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数学必修 第二册10.1 随机事件与概率学案
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10.1.3 古典概型 【学习目标】 【自主学习】 一．随机事件的概率 对随机事件发生 的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用 表示. 二．古典概型的特点 ①有限性：试验的样本空间的样本点只有 ； ②等可能性：每个样本点发生的可能性 ． 三．古典概型的概率公式 对任何事件A，P(A)＝ ＝ . 【小试牛刀】 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任何一个事件都是一个样本点． ( ) (2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． ( ) (3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． ( ) 2.思考：“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？ 【经典例题】 题型一 古典概型的判断 点拨：判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征：有限性和等可能性. 例1 下列试验是古典概型的为________．(填序号) ①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小； ②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率； ③近三天中有一天降雨的概率； ④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率． 【跟踪训练】1 下列试验中是古典概型的是( ) A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 题型二 古典概型的概率计算 点拨： 1.对于古典概型，任何事件A的概率为： P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数m,基本事件的总数n). 2.求古典概型概率的步骤为： (1)判断是否为古典概型；(2)算出基本事件的总数n； (3)算出事件A中包含的基本事件个数m；(4)算出事件A的概率，即P(A)＝eq \f(m,n). 例2 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况． (1)一共有多少个不同的样本点？ (2)点数之和为5的样本点有多少个？ (3)点数之和为5的概率是多少？ 例3 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率． 【跟踪训练】2 在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求： (1)他获得优秀的概率为多少； (2)他获得及格及及格以上的概率为多少． 【当堂达标】 1.下列试验是古典概型的是( ) A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球} B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0 C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 2.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( ) A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(2,5) 3.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( ) A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6) 4.先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为( ) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,12) C.eq \f(1,6) D.eq \f(5,36) 5.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为 . 6.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游. (1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率. 【课堂小结】 1.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型． 2.求某个随机事件包含的样本点个数是求古典概型概率的基础和关键．应做到不重不漏． 【参考答案】 【自主学习】 可能性大小 P(A) 有限个 相等 eq \f(事件A包含的样本点个数,样本空间Ω包含的样本点个数) eq \f(nA,nΩ) 【小试牛刀】 1. (1)× (2)√ (3)√ 思考：不属于古典概型．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型． 【经典例题】 例1 ①②④ 解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响． 【跟踪训练】1 B 解析：由古典概型的两个特征易知B正确． 例2 解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6个样本点，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(个)不同的样本点． (2)点数之和为5的样本点有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4个． (3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36个样本点是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A)的样本点有4个，因此所求概率P(A)＝eq \f(4,36)＝eq \f(1,9). 例3 解：只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则6听中选2听试验的样本空间为Ω＝{ (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点．有1听不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个；有2听不合格的样本点有(5,6)，共1个， 所以检测出不合格产品的概率为eq \f(8＋1,15)＝eq \f(3,5). 【跟踪训练】2 解： 设这5道题的题号分别为1,2,3,4,5，其中，该考生能答对的题的题号为4,5，则从这5道题中任取3道回答，该试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个样本点． (1)记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的样本点个数为3，故P(A)＝eq \f(3,10). (2)记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的样本点个数为9，故P(B)＝eq \f(9,10). 【当堂达标】 1.C解析：根据古典概型的两个特征进行判断．A项中两个基本事件不是等可能的，B项中基本事件的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征． 2.A 解析：把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的样本点共有16个，其中2个球同色的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率为P＝eq \f(8,16)＝eq \f(1,2). 3.A解析：设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题意，其中Ab，Ac，Bc是田忌获胜，则田忌获胜的概率为eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).故选A． 4.C 解析：抛掷两颗骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，根据古典概型的概率公式，得P＝eq \f(1,6). 5. eq \f(1,5) 解析：用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15种，2名都是女同学的选法为(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故所求的概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5). 6.解：(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有： {(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个. 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有： {(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个， 则所求事件的概率为p＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5). (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有： {(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个. 包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2个，则所求事件的概率为p＝eq \f(2,9). 素 养 目 标学 科 素 养1.理解古典概型及其概率计算公式； 2.会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率； 3.掌握利用概率的性质求古典概型的概率的方法．1.数学抽象; 2.数学建模； 3.数学运算
