课时作业(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件

课时作业(二)　命题及其关系、充分条件与必要条件

一、选择题

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(　　)

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

解析：依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．

答案：B

2．(2016·四川卷)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件

C．充要条件            D．既不充分也不必要条件

解析：∵∴x＋y>2，即p⇒q.

而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3>2，但不满足x>1且y>1，即qp．故p是q的充分不必要条件．

答案：A

3．“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当a＝0时，f(x)＝sin x－，f(－x)＝sin(－x)－＝－sin x＋＝－(sin x－)＝－f(x)，故f(x)为奇函数；

反之，当f(x)＝sin x－＋a为奇函数时，

f(－x)＋f(x)＝0，

又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sin x－＋a＝2a，故a＝0，

所以“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－＋a为奇函数”的充要条件，故选C.

答案：C

4．(2017·安徽江淮十校第一次联考，2)已知a>0，b>0，且a≠1，则“logab>0”是“(a－1)(b－1)>0”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

解析：a>0，b>0且a≠1，若logab>0，则a>1，b>1或0<a<1,0<b<1，∴(a－1)(b－1)>0；若(a－1)(b－1)>0，则或则a>1，b>1或0<a<1,0<b<1，∴logab>0，∴“logab>0”是“(a－1)(b－1)>0”的充分必要条件．

答案：C

5．若x>5是x>a的充分条件，则实数a的取值范围为(　　)

A．a>5  B．a≥5

C．a<5  D．a≤5

解析：由x>5是x>a的充分条件知，

{x|x>5}⊆{x|x>a}．

∴a≤5，故选D.

答案：D

6．命题“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(　　)

A．a≥4  B．a>4

C．a≥1  D．a>1

解析：要使“对任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a>4是命题为真的充分不必要条件．

答案：B

二、填空题

7．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．

解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3.

答案：3

8．(2015·山东卷)若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

解析：由题意，原命题等价于tan x≤m在区间上恒成立，即y＝tan x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.

答案：1

9．已知p：(x＋1)(2－x)<0，q：x≥k，如果p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是________．

解析：由p：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的必要不充分条件，

所以k>2，即实数k的取值范围是k>2.

答案：k>2

三、解答题

10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．

解析：(1)否命题：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．

(2)命题p的否命题为真命题，证明如下：

∵ac<0，∴－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．

11．已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

解析：y＝x2－x＋1＝x－2＋，

∵x∈，∴≤y≤2，

∴A＝.

由x＋m2≥1，得x≥1－m2，

∴B＝{x|x≥1－m2}．

∵“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

∴A⊆B，∴1－m2≤，

解得m≥或m≤－，

故实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞).

12．已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．

(1)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围；

(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．

解析：A＝{x|x2－6x＋8<0}＝{x|2<x<4}，

B＝{x|(x－a)(x－3a)<0}．

(1)当a＝0时，B＝∅，不合题意．

当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，要满足题意，

则解得≤a≤2.

当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，要满足题意，

则无解．

综上，a的取值范围为.

(2)要满足A∩B＝∅，

当a>0时，B＝{x|a<x<3a}

则a≥4或3a≤2，即0<a≤或a≥4.

当a<0时，B＝{x|3a<x<a}，

则a≤2或a≥，即a<0.

当a＝0时，B＝∅，A∩B＝∅.

综上，a的取值范围为(－∞，]∪[4，＋∞)．