数学第二十四章 圆综合与测试获奖课件ppt
展开点在圆内⇔d
相交⇔d
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
圆的切线垂直于过切点的半径
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
有关概念：正多边形的中心、半径、中心角、边心距
尺规作图法作圆的内接正多边形
圆锥的侧面积和全面积公式
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆的半径r比较得到．设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
注意：点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．
例：已知⊙O的半径为4 cm，A为线段OP的中点，当OP＝7 cm时，点A与⊙O的位置关系是( ) A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定
解：∵ OP＝7 cm，A为OP的中点，∴OA=3.5cm.∵ 3.5cm<4 cm,∴点A在⊙O内.
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离.
例：设⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离OP＝m，且m使得关于x的方程 有实数根，则直线l与⊙O的位置关系是( )A．相离或相切 B．相切或相交C．相离或相交 D．无法确定
1.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
∵l⊥OA于A，OA是半径∴l是⊙O的切线.
∵l与⊙O相切于A，∴l⊥OA.
例: 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若OB＝10，CD＝8，求BE的长．
(1)证明：连接OD，如图所示．∵BD为∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2.又∵OB，OD均为⊙O的半径，∴OB＝OD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝90°，即OD⊥AC.又∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)解：过圆心O作OF⊥BE于点F，如图所示．在Rt△BOF中，OB＝10，OF＝CD＝8，根据勾股定理可得OB2＝BF2＋OF2，即102＝BF2＋82，解得BF＝6.由垂径定理可知F为BE的中点，∴BE＝2BF＝12.
(2)若OB＝10，CD＝8，求BE的长．
3.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
例1： 如图，AC是⊙O的直径，PA，PB分别与⊙O相切于A，B，若∠BAC=25°，则∠P=______°.
例2: 如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求：(1)∠BOC的度数；(2)BE＋CG的长；(3)⊙O的半径．
解: (1) 连接OF,根据切线长定理,得BE=BF, CF=CG,∠OBF=∠OBE, ∠OCF= ∠OCG.∵AB∥CD, ∴ ∠ABC+ ∠BCD = 180°,∴ ∠OBF + ∠OCF=90°, ∴∠BOC=90°.
(1)∠BOC的度数；
(2)BE＋CG的长；(3)⊙O的半径．
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
解: (1) CD是⊙O的切线. 理由如下：连接OC.∵ EC=BC ，∴∠CAD＝∠BAC.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，∴∠CAD＝∠ACO，∴AD∥OC. ∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线.
（2）若AB＝4，CD= ,求图中阴影部分的面积.
3.圆锥的侧面积为πrl.
4.圆锥的全面积为πrl+πr2.
1.圆锥的侧面展开图是一个扇形.2.如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr.
例：有一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝处忽略不计)，若圆锥的底面圆的直径是80 cm，则这块扇形铁皮的半径是( )A．24 cm B．48 cm C．96 cm D．192 cm
1.中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称其为正多边形的中心.
2.半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
3.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距.
4.中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
例: (2020·南京中考)如图，在边长为2cm 的正六边形ABCDEF中，点P在BC上，则△PEF的面积为 cm2．
解:连接BF, BE, 过A作AT⊥BF于T, ∵ABCDEF是正六边形, ∴CB∥EF,AB=AF,∠BAF=120°，∴S△PEF=S△BEF.
1.如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心，OA长为半径的☉O与BC相切于点M.(1) 求证：CD与☉O相切.(2) 若正方形ABCD的边长为1，求☉O的半径.
(1) 证明：过点O作ON⊥CD于N.连接OM. ∵BC与☉O相切于点M， ∴ ∠OMC=90 °， ∵四边形ABCD是正方形，点O在AC上.∴AC是∠BCD的平分线，∴ON=OM，∴CD与☉O相切.
2.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，过AB 上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.(1) 若∠P＝70°，求∠DOE的度数；(2) 若PA＝4 cm，求△PDE的周长．
解：(2)∵⊙O分别切PA，PB，DE于A，B，C，∴AD＝CD，BE＝CE.∴ △PDE的周长＝PD＋PE＋DE＝PD ＋AD ＋PE ＋BE＝2PA＝8(cm).
2.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，过 AB上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E.(1) 若∠P＝70°，求∠DOE的度数；(2) 若PA＝4 cm，求△PDE的周长．
3.如图，四边形OABC为菱形，点B，C在以点O为圆心的圆上，OA=1，∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形OEF的面积.
4.如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.
解：将线段FC平移到直线AE上，同理平移EF. 连接AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形.
∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.
1.☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R，d分别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置关系是( )A. 点A在☉O内部 B. 点A在☉O上C. 点A在☉O外部 D. 点A不在☉O上
解：解方程 x2-6x+8=0的两根，得R=2,d=4，或R=4，d=2，当R=2，d=4时，点A在⊙O外部；当R=4，d=2时，点A在⊙O内部；综上所述，点A不在⊙O上.
2.如图，直线AB，CD相交于点O， ∠AOD=30 °，半径为1 cm的☉P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6 cm，如果☉P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后☉P与直线CD相切.
解：当⊙P在射线OA上，设⊙P与CD相切于点E，P移动到P1时，连接P1E．∵⊙P与直线CD相切，∴∠OEP1=90°，∵在Rt△OP1E中，P1E=1cm，∠AOD=30°，∴OP1=2P1E=2cm，则PP1=OP-OP1=6-2=4(cm).
∵⊙P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动，∴⊙P移动4秒时与直线CD相切．当⊙P移动到直线CD的右侧时，PP2=4+4=8(cm)．∴⊙P移动8秒时与直线CD相切．综上，⊙P移动4秒或8秒时，与直线CD相切．
3.一条弧所对的圆心角为135 °，弧长等于半径为5 cm 的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 .
4.若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为______.
5.如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于_____．
6.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O，四边形EFGH是正方形．(1) 求正方形EFGH的面积；(2) 连接OF，OG，求∠OGF的度数．
解：(1) ∵正六边形的边长与其外接圆半径相等，∴EF=5.∵四边形EFGH是正方形，∴FG=EF=5，∴正方形EFGH的面积是25.
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