必修15 力的分解学案

力的分解

一、力的分解

1．定义：已知一个力求它的分力的过程。

2．力的分解与力的合成的关系：力的分解是力的合成的逆运算。

3．分解法则：平行四边形定则。

4．平行四边形中合力与分力关系：

下列关于分力、合力与平行四边形中边的对应关系的解释符合科学事实的是①②③。

①平行四边形的对角线代表合力

②分力与合力交于一点

③两分力一定是平行四边形的两条邻边

④一个力只能分解为一对分力

⑤一个力不可能分解出比它自身大的力

二、矢量相加的法则

1．三角形定则：

(1)两个矢量的连接方式：两个矢量首尾相接。

(2)合矢量的呈现方式：从第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端的有向线段。(均选填“始端”或“末端”)

(3)三角形定则与平行四边形定则的关系：实质上是一样的(选填“实质上是一样的”或“实质是不同的”)。

2．矢量和标量的区别：

(1)两个分力大小一定时，方向夹角θ越大，合力越小。(√)

(2)合力一定时，两等大分力的夹角θ越大，两分力越大。(√)

(3)1 N和2 N的合力一定等于3 N。(×)

(4)合力作用在一个物体上，分力作用在两个物体上。(×)

知识点一　力的分解中的定解条件

【典例】(多选)把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是(　　)

A．F　　　B．F　　　C．F　　　D．F

【解析】选A、D。因Fsin30°＜F2＜F，所以F1的大小有两种情况，如图所示，FOA＝Fcos 30°＝F，

FAB＝FAC＝＝F，F11＝FOA－FAB＝F，F12＝FOA＋FAC＝F，选项A、D正确。

如图，力F作用于物体的O点。现要使作用在物体上的合力沿OO′方向，需再作用一个力F1，则F1的最小值为(　　)

A．F1＝F sin α      B．F1＝F tan α

C．F1＝F       D．F1＜F sin α

【解析】选A。作F1、F与合力F合的示意图，如图所示。在F1的箭尾位置不变的情况下，其箭头可在OO′线上滑动，由图可知，当F1与OO′即F合垂直时，F1有最小值，其值为F1＝F sin α。

　　　【加固训练】

(多选)一个力F分解为两个力F1和F2，下列说法正确的是(　　)

A．F是物体实际受到的力

B．物体同时受到F1、F2和F三个力的作用

C．F1和F2的共同作用效果与F相同

D．F1、F2和F满足平行四边形定则

【解析】选A、C、D。在力的分解中，合力是实际存在的力，选项A正确；F1和F2是力F的两个分力，不是物体实际受到的力，选项B错误；F1和F2是力F的分力，F1和F2的共同作用效果与F相同，其关系满足平行四边形定则，故选项C、D正确。

知识点二　力按效果分解的实例

　提醒：按作用效果分解力的一般思路

　索道是绷直一些好还是松一些好？为什么？

提示：当合力一定时，两分力间的夹角越小，分力也就越小，所以索道是松一些好。

【典例】用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示。已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为(　　)

A．mg，mg　　　   B．mg，mg

C．mg，mg        D．mg，mg

【解析】选A。分析c点受力，如图所示，

其中Tac和Tbc的合力大小为mg，方向竖直向上，由图可知，Tac＝mg cos 30°＝mg，Tbc＝mg sin 30°＝mg，故A正确。

1.如图所示，将光滑斜面上的物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列结论正确的是(　　)

A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的正压力

B．物体受 mg、FN、F1、F2四个力作用

C．物体只受重力mg和弹力FN的作用

D．FN、F1、F2三个力的作用效果跟mg、FN两个力的作用效果不相同

【解析】选C。F1、F2都作用在物体上，施力物体都是地球，A错；斜面光滑，所以物体只受重力mg和弹力FN的作用，故C正确；F1、F2是重力的两个分力，它们是等效替代的关系，效果相同，不能说物体受 4 个力的作用，所以B、D错。

2．如图所示，ABC为一直角劈形物体，将其卡于孔中，劈的斜边AB与直角边AC的夹角θ＝60°。当用F＝100 N的力沿水平方向推劈形物体时，求劈形物体的上侧面和下侧面产生的推力大小。

【解析】加在劈面上的力F产生两个效果，即使劈形物体的两个侧面产生垂直向外的推力。由此可断定两个分力F1、F2的方向分别是垂直水平面BC向下和垂直斜面AB斜向上。进行受力分析，如图所示。由几何知识可得

F2＝＝100×2 N＝200 N

F1＝F·tan 60°＝100× N≈173 N

故劈形物体对上侧面和下侧面产生的推力大小分别为200 N和173 N。

答案：200 N　173 N

【加固训练】

如图所示，楔形物体倾角θ＝30°，放在水平地面上，轻质硬杆下端带有滑轮，上端顶有重 1 000 N的物体，硬杆只能沿滑槽上下滑动。不计一切摩擦，求作用于楔形物体上的水平推力至少多大才能将重物顶起？

