8 方程的解中的遮挡问题】 【例8】（2022秋•玉田县期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了x＝1−x−●5，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝1，于是他判断●应该是 1 ． 【分析】●用a表示，把x＝1代入方程得到一个关于a的方程，解方程求得a的值． 【详解】解：●用a表示，把x＝1代入方程得1＝1−1−a5， 解得：a＝1． 故答案是：1． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键． 【变式8-1】（2022秋•红河州期末）方程2+▲＝3x，▲处被墨水盖住了，已知方程的解是x＝2，那么▲处的数字是 4 ． 【分析】把x＝2代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字． 【详解】解：把x＝2代入方程，得2+▲＝6， 解得▲＝4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式8-2】（2022秋•巴彦县期末）小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可． 【详解】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得 2×（9﹣3）﹣■＝9+1， 解得■＝2； 故选：C． 【点睛】本题考查了方程的解，掌握代入计算法是解题关键． 【变式8-3】（2022秋•郫都区期末）小强在解方程时，不小心把一个数字用墨水污染成了﹣2x+●＝3x，他翻阅了答案知道这个方程的解为x＝﹣1，于是他判断●的值应为 ﹣5 ． 【分析】●用a表示，把x＝1代入方程得到一个关于a的方程，解方程求得a的值． 【详解】解：●用a表示， 把x＝﹣1入方程得：2+a＝﹣3， 解得：a＝﹣5． 故答案是：﹣5． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键． 【题型9 利用等式的性质检验方程的解】 【例9】（2022秋•雨花区期末）x＝2是方程ax﹣4＝0的解，检验x＝3是不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解． 【分析】x＝3不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解，理由为：由x＝2为已知方程的解，把x＝2代入已知方程求出a的值，再将a的值代入所求方程，检验即可． 【详解】解：x＝3不是方程2ax﹣5＝3x﹣4a的解，理由为： ∵x＝2是方程ax﹣4＝0的解， ∴把x＝2代入得：2a﹣4＝0， 解得：a＝2， 将a＝2代入方程2ax﹣5＝3x﹣4a，得4x﹣5＝3x﹣8， 将x＝3代入该方程左边，则左边＝7， 代入右边，则右边＝1， 左边≠右边， 则x＝3不是方程4x﹣5＝3x﹣8的解． 【点睛】此题考查了方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 【变式9-1】（2022春•崇明区期末）x＝1 是 方程x2+3＝3x+1的解．（填“是”或“不是”） 【分析】将x＝1代入到方程的左右两边，看是否相等，即可得出答案． 【详解】解：当x＝1时， x2+3＝12+3＝4， 3x+1＝3+1＝4， ∴x＝1是方程的解， 故答案为：是． 【变式9-2】（2022秋•雨花区校级期末）判断括号内未知数的值是不是方程的根： （1）x2﹣3x﹣4＝0（x1＝﹣1，x2＝1）； （2）（2a+1）2＝a2+1（a1＝﹣2，a2=−43）． 【分析】利用方程解的定义找到相等关系．即将未知数分别代入方程式看是否成立． 【详解】解：（1）当x1＝﹣1时，左边＝1+3﹣4＝0＝右边，则它是该方程的根； 当x2＝1时，左边＝1﹣3﹣4＝﹣6≠右边，则它不是该方程的根； （2）当a1＝﹣2时，左边＝（﹣4+1）2＝9，右边＝4+1＝5，左边≠右边，则它不是该方程的根； 当a2=−43时，左边＝（−43×2+1）2=259，右边＝（−43）2+1=259，左边＝右边，则它是该方程的根． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．无论是给出方程的解求其中字母系数，还有判断某数是否为方程的解，这两个方向的问题，一般都采用代入计算是方法． 【变式9-3】（2022秋•莱山区期末）有下列方程：①13x＝1；②2x﹣3＝1；③23x−32=37；④（x+1）（x+2）＝12；⑤2x−2x=3；⑥2[3x﹣（x﹣3）]﹣3＝11．其中，x＝2是其解的方程有 ②④⑤⑥ ．（填序号） 【分析】根据方程的解是使方程成立的未知数的值，可得答案． 