高三数学一轮复习： 重点强化课1　函数的图象与性质

重点强化课(一)　函数的图象与性质

[复习导读]　函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．

重点1　函数图象的应用

　已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝则不等式f(x－1)≤的解集为(　　)

【导学号：01772064】

A.∪

B.∪

C.∪

D.∪

A　[画出函数f(x)的图象，如图，

当0≤x≤时，令f(x)＝cos πx≤，解得≤x≤；

当x＞时，令f(x)＝2x－1≤，解得＜x≤，

故有≤x≤.

因为f(x)是偶函数，所以f(x)≤的解集为∪，故f(x－1)≤的解集为∪.]　

[迁移探究1]　在本例条件下，若关于x的方程f(x)＝k有2个不同的实数解，求实数k的取值范围．

[解]　由函数f(x)的图象(图略)可知，当k＝0或k>1时，方程f(x)＝k有2个不同的实数解，即实数k的取值范围是k＝0或k>1.12分

[迁移探究2]　在本例条件下，若函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，求实数k的取值范围．

[解]　函数y＝f(x)－k|x|恰有两个零点，即函数y＝f(x)的图象与y＝k|x|的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k≥2或k＝0，即实数k的取值范围为k＝0或k≥2.   12分

[规律方法]　1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．

2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．

3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．

 [对点训练1]　已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图1所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是________．

图1

(－1,0)∪(1，]　[由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x，在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1,0)∪(1，]．]

重点2　函数性质的综合应用

☞角度1　单调性与奇偶性结合

　(1)(2017·石家庄质检(二))下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)

A．y＝　　　　　 B.y＝lg x

C．y＝|x|－1  D.y＝|x|

(2)(2016·天津高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)>f(－)，则a的取值范围是(　　)

A.

B.∪

C.

D.

(1)C　(2)C　[(1)函数y＝是奇函数，排除A；函数y＝lg x既不是奇函数，也不是偶函数，排除B；当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|x|＝x单调递减，排除D；函数y＝|x|－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故选C.

(2)因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f(－x)＝f(x)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递减．由f(2|a－1|)＞f(－)，f(－)＝f()可得2|a－1|＜，即|a－1|＜，所以＜a＜.]

☞角度2　奇偶性与周期性结合

　(2017·贵阳适应性考试(二))若函数f(x)＝asin 2x＋btan x＋1，且f(－3)＝5，则f(π＋3)＝________.

－3　[令g(x)＝asin 2x＋btan x，则g(x)是奇函数，且最小正周期是π，由f(－3)＝g(－3)＋1＝5，得g(－3)＝4，则g(3)＝－g(－3)＝－4，则f(π＋3)＝g(π＋3)＋1＝g(3)＋1＝－4＋1＝－3.]

☞角度3　单调性、奇偶性与周期性结合

　已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)

A．f(－25)＜f(11)＜f(80)

B．f(80)＜f(11)＜f(－25)

C．f(11)＜f(80)＜f(－25)

D．f(－25)＜f(80)＜f(11)

D　[因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，

所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．

由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．

因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，

所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，

所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．]　

[规律方法]　函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法

(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．

(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．

(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．

重点3　函数图象与性质的综合应用

　(1)(2017·郑州二检)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1,1)  B.[0,2]

C．[－2,2)  D.[－1,2)

(2)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，0]  B.[0,1)

C．(－∞，1)  D.[0，＋∞)

(1)D　(2)C　[(1)由题意知g(x)＝

因为g(x)有三个不同的零点，

所以2－x＝0在x＞a时有一个解．由x＝2，得a＜2.

由x2＋3x＋2＝0，得x＝－1或x＝－2，

由x≤a，得a≥－1.

综上，a的取值范围为[－1,2)．

(2)函数f(x)＝的图象如图所示，

当a<1时，函数y＝f(x)的图象与函数f(x)＝x＋a的图象有两个交点，即方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根．]　

[规律方法]　解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．

[对点训练2]　(2017·石家庄一模)已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝f，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＞b＞c  B.b＞a＞c

C．c＞a＞b  D.a＞c＞b

    B　[由函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，得函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，即y＝f(x)是偶函数．当x∈(0,1)时，f(x)＝f＝|log2x|，且x∈[1，＋∞)时，f(x)＝log2x单调递增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝f＝f(4)，所以b＞a＞c，故选B.]