高中2.3双曲线习题

2.3　双曲线

2.3.1　双曲线及其标准方程

基础过关练

题组一　双曲线的定义及应用

1.已知M(-2,0),N(2,0),||PM|-|PN||=3,则动点P的轨迹是(　　)

A.圆 B.椭圆 C.射线 D.双曲线

2.已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),点A,B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为(　　)

A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m

3.已知定点A(1,4),F是双曲线-=1的左焦点,P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为(　　)

A.6 B.8 C.9 D.12

4.设F1,F2是双曲线x2-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于　　　　. 

题组二　双曲线的标准方程

5.若方程+=1,k∈R表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是(　　)

A.-3<k<-2    B.k<-3

C.k<-3或k>-2 D.k>-2

6.若ax2+by2=b(ab<0),则这个曲线是(　　)

A.双曲线,焦点在x轴上 B.双曲线,焦点在y轴上

C.椭圆,焦点在x轴上    D.椭圆,焦点在y轴上

7.已知双曲线的中心在坐标原点,两个焦点F1,F2的坐标分别为(,0)和(-,0),点P在双曲线上,且PF1⊥PF2,△PF1F2的面积为1,则双曲线的标准方程为(　　)

A.-=1 B.-=1

C.-y2=1 D.x2-=1

8.已知双曲线的中心在坐标原点,且一个焦点为F1(-,0),点P位于该双曲线上,线段PF1中点的坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程是(　　)

A.-y2=1 

B.x2-=1

C.-=1 

D.-=1

9.以椭圆+=1长轴的两端点为焦点,且经过点(3,)的双曲线的标准方程为　　　　. 

10.如图所示,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且双曲线过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为　　　　　　　. 

11.已知焦点在x轴上的双曲线过点P(4,-3),且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方程.

题组三　与双曲线有关的轨迹问题

12.已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是(　　)

A.-=1   B.-=1(x≥4)

C.-=1   D.-=1(x≥3)

13.已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.

能力提升练

一、选择题

1.(2019河北石家庄二中高二月考,★★☆)已知双曲线+=1的焦点在x轴上,若焦距为4,则a=(　　)

A. B.7 C.    D.

2.(2019广西梧州高二期末,★★★)已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=(　　)

A.2 B.4 C.6 D.8

3.(2018四川绵阳培城模拟,★★★)如图,F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1(-,0)的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为(　　)

A.-=1 B.-y2=1 

C.x2-=1    D.-=1

4.(2018四川成都诊断,★★★)已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x+5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x-5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是(　　)

A.6 B.8 C.10 D.12

二、填空题

5.(2019安徽阜阳三中高二月考,★★☆)已知点F1,F2分别是双曲线-=1(a>0)的左、右焦点,P是该双曲线上的一点,且|PF1|=2|PF2|=16,则△PF1F2的周长是　　　　. 

6.(★★★)已知方程+=1表示的曲线为C.给出以下四个结论:

①当1<t<4时,曲线C为椭圆;

②当t>4或t<1时,曲线C为双曲线;

③若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1<t<;

④若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则t>4.

其中正确的是　　　　(只填正确结论的序号). 

三、解答题

7.(★★★)已知双曲线-=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.

(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;

(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少?

(3)观察以上计算结果,你能看出随∠F1MF2的变化,△F1MF2的面积将怎样变化吗?试证明你的结论.

8.(2019天津一中高二期末,★★★)已知点M(-2,0),N(2,0)是平面上的两点,动点P满足|PM|+|PN|=6.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)若(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,求点P的坐标.

9.(★★★)A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6 km处,C在B北偏西30°方向,与B相距4 km,P为敌炮兵阵地,某时刻A处发现敌炮兵阵地发出的某种信号,由于B,C两地比A距P地远,因此4 s后,B,C才同时发现这一信号,已知此信号的传播速度为1 km/s,A若炮击P地,求炮击的方向角.

答案全解全析

基础过关练

1.D　因为||PM|-|PN||=3<|MN|=4,所以由双曲线的定义可知,点P的轨迹是双曲线.

2.B　由题意知

即

又|AF2|+|BF2|=|AB|=m,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2m.

3.C　由双曲线的方程可知a=2,设其右焦点为F1,则F1(4,0).|PF|-|PF1|=2a=4,即|PF|=|PF1|+4,所以|PF|+|PA|=|PF1|+|PA|+4≥|AF1|+4,当且仅当A,P,F1三点共线时取等号,此时|AF1|===5,所以|PF|+|PA|≥|AF1|+4=9,即|PF|+|PA|的最小值为9.

4.答案　24

解析　由题意得a=1,2a=2,焦距|F1F2|=2×=10.∵3|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|=|PF2|,∴|PF1|-|PF2|=|PF2|-|PF2|=|PF2|=2,∴|PF2|=6,|PF1|=8,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴PF1⊥PF2,∴=|PF1|·|PF2|=×6×8=24.

5.A　由题意知解得-3<k<-2.

6.B　原方程可化为+y2=1,因为ab<0,

所以<0,所以方程表示的曲线是双曲线,且焦点在y轴上.

7.C　由题意得,

∴(|PF1|-|PF2|)2=16,即(2a)2=16,

则2a=4,解得a=2,又c=,∴b=1,∴双曲线的标准方程为-y2=1.故选C.

