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高中数学人教版新课标A选修2-12.3双曲线教学课件ppt
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这是一份高中数学人教版新课标A选修2-12.3双曲线教学课件ppt，共45页。PPT课件主要包含了典例训练，变式训练等内容，欢迎下载使用。
1.双曲线的定义(1)前提要素:平面内,一个动点M，两个_____F1,F2,一个常数2a.(2)满足关系:__________________.(3)限制条件:____________.(4)相关概念：两个定点F1,F2叫做双曲线的_____，两个定点之间的距离|F1F2|叫做双曲线的_____.
||MF1|-|MF2||=2a
（-c,0）,(c,0)
(0,-c),(0,c)
1.双曲线中a，b，c的关系跟椭圆中a，b，c的关系有何区别？提示：双曲线中的a，b，c满足a2+b2=c2，而椭圆中a，b，c满足a2=b2+c2，双曲线中c最大,而椭圆中a最大.2.要写出双曲线的标准方程需要确定哪些条件？提示：要写出双曲线的标准方程需要确定a,b的值，最关键的还要确定焦点的位置.
3.a=3,且焦点为F1（-5，0）、F2（5，0）的双曲线的标准方程是_______.【解析】根据题意可得a=3,c=5,且焦点在x轴上,又b2=c2-a2=25-9=16,所以所求双曲线的标准方程为答案：
1.对双曲线定义的理解双曲线的定义揭示了双曲线的图形特征,定义是判断动点轨迹是否是双曲线的重要依据.设集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c均为大于0的常数.当2a＜2c时，集合P为双曲线；当2a=2c时，集合P为以F1，F2为端点的两条射线；当2a＞2c时，集合P为空集，即动点M的轨迹不存在.
2.对双曲线标准方程的认识(1)标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x，y的平方差,并且分母大小关系不确定.(2)a，b，c三个量的关系：标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小不确定.
双曲线定义中的限制条件（1）动点到两定点的距离之差；（2）强调差的绝对值是常数；（3）常数小于两定点间的距离.只要上述三个条件有一个不满足，动点的轨迹就不是双曲线.
题目类型一、双曲线的定义
1.已知双曲线方程为 点A，B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为( )(A)2a+2m (B)4a+2m(C)a+m (D)2a+4m
2. 已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹为_______.3.动点P到点M(1,0)的距离与到点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是_______.
【解析】1.选B.设△ABF1的周长为C，则C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m.
2.由已知动点P到两定点M,N的距离之差是常数3，且3＜|MN|=4,所以动点P的轨迹是双曲线的一支，又|PM|-|PN|＞0，所以动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支.答案：以M，N为焦点的双曲线的右支3.由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条以N为端点的射线．答案：以N为端点的射线
【思考】双曲线定义中去掉“绝对值”号，动点的轨迹有何变化？第2题中如何具体判断是双曲线的哪一部分？提示：（1）若将双曲线定义中的绝对值号去掉，动点的轨迹成为双曲线中的一支.（2）当去掉绝对值号时，要分清动点到两个焦点距离的远与近，此时动点的轨迹是近距离焦点所对应的双曲线的一支.
双曲线 上一点P到点(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为_______.【解析】双曲线的焦点为F2(5,0)和F1(－5,0)由||PF1|－|PF2||＝8.∴||PF1|－15|＝8，∴|PF1|＝23或|PF1|＝7.答案:7或23
题目类型二、双曲线标准方程的求法1.双曲线标准方程的两种求法(1)定义法:定义是研究双曲线问题的基础和根本,根据双曲线的定义得到相应的a,b,c，再写出双曲线的标准方程.(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程 或 (a，b均为正数）,然后根据条件求出待定的系数代入方程即可.
2.求双曲线标准方程的两个关注点（1）定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在“标准方程”的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式;（2）定量：“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程求解.
已知双曲线C： 的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为( )(A) (B) (C) (D) 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝4，且经过点(2)焦点在坐标轴上，且过点
【解析】1.选A.由焦距为10，知2c=10，c=5.将p（2,1）代入 得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20，所以方程为2.(1)①若所求双曲线的标准方程为则将a＝4代入，得又∵点 在双曲线上，∴由此得b2<0，∴不合题意，舍去．
②若所求双曲线方程为 则将a＝4代入得 代入点 得b2＝9，∴双曲线的标准方程为
【总结】（1）双曲线焦点的判断方法;（2）在双曲线焦点位置不明确的情况下,双曲线标准方程的求解方法.提示：（1）双曲线的标准方程根据焦点位置不同有两种形式,观察双曲线的标准方程,x2,y2中哪一项的系数为正，焦点就落在哪个轴上.
