高三数学一轮复习： 重点强化课4 直线与圆

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(1)(2017·江西南昌模拟)直线(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0过定点
( )
【导学号：01772303】
A．(1，－3) B.(4,3)
C．(3,1) D.(2,3)
(2)(2017·济南调研)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－eq \f(5,3)或－eq \f(3,5) B.－eq \f(3,2)或－eq \f(2,3)
C．－eq \f(5,4)或－eq \f(4,5) D.－eq \f(4,3)或－eq \f(3,4)
(1)C (2)D [(1)2mx＋x＋my＋y－7m－4＝0，即(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，,x＋y＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1，))则直线过定点(3,1)．
(2)由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．
设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
由反射光线与圆相切，则有d＝eq \f(|－3k－2－2k－3|,\r(k2＋1))＝1，
解得k＝－eq \f(4,3)或k＝－eq \f(3,4).]
[规律方法] 1.直线过定点问题，可将直线中的参数赋值，解方程组得交点坐标．
2．直线方程常与直线垂直、平行、距离等知识交汇考查，考查直线方程的求法以及直线间的位置关系等．注意数形结合思想、分类讨论思想的应用．
[对点训练1] (2017·福建龙岩二模)已知m，n为正整数，且直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，则2m＋n的最小值为( )
A．7 B.9
C．11 D.16
B [直线2x＋(n－1)y－2＝0与直线mx＋ny＋3＝0互相平行，
∴2n＝m(n－1)，
∴m＋2n＝mn，
又m>0，n>0，得eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝1.
∴2m＋n＝(2m＋n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,m)＋\f(1,n)))＝5＋eq \f(2n,m)＋eq \f(2m,n)≥5＋2eq \r(\f(2n,m)·\f(2m,n))＝9.
当且仅当eq \f(2n,m)＝eq \f(2m,n)时取等号．
∴2m＋n的最小值为9.]
重点2 圆的方程
(1)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为( )
【导学号：01772304】
A．y2－4x＋4y＋8＝0 B.y2＋2x－2y＋2＝0
C．y2＋4x－4y＋8＝0 D.y2－2x－y－1＝0
(2)(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( )
A．2eq \r(6) B.8
C．4eq \r(6) D.10
(1)C (2)C [(1)由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2,2)．
∴过点C(－2,2)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理得y2＋4x－4y＋8＝0.
(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＋3E＋F＋10＝0，,4D＋2E＋F＋20＝0，,D－7E＋F＋50＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝4，,F＝－20.))
∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
令x＝0，得y＝－2＋2eq \r(6)或y＝－2－2eq \r(6)，
∴M(0，－2＋2eq \r(6))，N(0，－2－2eq \r(6))或M(0，－2－2eq \r(6))，N(0，－2＋2eq \r(6))，∴|MN|＝4eq \r(6).]
[规律方法] 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：
(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．
[对点训练2] (2017·河北唐山二模)直线l：eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1与x轴、y轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，则△OAB内切圆的方程为__________．
【导学号：01772305】
(x－1)2＋(y－1)2＝1 [由题意，设△OAB的内切圆的圆心为M(m，m)，则半径为|m|.
直线l的方程eq \f(x,4)＋eq \f(y,3)＝1可化为3x＋4y－12＝0，
由题意可得eq \f(|3m＋4m－12|,\r(32＋42))＝m，解得m＝1或m＝6(不符合题意，舍去)．
∴△OAB内切圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]
重点3 直线与圆的综合问题
☞角度1 圆的切线
如图1，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为________________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为__________．
图1
(1)(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2 (2)－eq \r(2)－1 [(1)由题意知点C的坐标为(1，eq \r(2))，圆的半径r＝eq \r(2).
所以圆的方程为(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2.
(2)在(x－1)2＋(y－eq \r(2))2＝2中，
令x＝0，解得y＝eq \r(2)±1，故B(0，eq \r(2)＋1)．
直线BC的斜率为eq \f(\r(2)＋1－\r(2),0－1)＝－1，
故切线的斜率为1，切线方程为y＝x＋eq \r(2)＋1.
令y＝0，解得x＝－eq \r(2)－1，
故所求截距为－eq \r(2)－1.]
☞角度2 直线与圆相交的弦长问题
(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－eq \r(3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2eq \r(3)，则|CD|＝________.
4 [由直线l：mx＋y＋3m－eq \r(3)＝0知其过定点(－3，eq \r(3))，由圆x2＋y2＝12知半径r＝2eq \r(3)，又|AB|＝2eq \r(3)，所以圆心O到直线l的距离为d＝eq \f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1)).
由|AB|＝2eq \r(3)得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3m－\r(3),\r(m2＋1))))2＋(eq \r(3))2＝12，解得m＝－eq \f(\r(3),3).又直线l的斜率为－m＝eq \f(\r(3),3)，所以直线l的倾斜角α＝eq \f(π,6).
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝eq \f(π,6).在Rt△CDE中，可得|CD|＝eq \f(|AB|,cs α)＝2eq \r(3)×eq \f(2,\r(3))＝4.]
☞角度3 直线、圆与相关知识的交汇
(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若eq \(OM,\s\up13(→))·eq \(ON,\s\up13(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
[解] (1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.2分
因为直线l与圆C交于两点，所以eq \f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，
解得eq \f(4－\r(7),3)所以k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).5分
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝eq \f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq \f(7,1＋k2).8分
eq \(OM,\s\up13(→))·eq \(ON,\s\up13(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8.
由题设可得eq \f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，
所以直线l的方程为y＝x＋1.
故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.12分
[规律方法] 1.研究直线与圆的位置关系最常用的方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．
2．(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
(3)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长eq \f(l,2)，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．