8.B　由双曲线的一个焦点为F1(-,0)知c=,因为线段PF1中点的坐标为(0,2),所以P(,4),设双曲线的右焦点为F2,则有PF2⊥x轴,且PF2=4,又点P在双曲线右支上,所以PF1===6,所以PF1-PF2=6-4=2=2a,所以a=1,b2=c2-a2=4,所以双曲线的标准方程为x2-=1.

9.答案　-=1

解析　由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且半焦距为2.

设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),

则有解得a2=3,b2=5.

故所求双曲线的标准方程为-=1.

10.答案　x2-=1

解析　设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).由题意得B(2,0),C(2,3),

∴解得

∴双曲线的标准方程为x2-=1.

11.解析　因为双曲线的焦点在x轴上,所以设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0).因为双曲线过点P(4,-3),所以-=1.①

因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,所以·=0,

即-c2+25=0,解得c2=25.②

又c2=a2+b2,③

所以由①②③解得a2=16或a2=50(舍去).

所以b2=9,所以所求双曲线的标准方程是-=1.

12.D　由题意知,点M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.易得c=5,a=3,∴b2=16,∴点M的轨迹方程为-=1(x≥3).

13.解析　由题意得,圆F1:(x+5)2+y2=1,

圆心F1(-5,0),半径r1=1.圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.

∴|F1F2|=10.

设动圆M的半径为R,则|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<|F1F2|.

∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的左支,且a=,c=5,∴b2=c2-a2=.

∴动圆圆心M的轨迹方程为-=1.

能力提升练

一、选择题

1.C　∵双曲线+=1的焦点在x轴上,焦距为4,

∴解得a=.

2.B　由双曲线方程得a=1,b=1,c=,

∴|F1F2|=2,

在△F1PF2中,

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2,

即8=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|,

即8=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,

又||PF1|-|PF2||=2a=2,

∴8=22+|PF1|·|PF2|,

∴|PF1|·|PF2|=4.

3.C　根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,由于△ABF2为等边三角形,则|AF2|=|AB|=|BF2|,①+②,得|BF1|-|AF1|=4a,

则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,|BF1|=6a,

又∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6,

所以双曲线的方程为x2-=1.

4.C　不妨设C1:-=1的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),且|PF1|-|PF2|=8,

而这两点正好是两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的圆心,两圆(x+5)2+y2=1和(x-5)2+y2=1的半径分别是r2=1,r3=1,

所以|PQ|max=|PF1|+1,|PR|min=|PF2|-1,

所以|PQ|-|PR|的最大值为(|PF1|+1)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+2=8+2=10.

故选C.

二、填空题

5.答案　34

解析　∵|PF1|=2|PF2|=16,∴|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=16-8=8=2a,∴a=4.又b2=9,∴c2=25,∴2c=10.∴△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=16+8+10=34.

6.答案　②③④

解析　①错误,当t=时,曲线C为圆;②正确,若曲线C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,∴t<1或t>4;③正确,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,∴1<t<;④正确,若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则∴t>4.

三、解答题

7.解析　设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2,

因为=r1r2sin θ,

θ已知,所以只要求r1r2即可,

因此考虑到用双曲线的定义及余弦定理的知识,求出r1r2.

(1)当θ=90°时,=r1r2sin θ=r1r2.由双曲线方程知a=2,b=3,c=,

由双曲线的定义,得|r1-r2|=2a=4,

两边平方,得+-2r1r2=16,

又+=|F1F2|2,

所以|F1F2|2-4=16,

即52-16=4,

解得=9.

(2)若∠F1MF2=120°,在△MF1F2中,

|F1F2|2=+-2r1r2cos 120°=(r1-r2)2+3r1r2=52,所以r1r2=12,

所以=r1r2sin 120°=3.

同理,若∠F1MF2=60°,则=9.

(3)由以上结果可见,随着∠F1MF2的增大,△F1MF2的面积将减小.

证明如下:

由双曲线的定义及余弦定理,得

②-①,得r1r2=,

所以=r1r2sin θ=

=b2cot .

因为0<θ<π,所以0<<,

在内,y=cot 是减函数.

因此当θ增大时,=b2cot 减小.

8.解析　(1)设动点P的坐标为(x,y).∵点M(-2,0),N(2,0)是平面上的两点,动点P满足|PM|+|PN|=6>|MN|,

∴点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,设其方程为+=1(a>b>0),且a=3,c=2,∴b2=9-4=5.

∴点P的轨迹方程为+=1.

(2)在△MPN中,

cos∠MPN=

=

=.

∵(1-cos∠MPN)|PM|·|PN|=2,

∴·|PM|·|PN|=2,解得|PM|·|PN|=6,

由

得||PM|-|PN||=2<6,

∴点P在以M(-2,0),N(2,0)为焦点的双曲线-y2=1上,

联立解得点P的坐标为,或或或.

9.解析　如图,以直线BA为x轴,线段BA的中垂线为y轴,以1 km为一个单位长度,建立平面直角坐标系,

则B(-3,0),A(3,0),C(-5,2).

因为|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.

设敌炮兵阵地的坐标为(x,y),BC的中点为D,

易求得kBC=-,D(-4,),

所以直线PD:y-=(x+4).①

又|PB|-|PA|=4<|AB|,故P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,

且其方程为-=1(x≥2).②

联立①②,得x=8,y=5,

所以P的坐标为(8,5).

因此kPA==.

故A若炮击P地,则炮击的方向角为北偏东30°.