（2）当双曲线的焦点位置不确定时,求双曲线的标准方程有两种思路:一是分别讨论焦点在x轴，y轴的情况，求解时要注意检验；二是设为一般形式Ax2+By2=1(A·B＜0)，这样求解时既避免了分类讨论，又简化了运算过程.
根据下列条件，求双曲线的标准方程:（1）双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，且经过点（0，2）与（2） 经过点（-5，2），焦点在x轴上.【解题指南】根据焦点位置设出相应的双曲线方程形式,再利用待定系数法求标准方程.
【解析】（1）因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，所以可设双曲线的方程为又双曲线经过点（0，2）与所以所以双曲线方程为
（2）∵焦点在x轴上，∴设所求双曲线方程为 （其中0＜λ＜6）.∵双曲线经过点（-5，2），∴λ=5或λ=30（舍去）.∴所求双曲线方程是
题目类型三、双曲线定义及标准方程的应用1.双曲线的定义对于解题的主要作用双曲线的定义对于解题具有双向作用：(1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一支)；(2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.
2.利用双曲线的标准方程讨论参数的范围讨论参数的范围时，首先将双曲线的方程化为标准形式或其简化的形式，其共同特点是方程右边为1，再利用相应的条件列不等式（组）求参数的范围.
1.设P为双曲线 上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为_______.2.已知△ABC的两个顶点A,B的坐标为A(-5,0),B(5,0)，且AC,BC的斜率之积等于m(m≠0)，若顶点C的轨迹是双曲线（去掉两个顶点），求m的取值范围.
【解析】1.由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝由余弦定理得∴△PF1F2为直角三角形．答案：12
2.设C点的坐标为C（x,y)，则AC的斜率为BC的斜率为依题意有化简得mx2-y2=25m(y≠0)因为m≠0，所以原方程可化为 ①由题知方程①表示的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（去掉两个顶点）,所以m＞0.所以所求m的取值范围是(0,+∞)．
【互动探究】若把本题1中的|PF1|∶|PF2|=3∶2改为求△PF1F2的面积.【解析】由题意则PF1⊥PF2,∴△PF1F2为直角三角形.∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2,又∵|PF1|-|PF2|=2a=2,
【想一想】题1中能确定点P是在双曲线的哪一支上吗？提示：根据|PF1|∶|PF2|＝3∶2知|PF1|>|PF2|,所以点P在双曲线靠近F2点的右支上.
对于曲线C∶给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 其中所有正确命题的序号为_______.
【解析】若曲线C表示椭圆，则∴1＜k＜4，且若焦点在x轴上，则4-k＞k-1， 故①②错误，④正确.若曲线C表示双曲线，则（4-k）（k-1）＜0，即（k-4）（k-1）＞0，解得k＜1或k＞4.故③正确.答案：③④
【易错误区】双曲线定义运用中的误区【典例】设F1，F2是双曲线 的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离是( )(A)1 (B)17 (C)1或17 (D)不存在
【解析】选B.双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8①，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.因为|F1F2|＝12，当|PF2|＝1时，|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|②，不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去．所以|PF2|＝17.
已知P是双曲线 上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为_______.【解析】由双曲线方程 知,a=8,b=6，则c=∵P是该双曲线上一点，∴||PF1|-|PF2||=2a=16,又|PF1|=17,∴|PF2|=1或|PF2|=33.又|PF2|≥c-a=2,∴|PF2|=33.答案：33
1.双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2(－3,0)，b＝2，则双曲线的标准方程是( )(A) (B) (C) (D) 【解析】选A.由题知b=2,c=3.∴a2=c2-b2=5.又焦点在x轴上，故选A.
2.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )(A) (B) (C) (D) 【解析】选C.将双曲线方程化为标准形式所以∴右焦点坐标为
3.设θ是三角形的一个内角，且 则方程所表示的曲线为( )(A)焦点在x轴上的椭圆(B)焦点在y轴上的椭圆(C)焦点在x轴上的双曲线(D)焦点在y轴上的双曲线
【解析】选C.由 得sinθ·csθ＜0,又∵θ为三角形的一个内角,∴sinθ＞0,csθ＜0,∴方程表示的是焦点在x轴上的双曲线，故选C.