【详解】解：当x＝2时，①的左边=13×2=23，右边＝1，左边≠右边，所以x＝2不是①的解； 当x＝2时，②的左边＝2×2﹣3＝1，右边＝1，左边＝右边，所以x＝2是②的解； 当x＝2时，③的左边=23×2−32=−16，右边=37，左边≠右边，所以x＝2不是③的解； 当x＝2时，④的左边＝3×4＝12，右边＝12，左边＝右边，所以x＝2是④的解； 当x＝2时，⑤的左边＝2×2﹣1＝3，右边＝3，左边＝右边，所以x＝2是⑤的解； 当x＝2时，⑥的左边＝2[3×2﹣（2﹣3）]﹣3＝11，左边＝右边，所以x＝2是⑥的解； 故答案为：②④⑤⑥． 【点睛】本题考查了方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【题型10 方程的解的规律问题】 【例10】（2022春•卫辉市期中）一列方程如下排列： x4+x−12=1的解是x＝2， x6+x−22=1的解是x＝3， x8+x−32=1的解是x＝4， … 根据观察得到的规律，写出其中解是x＝2017的方程： x4034+x−20162=1 ． 【分析】根据观察，可发现规律：第一个的分子是x分母是解的二倍，第二个分子是x减比解小1的数，分母是2，可得答案． 【详解】解：由一列方程如下排列： x4+x−12=1的解是x＝2， x6+x−22=1的解是x＝3， x8+x−32=1的解是x＝4， 得第一个的分子是x分母是解的二倍，第二个分子是x减比解小1的数，分母是2， 解是x＝2017的方程：x4034+x−20162=1， 故答案为：x4034+x−20162=1． 【点睛】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键． 【变式10-1】（2002•烟台）先阅读下列一段文字，然后解答问题． 已知：方程x−1x=112的解是x1＝2，x2=−12；方程x−1x=223的解是x1＝3，x2=−13； 方程x−1x=334的解是x1＝4，x2=−14；方程x−1x=445的解是x1＝5，x2=−15． 问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x−1x=101011的解，并写出检验． 【分析】认真观察题中的式子，找出规律，再做猜想． 【详解】解：猜想：方程x−1x=101011的解是x1＝11，x2=−111． 检验：当x＝11时，左边＝11−111=101011=右边， 当x=−111时，左边=−111+11＝101011=右边． 【点睛】此题是探求规律题，读懂题意，寻找规律是关键． 【变式10-2】（2022秋•莘县校级月考）有一系列方程，第1个方程是x4−（x﹣2）＝1，解为x=43；第2个方程是x5−（x﹣3）＝1，解为x=104；第3个方程是x6−（x﹣4）＝1，解为x=185，…，根据规律第7个方程x10−（x﹣8）＝1，解为 x=709 ． 【分析】根据已知三个方程的特点及解的特点得到一般性规律，即可确定出第7个方程的解． 【详解】解：根据题意得到第n个方程为x22+n−1−(x−n−1)=1，解为：x=n2+3nn+2（n为正整数）， ∴第7个方程x10−（x﹣8）＝1，解为x=72+7×37+2=709． 故答案为：x=709． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 【变式10-3】（2022春•方城县期中）已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3，x2=23； 又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4，x2=24； 又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5，x2=25； …， 小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想． 关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c，x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题． （1）关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1＝ 11 和x2＝ 211 ； （2）已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？ 【分析】（1）根据上述的结论方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c，x2=2c，即可猜想得到答案； （2）可以把x﹣1看作一个整体，即方程两边同时减去1，得x﹣1+2x−1=11+211，然后根据猜想得到x﹣1＝11，x﹣1=211，进一步求得方程的解． 【详解】解：（1）根据猜想的结论，则x1＝11，x2=211； （2）原方程可以变形为x﹣1+2x−1=11+211， 则x﹣1＝11，x﹣1=211． 则x1＝12，x2=1311． 【点睛】此题要能够根据探索得到的结论进行分析求解，能够运用换元法进行求解，有一定难度．
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