【解析】水平推力F有两个作用效果，垂直于斜面向上支持滑轮和垂直于水平面压地面，斜面对杆的支持力大小为 FN＝，

方向垂直于斜面斜向上。要使轻杆顶起重物，则应使 FNcosθ≥G，即·cos θ≥G

F≥G tan θ＝ N

答案： N

知识点三　力的正交分解

1.定义：把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解的方法。

2．坐标轴的选取：

原则上，坐标轴的选取是任意的，为使问题简化，坐标轴的选取一般有以下两个原则：

(1)使尽量多的力处在坐标轴上。

(2)尽量使某一轴上各分力的合力为零。

3．正交分解法的适用情况：

适用于计算物体受三个或三个以上共点力的合力情况。

4．正交分解法求合力的步骤：

(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上。

(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。

(3)分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：

Fx＝F1x＋F2x＋…

Fy＝F1y＋F2y＋…

(4)求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝。

　(1)人对箱子的拉力在水平方向和竖直方向分别产生什么效果？

提示：一个是水平向前拉箱子的效果；另一个是竖直向上提箱子的效果。

(2)滑梯上的小孩所受重力在平行于斜面方向和垂直于斜面方向分别产生什么效果？

提示：一个是在平行于斜面的方向上，使人沿斜面下滑；另一个是在垂直于斜面的方向上，使人压紧斜面。

【典例】如图所示，水平地面上的物体重G＝100 N，受到与水平方向成37°角的拉力F＝60 N，支持力N＝64 N，摩擦力f＝16 N，求物体所受的合力及物体与地面间的动摩擦因数。(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)

【解析】对四个共点力进行正交分解，如图所示，则x方向的合力：Fx＝Fcos 37°－f＝60×0.8 N－16 N＝32 N，y方向的合力：

Fy＝F sin 37°＋N－G＝60×0.6 N＋64 N－100 N＝0，

所以合力大小F合＝Fx＝32 N，方向水平向右。

动摩擦因数μ＝＝＝0.25

答案：32 N，方向水平向右　0.25

　坐标轴方向的选取技巧

(1)研究水平面上的物体时，通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴。

(2)研究斜面上的物体时，通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴。

(3)研究物体在杆或绳的作用下转动时，通常沿杆(或绳)方向和垂直杆(或绳)的方向建立坐标轴。

1．已知竖直平面内有一个大小为10 N的力作用于O点，该力与x轴正方向之间的夹角为30°，与y轴正方向之间的夹角为60°，现将它分解到x轴和y轴方向上，则(　　)

A．Fx＝5 N，Fy＝5 N　　　　　  B．Fx＝5 N，Fy＝5 N

C．Fx＝5 N，Fy＝5 N       D．Fx＝10 N，Fy＝10 N

【解析】选B。画出坐标系及受力情况，如图所示，已知两分力方向，作出平行四边形，由三角形关系得Fx＝F cos 30°＝5 N，Fy＝F sin 30°＝5 N。

2．(多选)如图所示，质量为m的物体受到推力F作用，沿水平方向做匀速直线运动，已知推力F与水平面的夹角为θ，物体与地面间的动摩擦因数为μ，则物体所受的摩擦力大小为(　　)

A.F cos θ　　　　　　 B．μmg

C．μF        D．μ(mg＋F sin θ)

【解析】选A、D。对物体受力分析如图，由于匀速运动，所以物体所受的合力为零，在水平方向有摩擦力Ff＝F cos θ，故选项A正确；再由Ff＝μFN，FN＝mg＋F sin θ可知，摩擦力Ff＝μ(mg＋F sin θ)，故选项D正确，B、C错误。

　　　【加固训练】

将物体所受重力按力的效果进行分解，图中错误的是(　　)

　【解析】选C。A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2；B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，A、B项图画得正确。C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体紧压两接触面的分力G1和G2，故C项图画得不正确。D项中物体的重力分解为水平向左压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D项图画得正确。

　　　【拓展例题】考查内容：利用相似三角形法求解力

【典例】如图所示，一个重为G的小球套在竖直放置的半径为R的光滑圆环上，一个劲度系数为k，自然长度为L(L<2R)的轻质弹簧，一端与小球相连，另一端固定在圆环的最高点，求小球处于静止状态时，弹簧与竖直方向的夹角φ。