4.焦点在坐标轴上，中心在原点，且经过点 和的双曲线方程是_______.【解析】设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，把P，Q两点的坐标代入，得 解得所以双曲线的标准方程是答案：
5.焦点在x轴上的双曲线过点 且点Q（0，5）与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.【解析】因为双曲线焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为因为双曲线过点所以 ①
1.双曲线的定义(1)前提要素:平面内,一个动点M，两个_____F1,F2,一个常数2a.(2)满足关系:__________________.(3)限制条件:____________.(4)相关概念：两个定点F1,F2叫做双曲线的_____，两个定点之间的距离|F1F2|叫做双曲线的_____.
||MF1|-|MF2||=2a
（-c,0）,(c,0)
(0,-c),(0,c)
1.双曲线中a，b，c的关系跟椭圆中a，b，c的关系有何区别？提示：双曲线中的a，b，c满足a2+b2=c2，而椭圆中a，b，c满足a2=b2+c2，双曲线中c最大,而椭圆中a最大.2.要写出双曲线的标准方程需要确定哪些条件？提示：要写出双曲线的标准方程需要确定a,b的值，最关键的还要确定焦点的位置.
3.a=3,且焦点为F1（-5，0）、F2（5，0）的双曲线的标准方程是_______.【解析】根据题意可得a=3,c=5,且焦点在x轴上,又b2=c2-a2=25-9=16,所以所求双曲线的标准方程为答案：
1.对双曲线定义的理解双曲线的定义揭示了双曲线的图形特征,定义是判断动点轨迹是否是双曲线的重要依据.设集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c均为大于0的常数.当2a＜2c时，集合P为双曲线；当2a=2c时，集合P为以F1，F2为端点的两条射线；当2a＞2c时，集合P为空集，即动点M的轨迹不存在.
2.对双曲线标准方程的认识(1)标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x，y的平方差,并且分母大小关系不确定.(2)a，b，c三个量的关系：标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小不确定.
双曲线定义中的限制条件（1）动点到两定点的距离之差；（2）强调差的绝对值是常数；（3）常数小于两定点间的距离.只要上述三个条件有一个不满足，动点的轨迹就不是双曲线.
题目类型一、双曲线的定义
1.已知双曲线方程为 点A，B在双曲线右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一个焦点，则△ABF1的周长为( )(A)2a+2m (B)4a+2m(C)a+m (D)2a+4m
2. 已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,则动点P的轨迹为_______.3.动点P到点M(1,0)的距离与到点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是_______.
【解析】1.选B.设△ABF1的周长为C，则C＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝(|AF1|－|AF2|)＋(|BF1|－|BF2|)＋2|AB|＝2a＋2a＋2m＝4a＋2m.
2.由已知动点P到两定点M,N的距离之差是常数3，且3＜|MN|=4,所以动点P的轨迹是双曲线的一支，又|PM|-|PN|＞0，所以动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支.答案：以M，N为焦点的双曲线的右支3.由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条以N为端点的射线．答案：以N为端点的射线
【思考】双曲线定义中去掉“绝对值”号，动点的轨迹有何变化？第2题中如何具体判断是双曲线的哪一部分？提示：（1）若将双曲线定义中的绝对值号去掉，动点的轨迹成为双曲线中的一支.（2）当去掉绝对值号时，要分清动点到两个焦点距离的远与近，此时动点的轨迹是近距离焦点所对应的双曲线的一支.
双曲线 上一点P到点(5,0)的距离为15，则点P到点(－5,0)的距离为_______.【解析】双曲线的焦点为F2(5,0)和F1(－5,0)由||PF1|－|PF2||＝8.∴||PF1|－15|＝8，∴|PF1|＝23或|PF1|＝7.答案:7或23
题目类型二、双曲线标准方程的求法1.双曲线标准方程的两种求法(1)定义法:定义是研究双曲线问题的基础和根本,根据双曲线的定义得到相应的a,b,c，再写出双曲线的标准方程.(2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程 或 (a，b均为正数）,然后根据条件求出待定的系数代入方程即可.
2.求双曲线标准方程的两个关注点（1）定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在“标准方程”的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式;（2）定量：“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程求解.
已知双曲线C： 的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为( )(A) (B) (C) (D) 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)a＝4，且经过点(2)焦点在坐标轴上，且过点
【解析】1.选A.由焦距为10，知2c=10，c=5.将p（2,1）代入 得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20，所以方程为2.(1)①若所求双曲线的标准方程为则将a＝4代入，得又∵点 在双曲线上，∴由此得b2<0，∴不合题意，舍去．
②若所求双曲线方程为 则将a＝4代入得 代入点 得b2＝9，∴双曲线的标准方程为
【总结】（1）双曲线焦点的判断方法;（2）在双曲线焦点位置不明确的情况下,双曲线标准方程的求解方法.提示：（1）双曲线的标准方程根据焦点位置不同有两种形式,观察双曲线的标准方程,x2,y2中哪一项的系数为正，焦点就落在哪个轴上.
（2）当双曲线的焦点位置不确定时,求双曲线的标准方程有两种思路:一是分别讨论焦点在x轴，y轴的情况，求解时要注意检验；二是设为一般形式Ax2+By2=1(A·B＜0)，这样求解时既避免了分类讨论，又简化了运算过程.