10.1.3 古典概型 【学习目标】 【自主学习】 一．随机事件的概率 对随机事件发生 的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用 表示. 二．古典概型的特点 ①有限性：试验的样本空间的样本点只有 ； ②等可能性：每个样本点发生的可能性 ． 三．古典概型的概率公式 对任何事件A，P(A)＝ ＝ . 【小试牛刀】 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)任何一个事件都是一个样本点． ( ) (2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等． ( ) (3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的． ( ) 2.思考：“在区间[0,10]上任取一个数，这个数恰为5的概率是多少？”这个概率模型属于古典概型吗？ 【经典例题】 题型一 古典概型的判断 点拨：判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征：有限性和等可能性. 例1 下列试验是古典概型的为________．(填序号) ①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小； ②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率； ③近三天中有一天降雨的概率； ④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率． 【跟踪训练】1 下列试验中是古典概型的是( ) A．在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽 B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球 C．向一个圆面内随机地投一个点，观察该点落在圆内的位置 D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环 题型二 古典概型的概率计算 点拨： 1.对于古典概型，任何事件A的概率为： P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数m,基本事件的总数n). 2.求古典概型概率的步骤为： (1)判断是否为古典概型；(2)算出基本事件的总数n； (3)算出事件A中包含的基本事件个数m；(4)算出事件A的概率，即P(A)＝eq \f(m,n). 例2 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次观察出现点数的情况． (1)一共有多少个不同的样本点？ (2)点数之和为5的样本点有多少个？ (3)点数之和为5的概率是多少？ 例3 某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回地从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率． 【跟踪训练】2 在一次口试中，考生要从5道题中随机抽取3道进行回答，答对其中2道题为优秀，答对其中1道题为及格，某考生能答对5道题中的2道题，试求： (1)他获得优秀的概率为多少； (2)他获得及格及及格以上的概率为多少． 【当堂达标】 1.下列试验是古典概型的是( ) A．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，基本事件为{取中白球}和{取中黑球} B．在区间[－1,5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0 C．抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 2.一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1个球，然后放回袋中再取出1个球，则取出的2个球同色的概率为( ) A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(2,5) 3.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事．“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”双方从各自的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为( ) A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,5) D．eq \f(1,6) 4.先后抛掷两颗骰子，所得点数之和为7的概率为( ) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,12) C.eq \f(1,6) D.eq \f(5,36) 5.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为 . 6.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游. (1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率. 【课堂小结】 1.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型． 2.求某个随机事件包含的样本点个数是求古典概型概率的基础和关键．应做到不重不漏． 【参考答案】 【自主学习】 可能性大小 P(A) 有限个 相等 eq \f(事件A包含的样本点个数,样本空间Ω包含的样本点个数) eq \f(nA,nΩ) 【小试牛刀】 1. (1)× (2)√ (3)√ 思考：不属于古典概型．因为在区间[0,10]上任取一个数，其试验结果有无限个，故其基本事件有无限个，所以不是古典概型． 【经典例题】 例1 ①②④ 解析：①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点．③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响． 【跟踪训练】1 B 解析：由古典概型的两个特征易知B正确． 例2 解：(1)将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，得到的点数有1,2,3,4,5,6，共6个样本点，故先后将这枚骰子抛掷两次，一共有6×6＝36(个)不同的样本点． (2)点数之和为5的样本点有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4个． (3)正方体骰子是质地均匀的，将它先后抛掷两次所得的36个样本点是等可能出现的，其中点数之和为5(记为事件A)的样本点有4个，因此所求概率P(A)＝eq \f(4,36)＝eq \f(1,9). 例3 解：只要检测的2听中有1听不合格，就表示查出了不合格产品．分为两种情况：1听不合格和2听都不合格．设合格饮料为1,2,3,4，不合格饮料为5,6，则6听中选2听试验的样本空间为Ω＝{ (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共15个样本点．有1听不合格的样本点有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8个；有2听不合格的样本点有(5,6)，共1个， 所以检测出不合格产品的概率为eq \f(8＋1,15)＝eq \f(3,5). 【跟踪训练】2 解： 设这5道题的题号分别为1,2,3,4,5，其中，该考生能答对的题的题号为4,5，则从这5道题中任取3道回答，该试验的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个样本点． (1)记“获得优秀”为事件A，则随机事件A中包含的样本点个数为3，故P(A)＝eq \f(3,10). (2)记“获得及格及及格以上”为事件B，则随机事件B中包含的样本点个数为9，故P(B)＝eq \f(9,10). 【当堂达标】 1.C解析：根据古典概型的两个特征进行判断．A项中两个基本事件不是等可能的，B项中基本事件的个数是无限的，D项中“中靶”与“不中靶”不是等可能的，C项符合古典概型的两个特征． 2.A 解析：把红球标记为红1、红2，白球标记为白1、白2，本试验的样本点共有16个，其中2个球同色的样本点有8个：(红1，红1)，(红1，红2)，(红2，红1)，(红2，红2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率为P＝eq \f(8,16)＝eq \f(1,2). 3.A解析：设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上、中、下三个等次的马分别记为A，B，C，从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛的所有的可能为Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，根据题意，其中Ab，Ac，Bc是田忌获胜，则田忌获胜的概率为eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).故选A． 4.C 解析：抛掷两颗骰子，一共有36种结果，其中点数之和为7的共有6种结果，根据古典概型的概率公式，得P＝eq \f(1,6). 5. eq \f(1,5) 解析：用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15种，2名都是女同学的选法为(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故所求的概率为eq \f(3,15)＝eq \f(1,5). 6.解：(1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有： {(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个. 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有： {(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个， 则所求事件的概率为p＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5). (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有： {(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9个. 包括A1但不包括B1的事件所包含的样本点有：{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2个，则所求事件的概率为p＝eq \f(2,9). 素 养 目 标学 科 素 养1.理解古典概型及其概率计算公式； 2.会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率； 3.掌握利用概率的性质求古典概型的概率的方法．1.数学抽象; 2.数学建模； 3.数学运算
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