【解析】对小球B受力分析如图所示，

由几何关系有△AOB∽△CDB，则＝

又F＝k(AB－L)，联立可得AB＝

在△AOB中，

cos φ＝＝＝＝

则φ＝arccos 。

答案：arccos

如图所示，滑滑梯是小孩子很喜欢的娱乐活动。

探究：

(1)怎样保证小孩在滑梯上匀速下滑？

(2)小孩所受的重力和弹力的合力与小孩所受的摩擦力大小相等吗？

【解析】(1)设滑梯与水平面的夹角为θ，小孩匀速下滑，则受到的重力、摩擦力和滑梯的弹力，三者合力为零，故Ff＝mg sin θ，FN＝mg cos θ，

解得μ＝tan θ。

(2)因为三力的合力为零，所以重力和弹力的合力大小与摩擦力大小相等。

答案：见解析

　有些人，比如电梯修理员、牵引专家和赛艇运动员，常需要知道绳或金属线中的张力，可又不可能到那些绳、线的自由端去测量。

探究：一个英国公司制造出一种夹在绳子上的仪表，用一个杠杆使绳子的某点有一个微小偏移量，如图所示。仪表很容易测出垂直于绳的恢复力，推导一个能计算绳中张力的公式。如果偏移量为12 mm，恢复力为300 N，请计算绳中张力。

【解析】如图所示，

将力F沿着拉伸的方向分解成FT1和FT2，

显然FT1＝FT2＝FT，

根据三角形相似的性质：

由于θ角很小，所以sin θ约等于tan θ，

而tan θ＝，

因此FT＝＝≈1 563 N。

答案：见解析

1．(多选)(2021·酒泉高一检测)已知合力的大小和方向求两个分力时，下列说法中正确的是(　　)

A．若已知两个分力的方向，分解是唯一的

B．若已知一个分力的大小和方向，分解是唯一的

C．若已知一个分力的大小及另一个分力的方向，分解是唯一的

D．此合力可以分解成两个与合力等大的分力

【解析】选A、B、D。知道合力以及两个分力的方向有唯一解，知道合力以及一个分力的大小和方向也有唯一解，知道合力、一个分力的大小及另外一个分力的方向时可能有一解或者两解，故A、B正确，C错误；当把一个力分解为夹角是120°且大小相等的两分力时，合力等于分力的大小，故D正确。故选A、B、D。

2.自卸车常用来进行土方、砂石、散料等的装卸运输工作。如图所示，当自卸车的车厢从水平倾斜到一定角度时，车厢上的货物如集装箱就会自动滑下。下列说法正确的是(　　)

A．车厢倾斜角度越大，集装箱对车厢的压力越大

B．车厢倾斜角度越大，集装箱与车厢的动摩擦因数越小

C．集装箱静止在倾斜车厢上时，受到的摩擦力大于重力沿斜面方向的分力

D．集装箱开始下滑时，受到的摩擦力小于重力沿斜面方向的分力

【解析】选D。由力的分解知识可知，集装箱对车厢的正压力为FN＝G cos θ，所以，车厢倾角越大，车厢与集装箱间的正压力越小，故A错误；集装箱与车厢的动摩擦因数与接触面的粗糙程度有关，与倾角无关，故B错误；根据共点力平衡，集装箱静止在倾斜车厢上时，受到的摩擦力等于重力沿斜面方向的分力，故C错误；集装箱开始下滑时，处于非平衡状态，集装箱滑动后受到的摩擦力小于重力沿斜面方向的分力，故D正确。故选D。

3.(2019·江苏高考)如图所示，一只气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右。细绳与竖直方向的夹角为α，绳的拉力为T，则风对气球作用力的大小为(　　)

A．       B．

C．T sin α       D．T cos α

【解析】选C。根据平衡条件可知绳对气球拉力的水平分量与风对气球的作用力平衡，由力的分解可知F风＝T sin α，选项C正确，A、B、D错误。

4.人们不可能用双手掰开一段木桩，然而，若用斧子就容易把木桩劈开。如图所示，斧子的两个斧面间的夹角为θ，两个斧面关于竖直平面对称，当斧子对木桩施加一个竖直向下的力F时，木桩的两个劈开面受到的侧向压力FN等于(　　)

A．FN＝　　　　 B．FN＝

C．FN＝      D．FN＝

【解析】选C。如图所示，将力F分解为F1、F2两个分力，这两个分力分别与两个劈开面垂直，根据对称性，两分力F1、F2大小相等，这样，以F1、F2为邻边的平行四边形就是一个菱形。因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以有：F1＝F2＝，木桩的两个劈开面受到的侧向压力FN等于。

5.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用T 表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中(　　)

A．F逐渐变大，T逐渐变大

B．F逐渐变大，T逐渐变小

C．F逐渐变小，T逐渐变大

D．F逐渐变小，T逐渐变小

【解析】选A。对结点O受力分析，物体重力的大小和方向均不变，水平拉力F的方向不变，绳拉力在转动，满足三力平衡的动态平衡，如图所示。

可得水平拉力F逐渐增大，绳OA段的拉力逐渐增大，故选A。