根据下列条件，求双曲线的标准方程:（1）双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，且经过点（0，2）与（2） 经过点（-5，2），焦点在x轴上.【解题指南】根据焦点位置设出相应的双曲线方程形式,再利用待定系数法求标准方程.
【解析】（1）因为双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，所以可设双曲线的方程为又双曲线经过点（0，2）与所以所以双曲线方程为
（2）∵焦点在x轴上，∴设所求双曲线方程为 （其中0＜λ＜6）.∵双曲线经过点（-5，2），∴λ=5或λ=30（舍去）.∴所求双曲线方程是
题目类型三、双曲线定义及标准方程的应用1.双曲线的定义对于解题的主要作用双曲线的定义对于解题具有双向作用：(1)可用来判断平面内动点的轨迹是否为双曲线(或双曲线的一支)；(2)可以用来解决焦点三角形和焦点弦的有关问题.
2.利用双曲线的标准方程讨论参数的范围讨论参数的范围时，首先将双曲线的方程化为标准形式或其简化的形式，其共同特点是方程右边为1，再利用相应的条件列不等式（组）求参数的范围.
1.设P为双曲线 上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，则△PF1F2的面积为_______.2.已知△ABC的两个顶点A,B的坐标为A(-5,0),B(5,0)，且AC,BC的斜率之积等于m(m≠0)，若顶点C的轨迹是双曲线（去掉两个顶点），求m的取值范围.
【解析】1.由已知得2a＝2，又由双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝由余弦定理得∴△PF1F2为直角三角形．答案：12
2.设C点的坐标为C（x,y)，则AC的斜率为BC的斜率为依题意有化简得mx2-y2=25m(y≠0)因为m≠0，所以原方程可化为 ①由题知方程①表示的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（去掉两个顶点）,所以m＞0.所以所求m的取值范围是(0,+∞)．
【互动探究】若把本题1中的|PF1|∶|PF2|=3∶2改为求△PF1F2的面积.【解析】由题意则PF1⊥PF2,∴△PF1F2为直角三角形.∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2,又∵|PF1|-|PF2|=2a=2,
【想一想】题1中能确定点P是在双曲线的哪一支上吗？提示：根据|PF1|∶|PF2|＝3∶2知|PF1|>|PF2|,所以点P在双曲线靠近F2点的右支上.
对于曲线C∶给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②当1＜k＜4时，曲线C表示椭圆；③若曲线C表示双曲线，则k＜1或k＞4；④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则 其中所有正确命题的序号为_______.
【解析】若曲线C表示椭圆，则∴1＜k＜4，且若焦点在x轴上，则4-k＞k-1， 故①②错误，④正确.若曲线C表示双曲线，则（4-k）（k-1）＜0，即（k-4）（k-1）＞0，解得k＜1或k＞4.故③正确.答案：③④
【易错误区】双曲线定义运用中的误区【典例】设F1，F2是双曲线 的焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离是( )(A)1 (B)17 (C)1或17 (D)不存在
【解析】选B.双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8①，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.因为|F1F2|＝12，当|PF2|＝1时，|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|②，不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去．所以|PF2|＝17.
已知P是双曲线 上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为_______.【解析】由双曲线方程 知,a=8,b=6，则c=∵P是该双曲线上一点，∴||PF1|-|PF2||=2a=16,又|PF1|=17,∴|PF2|=1或|PF2|=33.又|PF2|≥c-a=2,∴|PF2|=33.答案：33
1.双曲线的两焦点坐标是F1(3,0)，F2(－3,0)，b＝2，则双曲线的标准方程是( )(A) (B) (C) (D) 【解析】选A.由题知b=2,c=3.∴a2=c2-b2=5.又焦点在x轴上，故选A.
2.双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )(A) (B) (C) (D) 【解析】选C.将双曲线方程化为标准形式所以∴右焦点坐标为
3.设θ是三角形的一个内角，且 则方程所表示的曲线为( )(A)焦点在x轴上的椭圆(B)焦点在y轴上的椭圆(C)焦点在x轴上的双曲线(D)焦点在y轴上的双曲线
【解析】选C.由 得sinθ·csθ＜0,又∵θ为三角形的一个内角,∴sinθ＞0,csθ＜0,∴方程表示的是焦点在x轴上的双曲线，故选C.
4.焦点在坐标轴上，中心在原点，且经过点 和的双曲线方程是_______.【解析】设双曲线的方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)，把P，Q两点的坐标代入，得 解得所以双曲线的标准方程是答案：
5.焦点在x轴上的双曲线过点 且点Q（0，5）与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.【解析】因为双曲线焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为因为双曲线过点所以 ①
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