初中数学北师大版七年级下册1 两条直线的位置关系导学案

第2章  相交线与平行线

2.1  两条直线的位置关系(2)

核心提要

1．两条直线相交成四个角，如果有一个角是________，那么称这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做________．通常用符号“________”表示两条直线互相垂直．

2．平面内，过一点______________条直线与已知直线垂直．

3．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，________最短．

典例精讲

知识点一　垂线的概念

例1　如图，点O在直线AB上，且OC⊥OD．若∠COA＝36°，则∠DOB的度数为(　　)

A．36°  B．54°    C．64°  D．72°

知识点二　垂线的性质

例2　自来水公司为A小区改造供水系统，如图，沿路线AO铺设管道和主管道BO衔接(AO⊥BO)，路线最短，工程造价最低，根据是____________．

知识点三　应用与设计作图

例3　如图，要把水渠中的水引到点C，在渠岸AB的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并说明理由．

变式训练

变式1　如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足是O，∠DOE＝55°，则

∠BOC的度数为(　　)

A．40°   B．45°  C．30°  D．35°

变式2　下列选项，不是运用“垂线段最短”这一性质的是(　　)

A．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离

B．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠

C．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程

D．直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短

变式3　如图，要从小河l引水到村庄B，请设计并作出一条最短路线，并说明理由．

基础巩固

1．如图，OA⊥OB，∠1＝55°，则∠2的度数是(　　)

A．35°    B．40°  C．45°    D．60°

2．过点B画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是(　　)

      A　　     B         C　          D

3．如图，在线段PA，PB，PC，PD中，长度最小的是(　　)

A．线段PA     B．线段PB       C．线段PC    D．线段PD

4．如图，OA⊥OC，OB⊥OD．下列结论正确的是(　　)

①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；

④∠AOC－∠COD＝∠BOC．

A．①②③    B．①②④       C．①③④    D．②③④

5．如图，直线AB，CD，EF相交于点O.若AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的度数．

能力提升

6．在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为(　　)

A．20°   B．55°   C．20°或125°   D．20°或55°

7．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论正确的个数为(　　)

①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到AC的距离；⑦AB>AD．

A．2     B．4     C．7    D．0

8．已知点O在直线AB上，以点O为端点的两条射线OC，OD互相垂直，且

∠BOC＝50°，则∠AOD的度数是____________．

9．直线l上有A，B，C三点，直线l外有一点P.若PA＝4 cm，PB＝3 cm，PC＝2 cm，则点P到直线l的距离x cm的取值范围为____________．

培优训练

10．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，O为垂足，OF平分∠AOC，且∠COE∶∠AOC＝2∶5.求∠DOF的度数．

2.1  两条直线的位置关系(2)----答案

【核心提要】

1．直角　垂足　⊥　2.有且只有一　3.垂线段

【典例精讲】

1．B　2.垂线段最短

3．解：如答图，在点D处开沟，沟最短．

理由：垂线段最短．

【变式训练】

1．D　2.C

3．解：如答图，沿BA引水距离最短．

理由：垂线段最短．

【基础巩固】

1．A　2.D　3.B　4.C

5．解：因为AB⊥CD，所以∠DOB＝90°，

所以∠AOF＝∠BOE＝∠DOE－∠DOB＝37°.

【能力提升】

6．C　

解析：设∠B＝x°，则∠A＝3x°－40°.①当两个角相等时，x＝3x－40，解得x＝20，所以∠A＝∠B＝20°；②当两个角互补时，x＋3x－40＝180，解得x＝55，所以

∠A＝3×55°－40°＝125°.综上所述，∠A的度数为20°或125°.

7．B　8.40°或140°　9.0＜x≤2

【培优训练】

10．解：因为OE⊥AB，所以∠AOE＝∠BOE＝90°.

设∠COE＝2x，则∠AOC＝5x.

因为∠AOC－∠COE＝∠AOE，所以5x－2x＝90°，

解得x＝30°，所以∠AOC＝150°.

因为OF平分∠AOC，所以∠COF＝∠AOC＝75°，

所以∠DOF＝180°－∠COF＝105°.