专题26 因式分解-2021-2022学年八年级数学上册专题考点专练（人教版）

专题04 因式分解

知识点1  因式分解的概念

例1下列等式从左到右的变形属于因式分解的是　　

A． B． 

C． D．

解题分析：根据因式分解的定义逐个判断即可．

A【解析】、是因式分解，故本选项符合题意；

、不是因式分解，故本选项不符合题意；

、不是因式分解，故本选项不符合题意；

、不是因式分解，故本选项不符合题意；

故选：．

【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，也叫分解因式．

练1若多项式分解因式为，则的值是　　

A． B． C．3 D．11

练2下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？

⑴12a2b=3a·4ab；        ⑵(x+3)(x-3)=x2-9；

⑶4x2-8x-1=4x(x-2)-1；   ⑷2ax-2ay=2a(x-y)；

⑸a2-4ab+b2=(a-2b)2．

知识点2 提公因式法

例2把式子分解因式，结果是　　

A． B． C． D．

解题分析：直接提取公因式，进而分解因式即可．

A【解析】．故选：．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

练3把2a2﹣8a分解因式，结果正确的是（　　）

A．2（a2﹣4）B．2（a2﹣4a）

C．2a（a﹣4）D．2（a+2）2

练4计算的结果是　　

A．2 B． C． D．

练5分解因式b2(x-3)+b(x-3)的正确结果是.

知识点3 运用平方差公式分解因式

例3下列多项式中能用平方差公式分解因式的是　　

A． B． C． D．

解题分析：能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．

D【解析】、符号相同，不能用平方差公式分解因式，故选项错误；、两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故选项错误；、符号相同，不能用平方差公式分解因式，故选项错误；、，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故选项正确．故选：．

【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．

练6下列多项式中，不能运用平方差公式因式分解的是　　

A． B． 

C． D．

练7因式分解x2y-4y的正确结果是(　　).

A．y(x+2)(x-2)            B．y(x+4)(x-4)

C．y(x2-4)                D．y(x-2)2

练8若16－am＝(4＋a2)(2＋a)(2－a)，则m的值是(    )．

A．6    B．4    C．3    D．2

练9当n是正整数时，求证：(2n+1)2－(2n－1)2能被8整除.

知识点4  提公因式后运用平方差公式因式分解

例4因式分解 (1)a3b－b3a；(2)x4y－y.

解题分析： 1）直接提取公因式ab，进而分解因式得出即可；
（2）直接提取公因式y，进而利用平方差公式分解因式得出即可；

解：（1）原式＝ab(a2－b2)＝ab(a＋b)(a－b)；

（2）原式＝y(x4－1)＝y(x2＋1)( x2－1)=

y(x2＋1)（x+1）（x-1）．

【点评】有公因式的先提公因式，然后再运用平方差公式；一直要分解到不能分解为止．

练10分解因式：a3－4ab2＝________.

练11分解因式  3x(a-b)＋2y(b-a)；

知识点5运用完全平方公式分解因式

例5下列多项式：①；②；③；④．其中能用完全平方公式分解因式的有　　

A．①② B．①③ C．①④ D．②④

解题分析：直接利用完全平方公式分别分解因式进而判断即可．

D【解析】①；无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；

②，能运用完全平方公式分解因式，故此选项正确；③，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误；④，能运用完全平方公式分解因式，故此选项正确；故选：．

【点评】运用完全平方公式分解因式，被分解的多项式必须满足三个特点：(1)多项式为三项式；(2)其中有两项是平方项且符号相同；(3)第三项是两个平方项幂的底数的积的2倍或－2倍．

练12下列式子为完全平方式的是()

A．a2＋ab＋b2 B．a2＋2a＋2C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋1

练13 若多项式x2+2ax+4能用完全平方公式进行因式分解，则a的值为(  )

A．2B．－2C．±2 D．±4

练14把多项式3x3-6x2y+3xy2分解因式，结果正确的是(　　).

A．x(3x+y)(x-3y)      B．3x(x2-2xy+y2)     C．x(3x-y)2       D．3x(x-y)2

练15 若x2－6xy＋9y2＝0，则x：y的值为．

练16  分解因式：

(1)4x2＋y2－4xy；

(2)9－12a＋4a2；

(3)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.

知识点6完全平方公式因式分解的综合运用

例6(1)4xy2－4x2y－y3；　(2)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2.

解：(1)原式＝－y(y2－4xy＋4x2)＝－y(y－2x)2.

(2)原式＝[a－(b＋c)]2＝(a－b－c)2.

解题分析：（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）将（b+c）看成一个整体，然后利用完全平方公式因式分解.

【点评】因式分解的一般步骤：

一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是数字、单项式或多项式；

二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解；

三分解：一定要分解到每个因式不能再分解为止．

练17 把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是(  )

A．2a(4a2－4a＋1)     B．8a2(a－1)

C．2a(2a－1)2    D．2a(2a＋1)2

练18因式分解：

(1) 992＋198＋1. (2)3m2n－12mn＋12n；(3)x2－4(x－1)；(4)4x(x－3y)＋9y2.

练19 若与互为相反数，把多项式分解因式．

参考答案

练1C练2解：⑴不是因式分解．因为等号左边必须是一个多项式，而12a2b是单项式．

⑵不是因式分解．因为等号左边(x+3)(x-3)是积的形式，右边x2-9是一个多项式，不符合因式分解的定义．

⑶不是因式分解．因为等号左边虽然是一个多项式，但是等号右边的4x(x-2)-1不是整式3的积的形式；

⑷是因式分解．因为等号左边2ax-2ay是一个多项式，且等号右边2a(x-y)是整式的积的形式；

⑸不是因式分解．因为因式分解是多项式的恒等变形，左右两边必须相等，而此题左边=a2-4ab+b2；右边=(a-2b)2= a2-4ab+4b2．因为左、右两边不相等，即不是恒等变形，当然不是因式分解．

练3C练4D练5b(x-3)(b+1) 练6B练7A练8B

练9证明： (2n+1)2－(2n－1)2=[(2n+1)－(2n－1)][(2n+1)+(2n－1)]=8n，当n是正整数时，(2n+1)2－(2n－1)2能被8整除．

练10解：原式=a（a2-4b2）=a（a+2b）（a-2b）．练11解原式＝3x(a-b)-2y(a-b)＝(a-b)(3x-2y).练12D练13 C练14D练15 3练16 解：（1）原式＝(2x)2＋y2－2×2x·y

＝(2x－y)2.（2）原式＝32－2×3×2a＋(2a)2＝(3－2a)2.（3）原式＝(m＋n－3)2.

练17 C练18解：(1)原式＝992＋2×99×1＋1＝(99＋1)2＝1002＝10 000.(2)原式＝3n(m－2)2.(3)原式＝(x－2)2.(4)原式＝(2x－3y)2.

练19解：由题意得+=0，即+=0，∴．

∴